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鲁教版2020八年级数学下册8.6一元二次方程的应用自主学习能力达标测试题4(附答案详解)

鲁教版 2020 八年级数学下册 8.6 一元二次方程的应用自主学习能力达标测试题 4(附 答案详解)
1.某商场今年 3 月份的营业额为 400 万元,5 月份的营业额达到 633.6 万元,若设商场

3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 x,则下面列出的方程中正确的是( )

A.400(1+x)2=633.6

B.400(1+2x)2=6336

C.400×(1+2x)2=63.6

D.400×(1+x)2=633.6+400

2.某企业今年 1 月份产值为 x 万元,2 月份的产值比 1 月份减少了 10%,则 2 月份的

产值是( )

A.(1﹣10%)x 万元 B.(1﹣10%x)万元

C.(x﹣10%)万元 D.(1+10%)x 万元

3.边长为10 米的正方形,要使它的面积扩大到原来的 4 倍,它的边长应增加( )

A.4 米

B.8 米

C.10 米

D.12 米

4.如图,在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),

余下部分种植草坪.要使草坪的面积为 540 平方米,则道路的宽为( )

A.5 米

B.3 米

C.2 米

D.2 米或 5 米

5.为了迎接校庆,初三年级组织乒乓球比赛,赛制为单循环形式(每两个选手之间都必须

赛一场),全年级共进行了 28 场比赛,这次参赛的选手有 ( )

A.7 位

B.8 位

C.9 位

D.10 位

6.某厂前年的产值为 50 万元,今年上升到 72 万元,这两年的平均增长率是多少?若

设每年的增长率为 x,则有方程( )

A.50(1+x)=72 B.50(1+x)+50(1+x)2=72

C.50(1+x)2=72 D.50x2=72

7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2-3x=4(x-3)的两个实数根,

则该直角三角形斜边上的中线长是( )

A.3 B.4 C.6 D.2.5

8.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿 线某地区居民 2016

年人均年收入 300 美元,预计 2018 年人均年收入将达到 950 美元,设 2016 年到 2018

年该地区居民人均年收入平均增长率为 x,可列方程为( )

A.300(1+x%)2=950

B.300(1+x2)=950

C.300(1+2x)=950

D.300(1+x)2=950

9.有一间长为 18m,宽为 7.5m 的会议室,在它的中间铺一块地毯,地毯的面积是会议

室面积的 1 ,四周未铺地毯处的宽度相同,则所留宽度为_______m. 2

10.某小区有一块等腰直角三角形状的草坪,它的面积为 8m2,求草坪的周长是多少. 设 直角边长为 x m,根据题意得方程______. (不解) 11.2012 年 11 月 11 日,某网站销售额 191 亿人民币.2014 年,销售额增长到 571 亿 人民币.设这两年销售额的平均增长率为 x,则根据题意可列出方程_____. 12.某商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元.若该 商品两次调价的降价率相同,则这个降价率为________.经调查,该商品每降价 0.2 元, 即可多销售 10 件.若该商品原来每月销售 500 件,那么两次调价后,每月可销售商品 __________件. 13.一个长方形的长比宽多 4cm,面积为 60cm2,则它的周长为______cm. 14.定义新运算:m,n 是实数,m*n=m(2n﹣1),若 m,n 是方程 2x2﹣x+k=0(k <0)的两根,则 m*m﹣n*n=_____.
15.某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),这样既改善 了环境,又降低了原料成本,根据统计,在使用回收净化设备后的1至 x 月的利润的月 平均值 w (万元)满足 w ?10x ? 90 ,问前________个月的利润等于1620 万元?
16.某商品的原价为 100 元,如果经过两次降价,且每次降价的百分率都是 x,那么该 商品现在的价格是_____________元(结果用含 x 的代数式来表示). 17.果农田丰计划将种植的草莓以每千克 15 元的单价对外批发销售,由于部分果农盲 目扩大种植,造成该草莓滞销.为了加快销售,减少损失,田丰对价格进行两次下调后, 以每千克 9.6 元 的单价对外批发销售. (1)如果每次价格下调的百分率相同,求田丰每次价格下调的百分率; (2)小李准备到田丰处购买 3 吨该草莓,因数量多,田丰准备再给予两种优惠方案供 选择: 方案一:打九折销售; 方案二:不打折,每吨优惠现金 400 元.试问小李选择哪种方案最优惠?请说明理由. 18.如图 1,有一张长 40cm,宽 30cm 的长方形硬纸片,截去四个小正方形之后,折成 如图 2 所示的无盖纸盒,设无盖纸盒高为 xcm. (1)用关于 x 的代数式分别表示无盖纸盒的长和宽. (2)若纸盒的底面积为 600cm2,求纸盒的高.

