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高中数列知识点总结


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高中数列知识点总结
1、数列的概念:

1 n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为 (答: ) 25 n ? 156 an (2)数列 {an } 的通项为 a n ? ,其中 a, b 均为正数,则 an 与 a n ?1 的大小关系为 bn ? 1
(1)已知 an

?

2

(答:

; an ? a n ?1 ) (3)已知数列 {an } 中, an 2.等差数列的有关概念: 一、复习目标 1.理解等差数列的概念和性质; 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能用公式解决简单问题 二、知识网络 1.定义: an?1 ; ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 )

? an ? d (常数) (n ? N ? )
? a1 ? (n ? 1)d ,推广: a n ? am ? (n ? m)d

2.通项公式: an

d=

a n ? a1 a ? am ,d = n 是点列(n,an)所在直线的斜率. n ?1 n?m

3.前 n 项的和: S n

?

n(a1 ? a n ) d d n(n ? 1) ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2 2

变式:

a1 ? a n S n = 2 n

4.等差中项:若 a、b、c 等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 5.性质:设{an}是等差数列,公差为 d,则 (1)m+n=p+q,则 am+an=ap+aq (2) an,an+m,an+2m??组成公差为 md 的等差数列. (3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n??组成公差为 n d 的等差数列. (4)当 n=2k-1 为奇数时,Sn=nak;S 奇=kak,S 偶=(k-1)ak 6.等差数列的判定方法(n∈N*) (1)定义法: an+1-an=d 是常数 (3)通项法: an (2)等差中项法: 2an?1 (4)前 n 项和法: S n (ak=a 中)
2

? an ? an ? 2

? a1 ? (n ? 1)d

? An2 ? Bn

7. a1 , d , n, an , S n 知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数: a ? d , a, a ? d , 四数 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

8.会从函数角度理解和处理数列问题.

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三、练练手
1.(2006 全国Ⅱ)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

s3 1 s ? ,则 6 ? ( s6 3 s12
(D)

)

(A)

3 10

(B)

1 3

(C)

1 8

1 9

2. (2006 广东) 已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其 公差是 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 3.等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则 A. S10 小于 0,S11 大于 0 B. S19 小于 0,S20 大于 0 C. S5 小于 0,S6 大于 0 D. S20 小于 0,S21 大于 0 ( )

4.(2006 天津)已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 , 且 a1 ? b1 ? 5 , a1 、 b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于
*

A.55 B.70 C.85 D.100 ( 5.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15=p 是一常数,则 S13= 6.在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,则 n= .



简答:1-4.ACBC; 3. a11>|a10|=-a10,∴a10+a11=a1+a20>0.
∴S20=10(a1+a20)>0.选 B 4. abn ? a1 ? (bn ? 1) ? a1 ? b1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 3, S10 ? 5(4 ? 13) ? 85 5. a2+a4+a15=p(常数) ,∴3a1+18d=p,即 a7= ∴S13=

1 p. 3

13 ? (a1 ? a13 ) 13 =13a7= p. 3 2

6.设首项为 a1 ,公差为 d ,则 ?

? 9 ? a1 ? 3d ?a1 ? 18 得? ?? 6 ? a1 ? 8d ? d ? ?3

3 ? 63 ? S n ? 18n ? n(n ? 1)得 : n ? 6或n ? 7 2

四、经典例题
【例 1】(1)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390, 求这个数列项数. (2)等差数列?an ? 的前 10 项的和 S10 ? 100, 前 100 项的和 S100 ? 10 ,求前110 项的和 S110 . 解(1)? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an ?1 ? an ? 2 ? 146

? a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2

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两式相加得 : 3(a1 ? an ) ? 180, a1 ? an ? 60 ,由S n ?

n( a 1 ? a n ) ? 390, 得n ? 13 2

(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项 a1 与公差 d 的两个方程.

11 1 ? ? ? d ? ? 50 ? 10a1 ? 2 ?10 ? 9d ? 100 ? ? 解得 : ? 解法一:设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d ,则 ? ?100a ? 1 ?100 ? 99d ? 10 ?a ? 1099 1 ? ? 1 100 ? 2 ?
? S110 ? 110 a1 ? 1 ? 110 ? 109 d ? ?110 2

分析二:运用前 n 项和变式: S n ? An2 ? Bn 解法二:

?an ?为等差数列,故可设 Sn ? An2 ? Bn ,

则?

