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高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图课件 新人教A版必修2_图文

1.2.3 空间几何体的直观图

[提出问题] 美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似 毫无关系,但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系,

在美术画图中,空间图形或实物在画板上画得既富有立体
感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.

问题1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中

一定画成直角吗?
提示:为了直观,不一定. 问题2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应 画成什么?为什么? 提示:平行四边形、扁圆形,为增加直观性. 问题3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方 法相同吗?

提示:不相同.

[导入新知]

1.用斜二测画法画平面图形的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于 点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴, 两轴相

∠x′O′y′=45° (或 135° ) 交于点O′,且使___________________________ ,它们确定
的平面表示水平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分 平行 于x′轴或y′轴的线段. 别画成______
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中________ 保持原长 度不变 ,平行于y轴的线段,_______________________ 长度变为原来的一半. ________

2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画z′轴,z′轴过点O′,且与x′轴的夹角为90°,并画 高线 出______(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即 可),连线成图. 被遮线 用虚线表示. (3)擦去辅助线,_______

[化解疑难]

1.画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多
边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只 需把这些顶点顺次连接即可. 2.用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线 长减半,直角画45°(或135°).

水平放置的平面图形的直观图 [例1] 按图示的建系方法,画水平放置的正五边形

ABCDE的直观图.

[解]

画法:

(1)在图(1)中作 AG⊥x 轴于 G,作 DH⊥x 轴于 H. (2)在图(2)中画相应的 x′轴与 y′轴, 两轴相交于点 O′, 使∠x′O′y′=45° . (3)在图(2)中的 x′轴上取 O′B′=OB,O′G′=OG, 1 O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取 O′E′= OE,分 2 别过 G′和 H′作 y′轴的平行线,并在相应的平行线上取 1 1 G′A′= GA,H′D′= HD. 2 2

(4)连接 A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅 助线 G′A′,H′D′,x′轴与 y′轴,便得到水平放置的 正五边形 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′(如图(3)).

[类题通法] 1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当 的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点

在坐标轴上,以便于画点.
2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线 段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平 行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.

[活学活用] 1. 如图是水平放置的由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形,请画出它的直观图.
解:画法:(1)以 AB 边所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,两轴相交于点 O(如图(1)),画相应的 x′轴和 y′轴, 两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45° (如图(2)); (2)在图(2)中,以 O′为中点,在 x′轴上截取 A′B′= AB;分别过 A′,B′作 y′轴的平行线,截取 A′E′= 1 1 1 AE,B′C′= BC;在 y′轴上截取 O′D′= OD. 2 2 2

(3)连接 E′D′,D′C′,C′E′,并擦去辅助线 x′轴和 y′ 轴 , 便 得 到 平 面 图 形 ABCDE 水 平 放 置 的 直 观 图 A′B′C′D′E′(如图(3)).

空间几何体的直观图
[例 2]
[ 解]

用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体
画法:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴

ABCDA′B′C′D′的直观图.
相交于点 O,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画底面.以点 O 为中心,在 x 轴上取线段 MN,使 MN =2 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ=1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线, 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点 分别为 A、B、C、D,四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD.

(3)画侧棱.过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线,并 在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′、BB′、CC′、 DD′. (4)成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′,并加以整理(去 掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图 (如图②).

[类题通法] 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz, 并且把它们 画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′ =45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平面,再作 z′轴与平面 x′O′y′垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′ 轴的线段并且长度不变. (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段,且线段长度 画成原来的二分之一. (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变.

[活学活用]

2.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它
的直观图.

解:(1)画轴.如下图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° , ∠xOz=90° . (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下 部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法 画出底面 ABCD,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三视图 中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出上底面 A′B′C′D′.

(3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图 中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B, C′C, D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如 下图②.

直观图的还原和计算问题
[例 3] 如图所示, 梯形 A1B1C1D1 是一

平面图形 ABCD 的直观图.若 A1D1∥ 2 O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2, 3 A1D1=O′D1=1. 试画出原四边形的形状, 并求原图形的 面积.

[解]

如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD=

O′D1=1;OC=O′C1=2.