(3)现根据(2)中的纸盒,制作了一个与下底面相同大小的矩形盒盖,并在盒盖上设 计了六个总面积为 279cm2 的矩形图案 A﹣F(如图 3 所示),每个图案的高为 ycm,A 图 案的宽为 xcm,之后图案的宽度依次递增 1cm,各图案的间距、A 图案与左边沿的间距、 F 图案与右边沿的间距均相等,且不小于 0.3cm,求 x 的取值范围和 y 的最小值.
19.某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠墙,
? ? 另三边用总长为 40m 的栅栏围成 ( 如图所示 ). 设 BC 为 x m . ?1? 用含 x 的代数式表示 AB 的长; ? ?2 如果墙长 15m,满足条件的花园面积能达到 200m2 吗?若能,求出此时 x 的值;若
不能,说明理由.
20.一张长为 30cm,宽 20cm 的矩形纸片,如图 1 所示,将这张纸片的四个角各剪去 一个边长相同的正方形后,把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒,如图 1 所示,如果 折成的长方体纸盒的底面积为 264cm2,求剪掉的正方形纸片的边长.
21.根据下列问题,列出关于 x 的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式 (1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大 3 ,十位数字比百位数字小 2 ,三个 数字的平方和的 9 倍比这个三位数小 20 ,求这个三位数. (2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为 24cm2 ,求它的两条 直角边的长. 22.为改善居民的住房条件,我市计划用两年的时间,将城镇居民的人均住房面积提高 21% ,试求这两年间城镇居民人均住房面积的年平均增长率.

23.直角梯形 ABCD中, AD∥BC , ?ABC ? 90?, AD ?13cm , BC ?16cm , CD ? 5cm . AB 为⊙ O 的直径,动点 P 沿 AD 方向从点 A 开始向点 D 以1cm/s 的速 度运动,动点 Q 沿 CB 方向从点 C 开始向点 B 以 2cm/s 的速度运动,点 P 、Q 分别从 A 、 C 两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.
(1)求⊙ O 的直径. ( 2 )当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形? ( 3 )是否存在某一时刻 t ,使直线 PQ 与⊙ O 相切?若存在,求出 t 的值;若不存在,
请说明理由. 24.列方程解应用题: 随着经济的增长和人民生活水平的提高,我国公民出境旅游人数逐年上升,据统计,
2014 年我国公民出境旅游总人数约为 8000 万人次, 2016 年约为13520 万人次,求我
国公民出境旅游总人数的年平均增长率.

1.A 【解析】 【分析】

参考答案

4 月份的营业额 =400?(1+x),5 月份的营业额=4 月份的营业额??1? x? ,把相关数值代入即

可得到相应方程. 【详解】 Q 3 月份的营业额为 400 万元, 商场 3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 x,
?4 月份的营业额 =400?(1+x), ?5 月份的营业额 ,

?可列方程为: 400? (1? x)(1? x) ? 633.6 ,

所以 A 选项是正确的. 【点睛】 本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x,则经过

两次变化后的数量关系为 a(1? x)2 ? b .

