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宁夏银川一中2017届高三第一次模拟考试数学(理)


绝密★启用前

2017 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第一次模拟考试)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N =
x

?

?

?

?

A. ? 2.复数 Z ? A.i

B.

? x 0 ? x ? 1?

C.

? x x ? 0?

D.

? x x ? 1?

2i 的虚部是 1? i
B.-i C.1
1 , a4 ? 3 ,则该数列前五项的积为 9

D.-1

3.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? A.±3 B.3

C.±1

D.1

4.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 A.4 3 C.12 3 5.二项式 ( x ? A.360 B.8 3 D.24 3
2 10 ) 展开式中的常数项是 x2

B.180

C.90

D.45

6.在 ?ABC 中, tan A ? A.-1

1 3 10 ,则 tan C = , cos B ? 2 10
C. 3 开始 输入 a,b 是 输
b?1 a

B.1

D.-2

7.若对任意非零实数 a, b ,若 a ? b 的运算规则 如右图的程序框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是
13 A. 12 1 B. 2

a≤b? 出

否 输出
a ?1 b

C.

3 2

D.9
! 1

结束

8.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? A.

?
3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,则 ? 的值为
C.

? 6

B.

? 3

5? 6

D.

2? 3
1 错 3b

9.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,

?a , b, c ? (0,1)? 错误!未找到引用源。,已知他投篮一次得分的数学期望是 2,则 2 ?
a

误!未找到引用源。的最小值为 A.
32 3

B.

28 3

C.

14 错误!未找到引用源。 3

D.

16 3

x2 y 2 2 10.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 1 相切,则该双曲线的离心率 a b
为 A. 3 B.2 C. 5 D. 6

11.已知函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 错误!未找到引用源。 时, f ( x ) ? e x ( x ? 1) 错误!未找到引用源。,给出下列命题: ①当 x ? 0 错误! 未找到引用源。 时, f ( x ) ? e x (1 ? x ) 错误! 未找到引用源。 函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。有 2 个零点 ③ f ( x ) ? 0 错误!未找到引用源。的解集为 ( ?1,0) ? (1,?? ) 错误!未找到引用源。 ④ ?x 1 , x 2 ? R 错误!未找到引用源。,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 2 错误!未找到引用源。 其中正确命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D.4 1 4 7 D.108 2 5 8 3 6 9 ②

12.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2?? 9 的 9 个 小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂 颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有( A.18 B.36 )种 C.72

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.曲线 y ?
2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x 1 4

.

14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? c 2 , 则
a cos B ? _______________ c
2



15.在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=x3+ax-b 错误!未找到引用源。在区间[-1,1] 上有且只有一个零点的概率是 .

16.已知三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积 为 3 , AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60 ? ,则此球的表面积等于__________ 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的各项均为正数, b1 ? 1 , 公比为 q (q ? 1) ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 an 与 bn ; (2)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

18.(本小题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生中 随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图 的频率分布直方图. (1)若直方图中后四组的频数成等差数列, 试估计全年级视力在 5.0 以下的人数; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的 学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查,得到右表中数据, 根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人,进一 步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 3 人,记名次在 1~50 的学生人数为 X , 求 X 的分布列和数学期望. 附:



3

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) π 如图(1)所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E 是 2 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图(2)所示. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 以椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心, a 2 ? b 2 为半径的圆称为该椭 a2 b2

圆的“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P ,左焦点为 F ,上顶点为 Q ,且满足 PQ ? 2 ,

S ?OPQ ?

6 S ?OFQ . 2

(1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程; (2)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED (不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,试 证明:当 OM ? ON ? 0 时,试问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? ax.(a ? 0)
2



4

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,求 a 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)证明: (1 ? )(1 ?

1 9

1 1 )...(1 ? 2 n ) ? e (n ? N * , e 为自然对数的底数). 81 3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点, OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于 点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DE2=DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长. F A O E B D C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? ? y ? 3 ? 2 sin t

, (t 为参数) ,在以原

点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? ? ? cos(? ? ) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为 A(2, ), B(2, ? ) .
4 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ; (2)已知 a ? 2 ,求证: ?x ? R, f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.



