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2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时过关·能力提升 1.已知 a=(2,-3),b=(1,-2),且 c⊥a,b·c=1,则 c 的坐标为( ) A.(3,-2) C.(-3,-2) B.(3,2) D.(-3,2) 解析:设 c=(x,y),则有 解得 故 c=(-3,-2). 答案:C 2.已知 m=(a,b),向量 n 与 m 垂直,且|m|=|n|,则 n 的坐标为( ) A.(b,-a) B.(-a,b) C.(-a,b)或(a,-b) D.(b,-a)或(-b,a) 答案:D 3.已知点 A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:由已知得 =(3,-2), =(4,6), =(-3,2), 所以 ,且 =0, 即 ,所以四边形 ABCD 是矩形. 答案:B 4.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为( ) A.4 B.2 C.25 D.5 解析:|2a-b|= , 因此当 cos<2a,b>=-1 时,|2a-b|取得最大值 5. 答案:D 5.在 Rt△ABC 中,∠C= ,AC=3,取点 D 使 =2 ,则 A.3 B.4 C.5 D.6 等于( ) 一个不等式成立与否,取决于影响号的因素如数正、负零(或子)积平方倒都会对产生注意考查这些在中作用是也就比较好判断了. 解析:以 C 为原点,分别以 CA,CB 所在直线为 x 轴、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 设 CB=a, ∴C(0,0),A(3,0),B(0,a). 设 D 点坐标为(m,n), ∵ =2 , 即(m,n-a)=2(3-m,-n),得 m=2,n= . ∴ 答案:D ·(3,0)=6,故选 D. 6.已知 O 为坐标原点, =(3,1), =(-1,2), ,则满足 的向 量 的坐标为 . 答案:(11,6) 7.设 O 为原点,已知点 A(a,0),B(0,a)(a>0),点 P 在线段 AB 上,且 =t (0≤t≤1),则 的最大值为 . 解 析: ·( )= ·( +t )= +t 0)=(1-t)a2. ∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1, =a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+ ∴ 答案:a2 的最大值为 a2. 8.以原点及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使∠B=90°,求点 B 和向量 的坐标. 解:如图,设点 B 的坐标为(x,y),则 =(x,y), =(x-5,y-2). ∵ , ∴x(x-5)+y(y-2)=0, 即 x2+y2-5x-2y=0. 2 一个不等式成立与否,取决于影响号的因素如数正、负零(或子)积平方倒都会对产生注意考查这些在中作用是也就比较好判断了. ∵| |=| |, ∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2, 即 10x+4y=29. 解方程组 得 ∴点 B 的坐标为 ; 当点 B 的坐标为 时, ; 当点 B 的坐标为 时, . 综上,点 B 的坐标为 , 或点 B 的坐标为 . ★9.已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),且|ka+b|= (1)用 k 表示数量积 a·b; (2)求 a·b 的最小值,并求此时 a,b 的夹角 θ . |a-kb|(k>0). 解:(1)由|ka+b|= |a-kb|, 得(ka+b)2=3(a-kb)2, ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2. ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1, ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0, ∴a·b= . (2)由(1),得 a·b= ,由函数的单调性的定义,易知 f(k)= 在 3 一个不等式成立与否,取决于影响号的因素如数正、负零(或子)积平方倒都会对产生注意考查这些在中作用是也就比较好判断了. (0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当 k=1 时,a·b 的最小值为 f(1)= ×(1+1)= . 此时 a,b 的夹角为 θ ,则 cos θ = ★10. ,∴θ =60°. 如图, =(6,1), =(x,y), =(-2,-3), . (1)求 x 与 y 的关系式; (2)若 ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解:(1)∵ =(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2), ∴ =- =(-x-4,2-y). ∵ =(x,y), ∴x(2-y)-(-x-4)y=0, ∴x 与 y 的关系式为 x+2y=0. (2) =(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1), 因 为 =(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3). ∵ ,∴ =0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 又由(1)的结论 x+2y=0, 得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0. 化简,得 y2-2y-3=0. ∴y=3 或 y=-1. ①当 y=3 时,x=-6,于是 =(-6,3), =(0,4), =(-8,0). ∴| |=4,| |=8. ∴S = 四边形 ABCD || |=16. ②当 y=-1 时,x=2, 4 一个不等式成立与否,取决于影响号的因素如数正、负零(或子)积平方倒都会对产生注意考查这些在中作用是也就比较好判断了. 于是有 =(2,-1), =(8,0), =(0,-4), ∴| |=8,| |=4. ∴S = 四边形 ABCD || |=16. 综上, 四边形 ABCD 的面积为 16.


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