2.A 【解析】 【分析】 1、本题属于列代数式的题目,解答此类题目首先要弄清楚语句中各个量之间的关系; 2、细查题意,由 2 月份比 1 月份减少了 10%先表示出 2 月份的产值为(1-10%)x 万元. 【详解】 由 2 月份比 1 月份减少了 10%得 2 月份的产值是(1-10%)x 万元. 故答案选 A. 【点睛】 本题考查了列代数式,解题的关键是弄清楚题目中各个量之间的关系. 3.C 【解析】 【分析】 设正方形的边长增加 xm,则增加后正方形的边长为(x+10)m,根据题中的等量关系:增

加后正方形的面积=4×原来正方形的面积,得出关于 x 的方程,求出方程的解,经过检验可 得出满足题意的 x 的值,即为增加的边长. 【详解】 设正方形的边长增加 xm,则增加后正方形的边长为(x+10)m, 根据题意得:(x+10)2=4×102,即(x+10)2=400, 开方得:x+10=20 或 x+10=-20, 解得:x1=10,x2=-30(舍去), 则正方形的边长增加 10m. 故选 C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用,解答这类题的思路是:设出合适的未知数,找出题中的等 量关系,建立方程来解决问题.同时注意求出 x 的值后要进行检验. 4.C 【解析】 试题解析:设道路的宽为 x,根据题意得 20x+32x-x2=20×32-540 整理得(x-26)2=576 开方得 x-26=24 或 x-26=-24 解得 x=50(舍去)或 x=2 所以道路宽为 2 米. 故选:C. 5.B 【解析】 【分析】
设有 x 名选手,根据比赛规则可知 1 x(x-1)=28, 解这个方程即可求出答案. 2
【详解】 设有 x 名选手,由题意得,
1
x(x-1)=28,
2
解之得,

x1=8,x2=-7 (不合题意,舍去), ∴这次参赛的选手有 8 位, 故选 B. 【点睛】 本题主要考查的是一元二次方程的应用的问题.解决本题的关键是正确理解题意,找出等量 关系,列出方程.难度不大,是一道中等题. 6.C 【解析】 【分析】 :由于设每年的增长率为 x,那么去年的产值为 50(1+x)万元,今年的产值为 50(1+x) (1+x)万元,然后根据今年上升到 72 万元即可列出方程. 【详解】 每年的增长率为 x, 依题意得 50(1+x)(1+x)=72, 即 50(1+x)2=72. 故选 C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用——增长率的问题,一般公式为:原来的量×(1±x)2=现在 的量,x 为增长或减少的百分率.增加用+,减少用-. 7.D 【解析】x2-3x=4(x-3), x2-7x+12=0 (x-3(x-4)=0, 解得,x1=3,x2=4. 由勾股定理知,斜边是 5,所以斜边上中线是 2.5.故选 D. 8.D 【解析】
设 2016 年到 2018 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x,那么根据题意得 2018
年年收入为:300(1+x)2,列出方程为:300(1+x)2=950.故选 D. 9.1.5

【解析】 【分析】 设所留宽度为 m,则地毯的长和宽分别为(18-2x)和(7.5-2x),依据题意可列出方程:
(18-2x)(7.5-2x)= 1 ×18×7.5,解方程即可. 2
【详解】 解:设所留宽度为 m 米,则地毯的长和宽分别为(18-2x)米和(7.5-2x)米,依据题意可列出方 程:
1
(18-2x)(7.5-2x)= ×18×7.5
2
解得 x=1.5 或 11.25(超过宽度,不合题意,舍去) 故所留宽度为 1.5 米. 【点睛】 本题由矩形面积公式作为等量关系列出方程,解方程后要查验所求根是否符合实际意义和题 干要求.
10. 1 x2 ? 8 2
【解析】
试题解析:由等腰直角三角形的面积公式得: 1 x2 ? 8, 2
解得 x ? 4?m?.
由勾股定理得斜边长为: 42 ? 42 ? 4 2 ?m?,
所以草坪的周长为: 4 ? 4 ? 4 2 ? 8 ? 4 2 ?m?.
故答案为:8 ? 4 2 ?m?.
11.191(1+x)2=571 【解析】 【分析】 增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量? (1+增长率),参照本题,如果设平均增长率为 x, 根据“原来 191 亿人民币到增长到 571 亿人民币”,即可得出方程. 【详解】 设这两年销售额的平均增长率为 x,根据题意得:

191(1+x)2=571, 故答案为 191(1+x)2=571. 【点睛】 本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x,则经过
两次变化后的数量关系为 a(1? x)2 =b .
12.10% , 880 【解析】 试题解析:设调价百分率为 x,
列方程: 40(1? x)2 ? 32.4,
解得 x1 ? 0.1, x2 ? 1.9 (不合题意舍去).
答:这个降价率为 10%. (2)500+40?32.40.2×10=880(件). 答:每月可销售商品 880 件. 故答案为:10%,880. 13.32 【解析】 分析: 设长方形的宽为 xcm,则长为(x+4)cm,根据长方形的面积计算公式结合已知条件列出方 程,解方程求出长方形的宽和长即可求得其周长了. 详解: 设长方形的宽为 xcm,则长为(x+4)cm,根据题意可得:
x(x ? 4) ? 60 ,
化简得: x2 ? 4x ? 60 ? 0 , 解得: x1 ? 6,x2 ? ?10 (不合题意,舍去),
∴该长方形的宽为 6cm,长为 10cm, ∴该长方形的周长为:2(6+10)=32(cm). 故答案为:32. 点睛:熟悉“长方形的面积和周长计算公式”是解答本题的关键.

14.0. 【解析】 【分析】 根据新定义将 m*m﹣n*n 整理成常用运算,将 m、n 分别代入方程 2x2﹣x+k=0 中,观察整理出 2m2-m=-k,2n2-n=-k,即可解题. 【详解】 由题可知 m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n), ∵m,n 是方程 2x2﹣x+k=0(k<0)的两根,将 m,n 代入得, 2m2-m+k=0, 2n2-n+k=0, ∴2m2-m=-k,2n2-n=-k ∴m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n)=-k+k=0 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元二次方程的解,正确理解题意,将新定义运算化为常用运算是解 题关键. 15.9 【解析】 【分析】 设前 x 个月的利润和等于 1620 万元,根据 “总利润=月利润的平均值×月数”列出方程,解方 程即可求解. 【详解】 设前 x 个月的利润和等于 1620 万元,
x(10x ? 90 )=1620
整理得:x2+9x-162=0 解得 x1=9,x2=-18(舍去), 答:前 9 个月的利润和等于 1620 万元. 故答案为:9. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用,根据等量关系“总利润=月利润的平均值×月数”,正确列出 方程是解决问题的关键.

16.100?1? x?2
【解析】 【分析】 现在的价格=第一次降价后的价格×(1-降价的百分率). 【详解】 第一次降价后价格为 100(1-x)元,第二次降价是在第一次降价后完成的,所以应为 100 (1-x)(1-xx)元, 即 100(1-x)2 元. 故答案为 100(1-x)2. 【点睛】 本题难度中等,考查根据实际问题情景列代数式.根据降低率问题的一般公式可得:某商品 的原价为 100 元,如果经过两次降价,且每次降价的百分率都是 x,那么该商品现在的价格 是 100(1-x)2. 17.(1)田丰每次价格下调的百分率是 20%;(2)小李选择方案一购买更优惠. 【解析】 分析:(1)设出平均每次下调的百分率,根据从 15 元下调到 9.6 列出一元二次方程求解即 可;
(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果. 详解:解 (1)设田丰每次价格下调的百分率为 x.由题意得: 15(1﹣x)2=9.6.
解这个方程,得:x1=0.2,x2=1.8. 因为降价的百分率不可能大于 1,所以 x2=1.8 不符合题意,符合题目要求的是 x1=0.2=20%. 答:田丰每次价格下调的百分率是 20%. (2)小李选择方案一购买更优惠. 理由:方案一所需费用为:9.6×0.9×3000=25920(元),方案二所需费用为:9.6×3000 ﹣400×3=27600(元). ∵25920<27600,∴小李选择方案一购买更优惠. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,在解决有关增长率的问题时,注意其固定的