? 100A ? 10B ? 100 解得110A ? B ? ?1 ?10000A ? 100B ? 10

? S110 ? 1102 A ? 110B ? 110(110A ? B) ? ?110
解法三:? S100 ? S10 ?

(a11 ? a100 ) ? 90 ? ?90? a11 ? a100 ? ?2 2

? S110 ?

110(a1 ? a110 ) (a11 ? a100 ) ? 110 ? ? ?110 2 2

方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.
题(1)利用了等差数列的性质和前 Sn 公式的特点; 题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前 n 项和公式的函数式特征. 【例 2】数列{an}的前 n 项和为 Sn=npan(n∈N*)且 a1≠a2, (1)求常数 p 的值; (2)证明:数列{an}是等差数列. 分析: (1)注意讨论 p 的所有可能值.

? S1 (2)运用公式 an= ? ?S n ? S n ?1

n ? 1, n ? 2.

求 an.

解: (1)当 n=1 时,a1=pa1,若 p=1 时,a1+a2=2pa2=2a2, ∴a1=a2,与已知矛盾,故 p≠1.则 a1=0. 当 n=2 时,a1+a2=2pa2,∴(2p-1)a2=0. ∵a1≠a2,故 p=

1 . 2

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1 nan,a1=0. 2 1 1 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= nan- (n-1)an-1. 2 2
(2)由已知 Sn= ∴

an a a 2 n ?1 n?2 = .则 n ?1 = ,?, 3 = .(n≥3) a n ?1 n ? 2 a n?2 n ? 3 a2 1 an =n-1.∴an=(n-1)a2, an-an-1=a2. (n≥3) a2



又 a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数. 故{an}是以 a2 为公差,以 a1 为首项的等差数列. 提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义 an-an-1=d, 2.等差中项,3.通项公式 an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn 例 3.已知两个等差数列 5,8,11,?和 3,7,11?都有 100 项,问它们有多少相同的项? 并求出所相同项的和。 分析一: 两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列, 且公差为原来两个 公差的最小公倍数。 解:设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为 ?an ? ,则 a1 ? 11 ∵数列5, 11, 8, ?和3, 11?的公差分别为 3 与 4??an ? 7, 的公差d ? 3 ? 4 ? 12,? an ? 12n ? 1 又因为数列 5,8,11,?和 3,7,11?的第 100 项分别是 302 和 399,

? an ? 12n ? 1 ? 302 n ? 25.5, 又n ? N ? , 所以两个数列有 25 个相同的项。 即
其和 S 25 ? 11 ? 25 ?

25 ? 24 ? 12 ? 3875 2

分析二:由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解法来求解。 解:设数列 5,8,11,?和 3,7,11?分别为 ?an ? ? n ? 则an ? 3n ? 2, bn ? 4n ? 1 ,b , 设 ?an ? 中的第 n 项与 ?bn ? 中的第 m 项相同,即

3n ? 2 ? 4m ? 1? n ?
根据题意得: ?

4 m ? 1, 又m, n ? N ? ,? 设m ? 3r , (r ? N ? )得n ? 4r ? 1 3

? 1 ? 3r ? 100 解得 : 1 ? r ? 25(r ? N ? ) ?1 ? 4r ? 1 ? 100
25 ? 24 ? 12 ? 3875 2

从而有 25 个相同的项,且公差为 12,其和 S 25 ? 11 ? 25 ?

(另法:由 m=3r 知第 r 个相同的项为 b3r=12r-1?) 方法提炼:法 1:设两数列中 an=bm,求出 n(或 m)应满足的关系,再代回 an(或 bm) 法 2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数. 例 4、 等差数列{an}中, m 项的和为 77 为奇数) 其中偶数项的和为 33, a1-am=18, 前 (m , 且 求这个数列的通项公式。

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? m ?1 ? 2 (a2 ? am ?1 ) ① ? 33 ? 解法 1:由已知 ? 2 ? m(a1 ? am ) ② ? 77 ? ? 2 m ? 1 33 ? , m?7, 又 a2 ? am?1 ? a1 ? am ,两式相除得 2m 77
从而由②得:a1+a7=22, 又已知 a1-a7=18,可解得 a1=20,a7=2. 公差 d=-3, an=-3n+23. 解法 2:利用前奇数项和与中项的关系 令 m=2n-1,n∈N+ ?S 2n ?1 ? (2n ? 1)a n ? 77 则 ? ?S偶 ? (n ? 1)a n ? 33

2n ? 1 77 , n=4, m=7, an=11 ? n ? 1 33 ∴ a1+am=2an=22, 又 a1-am=18 ∴ a1=20,am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23 提炼拓展;利用求和公式和性质;转化为两个基本量行吗?行.
∴ 【欣赏】 已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ).
(1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把已 知数列推广为无穷数列. [解](1) a10 ? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 . (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2

?