5

银川一中 2016 届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 1 答案 B 二、填空题 13. 4-ln2 三、解答题 14.
5 8

2 C

3 D

4 A
7 8

5 B

6 A

7 C

8 C

9 D

10 C

11 B

12 D

15.

16. 8?

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? 17. 解: (1) 设 {an } 的公差为 d , 因为 ? 所以 ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 S2 6?d ?q ? b , ?q ? q . ? ? 2
(舍) , d ? 3. 故 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n , bn ? 3n ?1 .……………………………………………5 分 (2)因为 S n ? 故

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ,所以 ? ? ( ? ) .………………8 分 2 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

1 1 1 2 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? S1 S 2 S n 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ? 1 ??

2? 1 ? ……………………10 分 ? ?1 ? ?. 3 ? n ?1 ? 1 1 1 1 因为 n ? 1 ,所以 0 ? ? ,于是 ? 1 ? ?1, n ?1 2 2 n ?1 1 1 1 1 2 1 2? 1 ? 2 所以 ? ? 1 ? ? .……………………12 分 ? ? .即 ? ? ? ? ? 3 S1 S 2 Sn 3 3 3 ? n ?1 ? 3
18. (1)设各组的频率为 f i (i ? 1, 2,3, 4,5, 6) , 由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人, ……1 分 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为 27, 24, 21,18 ……………………………2 分 所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 ?
2

82 ? 820 100

…………………………3 分

100 ? (41 ? 18 ? 32 ? 9) 2 300 ? ? 4.110 ? 3.841 (2) k ? 50 ? 50 ? 73 ? 27 73
因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6 分 (3)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名和 951~1000 名分别有 3 人和 6 人,

X 可取 0、1、2、3

…………………7 分

P( X ? 0) ?

3 C6 20 ? , 3 C9 84

P( X ? 1) ?

1 C62 C3 45 ? , 3 84 C9

1 2 C6 C3 18 P( X ? 2) ? ? , 3 84 C9

3 C3 1 P( X ? 3) ? 3 ? C9 84



6

X 的分布列为 X P
0 1 2 3

20 84

45 84

18 84

1 84
………………11 分 ………………12 分

X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

20 45 18 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ?1 84 84 84 84

19.解:(1)证明:在图(1)中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, π ∠BAD= ,所以 BE⊥AC,BE∥CD. 2 即在图(2)中,BE⊥OA1,BE⊥OC, 又 OA1∩OC=O,OA1?平面 A1OC,OC?平面 A1OC, 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角 A1BE C 的平面角, π 所以∠A1OC= . 2 如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED, 所以 B( 2 2 2 2 ,0,0)E(- ,0,0),A1(0,0, ),C(0, ,0) 2 2 2 2

2 2 2 2 → → 得BC=(- , ,0),A1C=(0, ,- ) 2 2 2 2 → → CD=BE=(- 2,0,0). 设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面 A1BC 与平面 A1CD 的夹角为 θ, → ? BC=0, ? ?n1· ?-x1+y1=0, 则? 得? 取 n1=(1,1,1); → ?y -z =0, ? ?n1· A1C=0, ? 1 1 → ?n2· CD=0, ? ? ?x2=0, ? 得? 取 n2=(0,1,1), → ?y -z =0, ?n2· ? A1C=0, ? 2 2 从而 cos θ=|cos〈n1,n2〉|= 2 6 = , 3 3× 2 6 . 3

即平面 A1BC 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值为



7

20.解: (1)设椭圆 C 的左焦点 F ( ? c ,0), c ? 0 ,由 S ?OPQ ?