等量关系.
18.(1)长 ? ?40 ? 2x?cm,宽 ? ?30 ? 2x?cm ,(2)高为 5cm,(3)x 的取值范围为:x ? 2.15 ,
y 的最小值为 10. 【解析】 【分析】
?1? 根据长 ? 40 ? 两个小正方形的长,宽 ? 30 ? 两个小正方形的宽即可得到答案, ?2? 根据面积 ? 长? 宽,列出关于 x 的一元二次方程,解之即可, ? ?3 设各图案的间距、A 图案与左边沿的间距、F 图案与右边沿的间距为 m,关于 x 的一元
一次不等式,解之即可,根据面积 ? 长 ? 宽,列出 y 关于 x 的反比例函数,根据反比例函数
的增减性求最值. 【详解】
?1? 根据题意得:长 ? ?40 ? 2x?cm,宽 ? ?30 ? 2x?cm , ?2? 根据题意得: ?40 ? 2x??30 ? 2x? ? 600 整理得: ? x ?5?? x ?30? ? 0
解得: x1 ? 30( 舍去 ) , x2 ? 5 ,
纸盒的高为 5cm,
?3? 设各图案的间距、A 图案与左边沿的间距、F 图案与右边沿的间距为 m, x ??x ?1? ? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? ?x ? 4? ? ?x ? 5? ? 7m ? 40? 2?5,
m ? 15 ? 6x ? 0.3 , 7
解得: x ? 2.15 ,
根据题意得: y ??x ? ? x ?1? ? ? x ? 2? ? ? x ? 3? ? ? x ? 4? ? ? x ? 5??? ? 279 ,
y ? 93 , 2x ?5
y 随着 x 的增大而减小, 当取到最大值时,y 取到最小值,
即当 x ? 2.15 时, y最小 ? 10 ,

x 的取值范围为: x ? 2.15 ,y 的最小值为 10.
【点睛】 本题考查二次函数的应用,一元二次方程的应用,解题的关键:(2)根据等量关系列出一元 二次方程(3)根据数量关系列出不等式和反比例函数并利用反比例函数的增减性求最值.
19.(1) AB ? 40 ? x ;(2)不能,理由见解析 2
【解析】 【分析】 (1)利用长方形的周长即可解答; (2)利用长方形的面积列方程解答即可. 【详解】
(1) AB ? 40 ? x ; 2
(2)不能, 理由是:
根据题意列方程得,x( 40 ? x )=200, 2
解得 x1=x2=20, 而墙长 15m,不合实际, 因此如果墙长 15m,满足条件的花园面积不能达到 200m2. 【点睛】 此题考查一元二次方程的应用,属于综合类题目,灵活利用长方形的周长和面积公式是关键. 20.4cm 【解析】 试题分析:设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm,则围成的长方体纸盒的底面长是(30-2x) cm, 宽是(30-2x)cm,根据底面积等于 264 cm2 列方程求解.
解:设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm. 由题意,得 (30-2x)(20-2x)=264. 整理,得 x2 -25x + 84=0.
解方程,得 x1 ? 4 , x2 ? 21(不符合题意,舍去).
答:剪掉的正方形的边长为 4cm.