?

(d ? 0) ,

a 30

2 ?? 1? 3? ? 10? ? d ? ? ? ? , 2? 4? ?? ? ?

当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? . (3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等 差数列,当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d n 的等差数列.

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解题回顾:方法是基本的——转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.

五.总结
1.等差数列的概念和性质,证明数列{an}是等差数列的方法: 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式的求法与应用; 五个元素 a1,an,n,d,Sn 中知三,可求另两个. 3.思想.方法 :转化为基本量,利用性质,方程的思想,

同步练习 等差数列
【选择题】 1.在等差数列{an}中,am=n,an=m,则 am+n 的值为 (A)m+n (B) ( (D)0 )

1 ( m ? n) 2

(C)

1 ( m ? n) 2

2. (2006 全国Ⅰ)设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? A ( B )

120

105

C

90

D

75
( )

3.如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则 (A) a1 a8 ? a4 a5 (B) a8 a1 ? a4 a5 (C) a1 + a8 ? a4 + a5 (D) a1 a8 = a4 a5

4.(2004 重庆)若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是: A 4005 【填空题】 B 4006 C 4007 D 40084. ( )

5.(2005 天津)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) 则 S100=__ 6.(2003 全国)已知方程(x2-2x+m) 2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 (x

1 的等 4

差数列,则|m-n|= 简答.提示:1-4.DBBB; 5.2600; 6.设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,则 x1+x2=2,x3+x4=2∵ m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 m=

1 3 5 7 , , , ,∴ 4 4 4 4

7 15 1 ,n= .∴|m-n|= . 2 16 16

【解答题】 7.如果一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27,求公差; 分析:等差数列的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列,等差数列中通项公式和前

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n 项和公式中五个量 a1 , d , n, S n , an ,只要知道其中三个,就可以求其它两个,而 a1 , d 是基 本量
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解:设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,则

1 ? ?12a1 ? 2 ? 12 ? 11d ? 354 ? a ?2 1 ? ?12a1 ? 66d ? 354 ? 1 ? 6(a1 ? d ) ? ? 6 ? 5 ? 2d 32 ? ?5a ? 2d ? 0 d ?5 2 ? 1 ? ? 1 27 ? 6a ? ? 6 ? 5 ? 2 d 1 ? ? 2

?

8.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,求这个数列的中间项 及项数 解:设数列共 2m+1 (m∈N*)把该数列记为{an} 依题意 a1+a3+??+a2m+1=44 且 a2+a4+??+a2m=33

m (a2+a2m)=33 (1) 2 m ?1 (a1+a2m)=44 (2) 2 m 3 ? (1)÷(2)得 ∴m = 3 代入(1)得 a2+a2m = 22 m ?1 4
即 ∴am+1=

a2 ? a2m =11 2
a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2n , n

即该数列有 7 项,中间项为 11 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n,bn=

证明:数列{bn}是等差数列. 证明:Sn=n2-2n,a1=S1=-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,a1 满足上式即 an=2n- 3. ∵an+1-an=2(n+1)-3-2n+3=2, ∴数列{an}是首项为-1,公差为 2 的等差数列. n( a 2 ? a 2 n ) ∴a2+a4+?+a2n= 2

n(1 ? 4n ? 3) =n(2n-1) , 2 n(2n ? 1) 即 bn= =2n-1. n
= ∴bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2. 又 b2=

a2 =1, 1

∴{bn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.

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10.数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3 ,通项 an 与前 n 项和 S n 之间满足 2an ? S n S n?1 (n ? 2) (1)求证: ?

?1? ? 是等差数列,并求公差; Sn ? ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)数列 ?an ? 中是否存在正整数 k,使得不等式 a k ? a k ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求出最小的 k,若不存在,请说明理由. 解:(1)当 n ? 2时, ?