在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA=2D1A1=2. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB=A1B1=2.

连接 BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度 分别为 AB=2,CD=3,直角腰长度为 AD=2. 2+3 所以面积为 S= ×2=5. 2

[类题通法] 由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴,y′轴平行 的直线或线段,且平行于 x′轴的线段还原时长度不变,平行 于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍,由 此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.

[活学活用] 3.如图所示,将水平放置的直观图 A′B′C′D′还原为平 面图形.

解:(1)如下图①,在水平放置的直观图中延长 D′A′交 O′x′轴于点 E′. (2)如下图②, 画互相垂直的轴 Ox, Oy, 取 OE=O′E′,

过 E 作 EF∥Oy, 在 EF 上截取 AE=2A′E′, DE=2D′E′, 然后分别过 A,D 作 AB∥Ox,DC∥Ox,并使 AB=DC= A′B′. (3)连接 AB,BC,CD,得直观图 A′B′C′D′的还原图形. 综上可知,此水平放置的直观图是矩形.

3.解答平面图形直观图还原问题的易错点

[ 典例 ]

(2012· 温州高一检测 ) 一梯形的直观图是一个如

图所示的等腰梯形,且梯形 OA′B′C′的面积为 2,则原 梯形的面积为( A.2 C.2 2 ) B. 2 D.4

[解析]

如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上、 下底边的长度是一样的, 不 一样的是两个梯形的高.

原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍, OC′的长 度是直观图中梯形的高的 2倍, 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2 倍 , 故 其 面 积 是 梯 形 OA′B′C′ 面 积 的 2 2 倍 , 梯 形 OA′B′C′的面积为 2,所以原梯形的面积是 4.

[答案] D

[易错防范] 1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高 的长度不一样.原梯形的高 OC 是直观图中 OC′的长度的 2 倍,OC′长度是直观图中梯形的高的 2倍,此处易出错. 2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化, 2 直观图面积 S′与原图形面积 S 满足 S′= S. 4

[成功破障] 如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图, B′在 x′轴上,A′O′和 x′轴垂直,且 A′O′=2,则△ AOB 的边 OB 上的高为( )

A.2 C.2 2

B. 4 D.4 2

解析:由直观图与原图形中边 OB 长度不变, 得 S 原图形=2 2S 直观图, 1 1 得 · OB· h=2 2× ×2· O′B′, 2 2 ∵OB=O′B′,∴h=4 2.

答案:D

[随堂即时演练] 1.关于斜二测画法,下列说法不 正确的是( . )

A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x′轴, 长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y′轴, 1 长度变为原来的 2

C.在画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时,∠ x′O′y′必须是 45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不 同

解析: 斜二测作图时, ∠x′O′y′也可为 135° , 故 C 错.

答案:C

2.有下列叙述:
①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.

其中正确的个数是(
A.0 C.2

)
B.1 D.3

解析:从原图到直观图只能保证平行的仍平行,故只有③正 确. 答案:B

3. 已知△ ABC 的直观图如图所示,则原△ ABC 的面积为________.

解析:由题意,易知在△ABC 中,AC⊥AB,且 AC=6, AB=3. 1 ∴S△ABC= ×6×3=9. 2

答案:9

4. 如图所示,一个水平放置的正方形 ABCD, 它在直角坐标系 xOy 中, 点 B 的坐标为(2,2), 则在用斜二测画法画出的正方形的直观图 A′B′C′D′中,顶点 B′到 x′轴的距离 为________.

解析:正方形的直观图 A′B′C′D′如图: 因为 O′A′=B′C′=1,∠B′C′x′= 45° ,所以顶点 B′到 x′轴的距离为 1×sin 2 45° = . 2

2 答案: 2

5.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.
解:(1)如图所示,以 BC 边所在直线为 x 轴,以 BC 边上 的高线 AO 所在直线为 y 轴,再画对应的 x′轴与 y′轴, 两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45° .

(2)在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=0.5 cm, 1 3 在 y′轴上截取 O′A′= AO= cm,连接 A′B′, 2 4 A′C′,则△A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图.



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