21. (1) 27x2 ? 79x ?106 ? 0 ;(2) x2 ?14x ? 48 ? 0 .
【解析】 【分析】 (1)个位上的数字是几,表示几个一,十位上的数字是几就表示几个十,百位上的数字是 几就表示几个百;由此求解; (2)设一边长为 x,然后表示出另一边,然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程 即可. 【详解】
解: ?1? 设十位数字为 x ,则个位数字为 x ? 3 ,百位数字为 x ? 2 ,
? 根据题意得:[100? x ? 2? ?10x ? ? x ? 3???9? (x ? 3)2 ? x2 ? x ? 2)2 ?? ? 20 ,
化简为 27x2 ? 79x ?106 ? 0 ;
(2)设其中一条直角边的长为 x ,则另一条直角边为 ?14 ? x? ,根据题意得: 1 x ?14 ? x? ? 24 ,
2 整理得: x2 ?14x ? 48 ? 0 .
【点睛】 本题考查了由实际问题列出一元二次方程,解题的关键是找到等量关系,难度不大.
22.这两年间城镇居民人均住房面积的年平均增长率为10% .
【解析】 【分析】 设这两年间城镇居民人均住房面积的年平均增长率为 x,根据我市计划用两年的时间,将城 镇居民的人均住房面积提高 21%,列出一元二次方程解答即可. 【详解】 解:设这两年间城镇居民人均住房面积的年平均增长率为 x,根据题意列方程得
,

解得

,

(不符合题意舍去).

答:这两年间城镇居民人均住房面积的年平均增长率为 10%.. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用,找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问 题的关键.判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
23.(1)⊙ O 直径为 4cm ;( 2 )t ? 19 ;( 3 )存在,t ? (4 ? 14)s 时,PQ 与⊙ O 相切. 3
【解析】
(1)⊙ O 直径为 4cm . ( 2 ) t ? 19 .
3 ( 3 )存在, t ? (4 ? 14)s 时, PQ 与⊙ O 相切. 试题分析:(1)过点 D 作 DE ? BC 于 E ,在 RtVDCE 中,利用勾股定理求 DE.(2) 当四 边形 PQCD 为等腰梯形时, CQ ? PD ? 2CE ,代入求值.(3) 存在,若 PQ 与⊙ O 相切,切 点为 G ,作 PH ? BC 于 H , PA ? PG ? t ,用 t 表示 PQ,OH,勾股定理得 PQ2 ? PH 2 ? QH 2 ,
求 t. 试题解析:
(1)过点 D 作 DE ? BC 于 E , BE ? AD ?13.
∵ BC ?16 ,
∴ EC ? 3, 在 RtVDCE 中. ∵ DC ? 5 , ∴ DE ? CD2 ?CE2 ? 52 ? 32 ? 4 . ∴⊙ O 的直径为 4cm . ( 2 )由题意知 PD ? (13 ? t)cm , CQ ? (2t)cm .

当四边形 PQCD 为等腰梯形时,
CQ ? PD ? 2CE .
∵ 2t(B ? t) ? 6 解得 t ? 19 .
3 ( 3 )存在,若 PQ 与⊙ O 相切,切点为 G ,作 PH ? BC 于 H . ∴ PA ? PG ? t QG ? QB ? 16 ? 2t .
又 QH ? QB ? HB ? (16 ? 2t) ? t ? 16 ? 3t ,
PQ ? BQ ? AP ? 16 ? t ,
勾股定理得 PQ2 ? PH 2 ? QH 2 , 即 (16 ? t)2 ? 16 ? (16 ? 3t)2 ,
解得 t1 ? 4 ? 14 , t2 ? 4 ? 14 . 又∵ 0 ? t ? 8t1 , t2 都符合. 综上所述, t ? (4 ? 14)s 时, PQ 与⊙ O 相切. 24.我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 30%.
【解析】 试题分析:
设出境旅游的总人数的年平均增长率为 x,由题意列出方程 8000? x ?1?2 ?13520 ,解方程,
检验,即可得到符合题意的答案. 试题解析:
设我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x ,根据题意得:
8000? x ?1?2 ?13520 , ? x ?1?2 ?1.69 ,
x ?1? ?1.3 ,

x1 ? 0.3, x2 ? ?2.3 (舍), 答:我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 30%.



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