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《几何画板》教程——从入门到精通


写在前面
我们经过几年的信息技术课程的学习,对常用的办公软件、网页制作软件都有了比较详细的了解, 为我们有效利用信息技术改造学习奠定了良好的基础。 本学年, 我们将就信息技术和学科学习的整合进 行探索,分上下两篇:上篇主要学习用几何画板做数理实验的方法;下篇则重点掌握信息技术在研究性 学习中的应用。 考虑到初三课程的实际情况,我们没有严格按照课时来安排内容,而是用专题和案例的方式来组织 材料,方便各校根据教学环境和课时情况灵活安排教学进度。 我们在顺德教育信息中心为初三信息技术的学习开辟了专门的网站:网络探索(WebQuest) ,域名 是 http://wq.sdedu.net。本课程的相关工具和范例都在这里提供,各章节的编者担任相应栏目的版主,随 时欢迎广大师生前往交流。 欢迎随时访问网络探究网站,了解网络学习的最新进展!

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上篇

用几何画板做数理实验

同学们都喜欢物理和初三新开的化学,因为这两门课都有好多实验,那么数学就没有实验吗? 有的。我们可以用特定的“数字化的实验室软件”来验证数学定律,探索数学规律。这样的软件现 在国内外有很多,比较著名的有国内的“数学实验室”和国外的“几何画板” 。鉴于初中的数学知识范 围,我们可以先学习简单易学的“几何画板” ,高中以后我们可以借助大型的“数学实验室”平台来完 成更多的数学实验。 说明:几何画板是一个著名的教学工具软件,网上可以下载其试用版本,国内已经有 3.05 版的汉 化版本。本教材以 3.0 版为例编写。在我们的网络探索社区(http://wq.sdedu.net)的顺德信息技术 教材专区中,有专门的几何画板学习讨论专栏,方便于同学们在网上交流学习心得,讨论学习问题。同 时,本课程的案例程序也可以在该栏目找到。最新的几何画板试用版本也会放到这里供下载,请到自行 下载安装。 (安装过程请参考http://yzy68.home.sohu.com/Jc/Jhhb.htm) , 在顺德市教育信息中心(http://www.sdedu.net)的虚拟教研社区 “培训大楼”中,也有几何画 板专栏,专门供老师和有兴趣的同学讨论几何画板的高级使用问题。 除了用几何画板进行大量的数学探索实验之外, 与数学紧密相连的物理同样可以在几何画板上完成 很多实验。 我们将选取大家在初中数学和物理中遇到的一些典型问题为例子, 利用几何画板来完成一些 数学和物理实验。学完这些例子,相信同学们会熟练地应用几何画板,并且对学习过的或将要学的数学 知识、物理知识有更进一步的认识。好啦,让我们开始吧。 首先请下载安装好几何画板软件,打开几何画板,可以看到如下的窗口,各部分的功能如图所示:

图 1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏,其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。

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案例一 四人分饼
有一块厚度均匀的三角形薄饼,现在要把它平 均分给四个人,应该如何分?

图 1-1.1 思路: 思路:这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一: 方案一:画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部 分面积相等, (其实四个三角形全等) 。如图 1-1.2。

图 1-1.2 方案二: 方案二:四等分三角形的任意一边,由等底等高的三角 形面积相等,可以得出四部分面积相等,如图 1-1.3。

图 1-1.3 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。 说明:如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件” “新绘图” ,也可以新建一个绘图文件。 第二步:(1)在工具箱中选取“画线段”工具; (2)在工作区中按住鼠标左键拖动,画出一条线段。如图 图 1-1.4 1-1.4。 注意:在几何画板中,点用一个空心的圈表示。 第三步:(1)选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左 键,可以标出两点的标签,如图 1-1.5: 注意:如果再点一次,又可以隐藏标签,如果想改标签 为其它字母,可以这样做: 用“文本”工具双击显示的标签,在弹出的对话框中进 行修改,(本例中我们不做修改)。如图 1-1.6

A

B

图 1-1.5

3

图 1-1.6 在后面的操作中,请观察图形,根据需要标出点或线的 标签,不再一一说明 第四步:(1)再次选取“画线段”工具,移动鼠标与点 A 重合,按左键拖动画出线段 AC;(2)画线段 BC,标出标 签 C,如图 1-1.7。 注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再 标上标签更方便。
A C

B

图 1-1.7 第五步:(1) 用“选择”工具单击线段 AB,这时线段上 出现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态;(2) 由菜单“作图” “中点” ,画出线段 AB 的中点,标上 标签。得如图 1-1.8。 注意:如果被选取的是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。 在几何画板中,选取线段是不包括它的两个端点的,以 后的问题都是这样,如果不小心多选了某个对象,可以 按 Shift 键后用左键再次单击该对象取消选取。 第六步:用同样的方法画出其它两边的中点。得如图 1-1.9。 技巧:最快的方法是:按住 Shift 不放,用“选择”工 具分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由 “作图” “画中点”(或按快捷键 Ctrl+M),就可以同 时画好三条边的中点。
C

