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2015高考数学母题题源系列--专题05 椭圆离心率的值或取值范围求法 文(含解析)


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椭圆离心率的值或取值范围求法
【母题来源】2015 年福建文科数学-11 【母题原题】已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 l : 3 x ? 4 y ? 0 交 a 2 b2
4 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 5

椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线的距离不小于

A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

【试题解析】设左焦点为 F ,连接 AF1 , BF1 .则四边形 BF1 AF 是平行四边形,故 AF1 ? BF ,所以

AF ? AF1 ? 4 ? 2a ,所以 a ? 2 ,设 M (0, b) ,则
0 ? c ? 3 ,所以椭圆 E 的离心率的取值范围是 (0,

4b 4 ? ,故 b ? 1 ,从而 a 2 ? c 2 ? 1 , 0 ? c 2 ? 3 , 5 5
3 ] ,故选 A. 2

【命题意图】本题考查椭圆的定义和椭圆简单几何性质、点到直线距离公式等基础知识,意在考查识图、用图的 能力以及运算求解能力. 【方法、技巧、规律】离心率是圆锥曲线的核心概念,求离心率的值或取值范围即寻求 a, b, c 间的等量关系和不 等关系并结合 a 2 ? b 2 ? c 2 求解.该类问题往往是数学知识的交汇点,数学思想和方法的综合点,往往有两种题 型,即显示约束条件和隐藏约束条件.两种解题方向,即以形为主的解题方向,注意结合平面几何知识求解;以 数为主的解题方向,要注意方程和不等式的联系. 【探源、变式、扩展】与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关 系、面积公式、基本不等式等,其中包含关于 a, b, c 的等量关系和不等关系,借此可确定离心率的值或取值范围. 【变式】 【2015 届杭州七校联考】已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1 ? PF2 ,则椭圆的 离心率的取值范围是( A. ? )

? 5 ? ,1? ? 5 ? ?

B. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ? ?

C. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ?

D. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

【答案】B

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1. 【2015 届兰州一诊】已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A ,上顶 a 2 b2
6 | F1F2 | ,则椭圆 C 的离心率 e ? ( 6
D. )

点为 B ,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为

A.

2 2

B.

3 2

C.

2 3

3 3

【答案】A

2.

【2015 届四川省宜宾市一诊】在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c(c ? 0) ,以 O 为 a2 b2

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圆心, a 为半径作圆,过点 (

a2 ,0) 作圆的两条切线互相垂直,则离心率 e 为 ( ) c
(C)

(A)

2 2

(B)

1 2

3 2

(D)

3 3

【答案】A

2 2 3. 【2015 届湖南省长沙市模拟】 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 x ? y ? 1 的两个焦点, P 在椭圆上且满足 PF1 ? PF2 ? c 2 , 2 2 a b 则此椭圆离心率的取值范围是( )

A. [ 3 ,1) 3 【答案】C

B. [ 1 , 1 ] 3 2

C. [ 3 , 2 ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

由 ① ② ③ 得 : cos?F1PF2 ?

c2 ? 1, 2a 2 ? 3c 2

2c ? a, e ?

2 , 2

| PF1 | ? | PF2 |? (

PF1 ? PF2 2 3 2 2 2 2 2 , ) =a 2 ,∴ 2a ? 3c ? a , a ? 3c , e ? 3 2

则 此 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 [ 3 , 2 ], 故 选 C. 3 2 4. 【2015 届江西省鹰潭市一模】已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? b 2 ,若在椭圆 C1 上存 a 2 b2

在点 P,过 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,.B 使得 ?BPA ?

?
3

,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是(



A. [

3 ,1) 2

B. [

2 3 , ] 2 2

C. [

2 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

【答案】A

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x2 y 2 5. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 a b

F , C与过原点的直线相交于 A, B两点,
4 连接AF , BF .若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? , 则C的离心率e= 5 5 【答案】 7
.

【解析】 三角形AFB中,由余弦定理可得: | AF |2 ?| AB |2 ? | BF |2 ?2 | AB || BF | cos ?ABF

6. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

焦距为 2c ,若直线 y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆的一个交点满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于_____. 【答案】

3 ?1

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7. 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 统 一 考 试 江 苏 数 学 试 题 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为,短轴的一个端点 B . 设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 点 a 2 b2
到的距离为 d 2 . 若 d 2 ? 【答案】

6d1 ,则椭圆 C 的离心率为

.

3 3

x y 3a 8.(2012 新课标全国)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 a b 2
是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. C. 1 2 3 4 B. 2 3 4 5 )

2

2

D.

【答案】C

9. (2013 四川)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴 的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( 西安恒谦教育科技股份有限公司 )
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x2 y2 a b

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A. 2 4 2 2 B. 1 2 3 2

C.

D.

【答案】C

10. 【2015 届江苏模拟】如图,点 A, F 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上顶点和右焦点,直线 AF 与椭 a2 b2
CD 5 ? , 则椭圆的离心率为 AB 2
.

圆交于另一点 B ,过中心 O 作直线 AF 的平行线交椭圆于 C , D 两点,若

【答案】

1 2

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