?an ? S n ? S n ?1 ? 2Sn ? 2S ? 2an ? S n S n ?1

n ?1

? S n S n ?1 ?

1 1 1 ? ?? , S n S n ?1 2



1 1 1 1 ?1? ? , ? ? ?是首项为 , d ? ? 的等差数列 . 3 2 S1 3 ? S n ?

(2)

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ,? Sn ? Sn S1 2 6 5 ? 3n

?当n ? 2时, an ?

1 18 Sn Sn ?1 ? 2 (3n ? 5)(3n ? 8)

? 3 (n ? 1), ? 18 ? an ? ? (n ? 2) ? (3n ? 5)(3n ? 18) ?
(3) ak ? ak ?1 ?

108 ?0 (3k ? 2)(3k ? 5)(3k ? 8)

?

2 5 8 ? k ? 或k ? ,?当k ? 3时, 有ak ? ak ?1 所求最小 k=3. 3 3 3

【探索题】已知数列{an}的各项均为正整数,且满足 an+1=an2-2nan+2(n∈N*) ,又 a5=11. (1)求 a1,a2,a3,a4 的值,并由此推测出{an}的通项公式(不要求证明) ; (2)设 bn=11-an,Sn=b1+b2+?+bn,Sn′=|b1|+|b2|+?+|bn|,求 lim
n ??

Sn 的值. ? Sn

解: (1)由 a5=11,得 11=a42-8a4+2,即 a42-8a4-9=0.解得 a4=9 或 a4=-1(舍). 由 a4=9,得 a32-6a3-7=0. 解得 a3=7 或 a3=-1(舍). 同理可求出 a2=5,a1=3. 由此推测 an 的一个通项公式 an=2n+1(n∈N*). (2)bn=11-an=10-2n(n∈N*) ,可知数列{bn}是等差数列.

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Sn=

n(b1 ? bn ) n(8 ? 10 ? 2n) = =-n2+9n. 2 2

当 n≤5 时,Sn′=Sn=-n2+9n; 当 n>5 时,Sn′=-Sn+2S5=-Sn+40=n2-9n+40. 当 n≤5 时, 备选题 6.在等差数列{an}中, 公差为

Sn =1; ? Sn

1 , a1+a3+a5+?+a99=60, a2+a4+a6+?+a100=_________. 且 则 2

解析:由等差数列的定义知 a2+a4+a6+?+a100=a1+a3+a5+?+a99+50d=60+25=85. 答案:85 3.(2004 年春季上海,7)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( an ,

a n?1 )在直线 x-y- 3 =0 上,则 an=___________________.
解析: 将点代入直线方程得 an - a n?1 = 3 , 由定义知{ an }是以 3 为首项, 3 以 为公差的等差数列,故 an = 3 n,即 an=3n2. 答案:3n2 7.(2003 年春季上海,12)设 f(x)=

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的

公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为________.

2 ,即 f(-5) 2 2 2 2 2 + f(6)= ,f(-4)+f(5)= ,f(-3)+f(4)= ,f(-2)+f(3)= ,f(-1) 2 2 2 2 2 2 + f(2)= ,f(0)+f(1)= ,故所求的值为 3 2 . 2 2
解析:倒序相加法,观察函数解析式的特点,得到 f(x)+f(1-x)= 答案:3 2 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 已知 a3=12, S12>0,S13<0 (Ⅰ)求公差 d 的取值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,?,S12,中哪一个值最大,并说明理由
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解: (Ⅰ)依题意,有 S12 ? 12 a1 ?

12 ? (12 ? 1) ?d ? 0 2 ?2a ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) S13 ? 13a1 ? ? d ? 0 ,即 ? 1 2 ? a1 ? 6d ? 0 (2)
a1=12-2d

由 a3=12,得

(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 ,∴ ? ? 7 ? 3? d ? 0

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(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0, 则 Sn 就是 S1,S2,?,S12 中的最大值 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0 由此得 a6>-a7>0 因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大
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9.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5,平方和为

85 ,求这 5 个数 9
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解:设三个数为 a,公差为 d,则这 5 个数依次为 a-2d,a-d ,a ,a+d ,a+2d 依题意:
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =

85 9

且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5

17 且 a=1 9 2 ∴a=1 且 d= ? 3 1 1 5 7 2 当 d= 时,这 5 个数分别是- 、 、1、 、 ; 3 3 3 3 3 1 1 2 7 5 当 d=- 时,这 5 个数分别是 、 、1、 、- 3 3 3 3 3
即 a2+2d2 =