6 6 S ?OFQ 得 a ? c ,又 2 2

PQ ? 2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 且 b 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? 3, b 2 ? 1 ,
x2 则椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ;椭圆 C 的“准圆”方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .………4 分 3 (2)设直线 ED 的方程为 y ? kx ? b ( k , b ? R ) ,且与椭圆 C 的交点

M ( x 1 , y1 )、N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ? b ? 联列方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ? 3
代入消元得: (1 ? 3k ) x ? 6kbx ? 3b ? 3 ? 0
2 2 2

? 6kb 3b 2 ? 3 由 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

………6 分

b 2 ? 3k 2 可得 y 1 y 2 ? ( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) ? 由 OM ? ON ? 0 得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 即 1 ? 3k 2

3 3b 2 ? 3 b 2 ? 3k 2 4b 2 ? 3k 2 ? 3 ? ? ? 0 , 所以 b 2 ? ( k 2 ? 1) ………8 分 2 2 2 4 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k
此时 ? ? 36k b ? 4(1 ? 3k )(3b ? 3) ? 27 k ? 3 ? 0 成立,
2 2 2 2 2

则原点 O 到弦 ED 的距离 d ?

b k ?1
2

?

b2 ? k2 ?1

3 3 , ? 4 2

得原点 O 到弦 ED 的距离为

3 3 ,则 ED ? 2 4 ? ? 13 , 4 2

故弦 ED 的长为定值. ……………………………12 分 21、解: (1)? f ??x ? ?

f ??0 ? ? 0,? a ? 0 ,验证知 a =0 符合条件…………………….(2 分)
(2)? f ?? x ? ?

2x ? a,? x ? 0 是 f ( x) 的一个极值点,则 1? x2

2x ax 2 ? 2 x ? a ? a ? 1? x2 1? x2

? f ( x)在?0,?? ? 单调递增,在 ?? ?,0 ? 单调递减;
2)若 ?

1)若 a =0 时,

?a ? 0 得,当a ? ?1时,f ?? x ? ? 0对x ? R恒成立, ?? ? 0
2

? f ( x)在R 上单调递减…………………………………(4 分)
3)若 ? 1 ? a ? 0时,由f ?? x ? ? 0得ax ? 2 x ? a ? 0

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 ? ?x? a a
再令 f ?? x ? ? 0, 可得 x ?

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 或x ? a a
8



? f ( x)在(

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 , )上单调递增, a a

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 )和( ,??)上单调递减 -------(6 分) 在 (??, a a 综上所述,若 a ? ?1时,f ( x)在(??,??) 上单调递减,
若 ? 1 ? a ? 0时,f ( x)在(

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 , )上单调递增, a a

若 a ? 0时,f ( x)在?0,?? ?单调递增,在?? ?, 0 ?单调递减.................. (7 分)

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 (??, )和( ,??)上单调递减 。 a a

? ? ?单调递减 (3)由(2)知,当 a ? ?1时,f ( x)在?? ?,
当 x ? ?0,?? ?时,由f ( x) ? f (0) ? 0

? ln(1 ? x 2 ) ? x 1 1 1 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? )...(1 ? 2 n )] ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ...... ? ln(1 ? 2 n ) 9 81 9 81 3 3 1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 1 1 ? 1 3 3 ? 1? ? ? 2 ? ...... n ? ? ? ?1 ? n ? ? 1 3 3 2? 3 ? 2 3 1? 3 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )...(1 ? 2 n ) ? e 2 ? e ,................................(12分) 9 81 3
23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? ? x ? ?5 ? 2 cos t, 解: (1)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,
? ? x ? 5 ? 2 cos t, 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,
1

消去参数 t,得 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 , 所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?



2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2

即 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ……………………………………(5 分)
? π? (2)∵A ? 2, ?,B(2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2,0) 在直线 l 上, ? 2?



9

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t,3 ? 2 sin t ) ,
? π? ?6 ? 2 cos ? t ? ? 4? | ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | ? 则 P 点到直线 l 的距离为 d ? , ? 2 2

∴d min ?

4 2

?2 2,
1 ? 2 2 ? 2 2 ? 4 …………………………(10 分) 2

所以 △PAB 面积的最小值是 S ?

(说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ?

| ?5 ? 3 ? 2 | 2

? 2 ? 2 2 也可参照给分. )

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (1)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 ,
3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2 3 ∴ ? ? x≤0 是不等式的解; 2

②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立,
∴0 ? x≤1 是不等式的解;

③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ?
∴1 ? x ? 5 是不等式的解. 2

5 , 2

? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . ? 2 2?

…………………………………………(5 分)

(2)证明:∵a ? 2 ,
∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ? a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

…………………………………………(10 分)



10


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