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(2006 江苏)设数列 {a n } 、 {bn } 、 {c n } 满足: bn ? a n ? a n? 2 , c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 (n=1,2,3,?) ,证明 {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?) 证明:必要性.设{a n}是公差为 d1 的等差数列,则 b n+1 ? b n = (a n+1 ? a n+3) ? (a n ? a n+2)=(a n+1 ? a n) ? (a n+3 ? a n+2)=d1 ? d1=0 所以 b n≤b n+1 (n=1,2,3,?)成立. 又 c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2) =d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,?), 所以数列{c n}为等差数列. 充分性。设数列{c n}是公差为 d2 的等差数列,且 b n≤b n+1 (n=1,2,3,?). 证法一: ∵c n= a n +2a n+1+3a n+2 ① ∴c n+2= a n+2+2a n+3+3a n+4 ② ①-②得 c n - c n+2=( a n - a n+2)+2(a n+1 - a n+3)+3(a n+2 - a n+4) = b n + 2b n+1 + 3b n+2. ∵c n- c n+2=( c n- c n+1)+( c n+1 - c n+2)=-2d2. ∴bn + 2bn+1 + 3bn+2 =-2d2. ③ 从而有 bn+1 + 2bn+2 + 3bn+3 =-2d2. ④ ④-③得 (b n+1 - b n)+2(b n+2 - b n+1)+3(b n+3 - b n+2)=0. ⑤ ∵b n+1 - b n≥0,b n+2 - b n+1≥0, b n+3 - b n+2≥0,

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∴由⑤得 b n+1 - b n=0(n=1,2,3,?). 由此不妨设 b n =d3(n=1,2,3,?),则 a n - a n+2 =d3(常数). 由此 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2 = 4a n + 2a n+1 – 3d3, 从而 c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3d3 = 4a n+1 + 2a n -5d3. 两式相减得 c n+1 - c n =2(a n+1 - a n)-2d3, 因此 a n+1 - a n =

1 1 (c n+1-cn)+d3= d2+d3(常数)(n=1,2,3,?), 2 2

所以数列{a n}是等差数列. 证法二: 令 An = a n+1- a n,由 b n≤b n+1 知 a n - a n+2≤a n+1- a n+3, 从而 a n+1- a n≥a n+3 - a n+2,即 An≥An+2(n=1,2,3,?). 由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = a n+1 + 2a n+2 + 3a n+3 得 c n+1-c n=( a n+1- a n)+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2),即 An+2An+1+3An+2=d2. 由此得 An+2+2An+3+3An+4=d2. ⑥-⑦得 (An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0. 因为 An-An+2≥0,An+1- An+3≥0,An+2- An+4≥0, 所以由⑧得 An-An+2=0(n=1,2,3,?). 于是由⑥得 4An+2An+1=An+2An+1+3An+2=d2, 从而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2. 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,?), 所以数列{a n}是等差数列.

⑥ ⑦ ⑧

⑨ ⑩

(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 ); (2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是 8 ______(答: ? d ? 3 ) 3 3 15 1 (3)数列 {an } 中, an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 2 2 2 a1 =_, n =_(答: a1 ? ?3 , n ? 10 ); (4)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn
?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? (答: Tn ? ? 2 ). * ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N ) ?

3.等差数列的性质: (1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ;
A、 S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ?都大于 0

(2)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和,则(答:B) B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ?

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都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 D、 S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 。 (答:225)

都大于 0 (3)等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 (4)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ;

(5)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项 与项数(答:5;31). (6)设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 那么

Sn 3n ? 1 , ? Tn 4n ? 3

an 6n ? 2 ) ? ___________(答: 8n ? 7 bn

(7)等差数列 {an } 中,a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答: 前 13 项和最大,最大值为 169) ; (8) {an } 是等差数列, 若 首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006)

4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法: ①一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____ 5 (答: ) ; 6 ②数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是
等比数列。 (2)等比数列的通项: 设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 , q ?

1 或 2) 2

(3)等比数列的前 n 和: ①等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ; ②

? (? C
n ?1 k ?0

10

n

k n

; ) 的值为__________(答:2046)

(4)等比中项: ①已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______ (答:A>B) ②有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)奇数 个数成等比,可设为?, 为?

a a , , a , aq , aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设 q2 q

a a 2 , , aq, aq3 , 因公比不一定为正数, ?, 只有公比为正时才可如此设, 且公比为 q 。 3 q q

5.等比数列的性质:

中国领先的个性化教育品牌 (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:
512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log3 a 10 ? (答:10) (3)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设数列 {xn } 满足 loga xn?1 ? 1? loga x n (n ? N *) ,且 。

x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ?
为______(答:40) (5)若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =

(答: 100a

100

) ;

(4)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值 (答:-1)

(6)设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值 为_____(答:-2) (7)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: , ①若 a n ? a n?1 ②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列; b
n

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;

③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。 这些命题中,真命题的序号是 (答:②③) 6.数列的通项的求法: (1)已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试 写 出 其 一 个 通 项 公 式 : __________ ( 答 : 4 8 16 32

an ? 2n ? 1 ?

1 ) 2n ?1

(2)已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an (答: an ?

?

3, n ? 1 ) ; 2n , n ? 2

(3)数列 {an } 满足

1 1 1 14, n ? 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) 2 ,n ? 2 2 2 2

?

(4) 数列 {an } 中,a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , a3 ? a5 ? ______ 则 (答:

61 ) 16
(5)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________(答:

an ? n ? 1 ? 2 ? 1)
2 (6)已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n an ,求 an (答: an ?

4 ) n(n ? 1)

(7)已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2? n?1 ?1 ) ; 3 (8)已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 5? 3
n n ?1

; ? 2n?1 )

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(9)已知 a1 ? 1, an ?

1 an ?1 ,求 an (答: an ? ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1
1 ) n2

(10)已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ?

(11)数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an (答: ) 3

7.数列求和的常用方法: (1)公式法: n ①等比数列的前项和 Sn=2 -1,则=_____(答:; ) ②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如表示二进制 数,将它转换成十进制形式是,那么将二进制转换成十进制数是_______(答: ) (2)分组求和法: (答: ) (3)倒序相加法:求证: 1.定义: 2.通项公式: ,推广: d=,d=是点列(n,an)所在直线的斜率. 3.前 n 项的和: 变式:= 4.等差中项:若 a、b、c 等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 5.性质:设{an}是等差数列,公差为 d,则 (1)m+n=p+q,则 am+an=ap+aq (2) an,an+m,an+2m??组成公差为 md 的等差数列. 2 (3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n??组成公差为 n d 的等差数列. (4)当 n=2k-1 为奇数时,Sn=nak;S 奇=kak,S 偶=(k-1)ak (ak=a 中) 6.等差数列的判定方法(n∈N*) (1)定义法: an+1-an=d 是常数 (2)等差中项法: (3)通项法: (4)前 n 项和法: 7.知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:, 四数 1 等差中项 1 已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( 6 ) 2 设是等差数列的前项和,若,则(5) 3 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15=p 是一常数,则 S13= 2 等差数列的性质 1 若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有( 13 ) 2 设 Sn 是等差数列的前 n 项和,若( 1 ) 3 若数列是等差数列,首项,则使前 n 项和成立的最大自然数 n 是: ( 4006 ) 4 已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 ( 3 ) 5 在等差数列{an}中,公差为,且 a1+a3+a5+?+a99=60,则 a2+a4+a6+?+a100=___85___ 3 等差数列的通项公式 1 等差数列中,已知,,则 n 为( 50) , 2 如果, ,?,为各项都大于零的等差数列,公差,则( B ) (A) (B) (C)++ (D)=

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3 已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____15__ 4 等差数列{}的前 n 项和记为 Sn.已知(1)求通项; (2)若 Sn=242,求 n 5 设是公差为正数的等差数列,若, ,则 (105) 6 在等差数列{an}中,am=n,an=m,则 am+n 的值为 (0)

4 等差数列的前 n 项和 1 记等差数列的前 n 项和为,若, ,则该数列的公差 d=(3 ) 1 在等差数列中,已知,则 n= 6 或 7 . 2 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=(10 3 设是等差数列的前项和,若,则 ( ) 4 设数列的首项,则_ 153_ 5 已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn= )

6 已知数列是一个等差数列,且,(1)求的通项; 。 (2)求前 n 项和的最大值。 7 设为等差数列,为数列的前项和,已知, ,为数列的前项和,求;



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