A

D

B

图 1-1.8
C

F E

A

D

B

图 1-1.9 第七步:用“画线段”工具连结 DE、EF、FD,得如图 1-1.10: 技巧: 画线段的另一方法, 在保证画线工具出现的是 “画 线段”按钮(不必选取)的前提下。 选取两点后,由菜单“作图” “画线段” ,(或按快捷 键 Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。 本例最快的做法: 1、选取“画点”工具,按住 Shift 键不放在工作区中画 三个点,这时三个顶点都保持选取状态 2、按 Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取;
F E C

A

D

B

图 1-1.10

4

3、 Ctrl+M, 按 可以同时画出三边中点且三中点同时被选 取; 4、按 Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边,标上标签即 可。 第八步:(1) 按住 Shift 键不放,用“选择“工具选取点 A、D、F;(2) 由菜单“作图” “多边形内部”填充多 边形内部;(3) 保持内部的选取状态,由菜单“度量” “面积” ,可以量出 ADF 的面积,如图 1-1.11。
C

面面 ADF = 0.77 cm 2
F E

A

D

B

图 1-1.11 第九步:(1) 用同样的方法,填充并度量三角形 BDE、ECF、DEF;(2) 选取 DEF 的内部,由菜 单“显示” “颜色” ,选择其它颜色,如蓝色, 得到如图 1-1.12。
面面 ADF = 0.77 cm 2 面面 DBE = 0.77 cm 2 面面 ECF = 0.77 cm 2 面面 DEF = 0.77 cm 2
A D B F E C

图 1-1.2 注意:在制作过程中,要经常保存文件,以免因意外原因造成文件丢失,以下每一个例子都是这样,不 再加以说明。 归纳结论: 归纳结论: 拖动顶点 A、B、C 中的任一个,可以改变三角形的大小和形状,请观察不同情况下,四部分的面 积是否总是相等?这样做可以完成分饼的任务吗? 说明:这是通过实验来验证数学规律,不能保证结论一定是正确,一般来说,有一些结果经过了人 类的长期实践,大家都公认了它的正确性,这时会把这个结论作为公理直接使用;而大多数情况下,实 验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么,实验有什么用呢?实验可以帮助我们认识规律,更容易接 受知识,并且常常可以让我们找到解决问题的方向。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例一供参考。 练习: 练习: 1、对于方案二,四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题,四等分线段可以用哪些方法? 2、为了方便在改变等分的份数(例如要分成五份)时方法仍然能用,这里介绍利用平行线等分线段的 方法把一条线段四等分。 C 第一步:(1) 选取“画射线”工具;(2)移动鼠标到与点 A 重合, 按住左键拖动, 画出一条以点 A 为端点的射线 AD, 得如图 1-1.13。
A B

D

图 1-1.13

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第二步:(1) 选取“画点” 工具, 移动鼠标到射线 AD 上, 在靠近点 A 处单击画出一个点 E,得如图 1-1.14; (2) 按住 Shift 键不放,用“选择”工具,依次选取点 A、 E,由菜单“变换” “标记向量 A-E” 。 说明:标记了一个向量后,可以在后面的平移变换中按 这个向量来平移,保证出现若干段相等的线段, 标记向量时,一定要注意选选择点的先后顺序。

C

A E

B

D

图 1-1.14 第三步:(1) 用“选择”工具选取点 E,由菜单“变换” “平移…” ,在弹出的对话框中点“确定”即可得一点 E’;(2) 选取E’,做同样的操作可以得E’’,……,这样 做下去,直到得到你想要的若干段相等的线段,这里是 四段,如图 1-1.15。
A E E' E'' E''' D C

B

图 1-1.15 第四步: 连结 BE’’’; (1) (2) 同时选取线段 BE’’’、 E、 点 E’、E’’,由菜单“作图” “平行线” ,画出了一组平 行线,如图 1-1.16。
C

A E E' E'' E''' D

B

图 1-1.16
C 第五步:(1) 用“选择”工具单击平行线和 AB 相交处, 得到三个四等分点; (2) 选取所有平行线、射线 AD 及 AD 上的点(除 A 外), 由菜单“显示” “隐藏 对象” ,可以隐藏制作过程中 的辅助线。得如图 1-1.17。 以下只要连结点 C 和三个四等分点就行了,…… B 注意: 注意:在最后结果中不需要看到的对象,一般是把它隐 A 藏,如果你选取后删去了它,你会发现你要的四等分点 图 1-1.17 也会消失,这是因为这些点是受辅助线控制的,隐藏的 对象只是看不到,但它仍然起作用。隐藏和删除是不同 隐藏和删除是不同 的。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案 例一的练习供参考。 3、 自己比较一下这两种方法, 在只需要四等分的情况下, 哪种方法方便?, 在需要其它等分的情况下,

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哪种方法更具有一般性?

案例二 三角形的内角和

现有一块三角形的木板,用来制作一个半圆形的木 盖,请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。

图 1-2.1 思路: 以三角形较短一边的一半为半径, 以三个顶点为圆心画弧, 得到三个扇形后拼成半圆, 如图 1-2.2: 思路:

图 1-2.2 那么,如何知道拼成的一定是一个半圆呢?下面用几何画板做一个实验来说明。 方案: 方案:画一个三角形;量三个内角的度数;用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的 三角形,总有内角和是 1800,那么说明拼成的一定是一个半圆形。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。画出三角形 ABC 第二步:(1) 选取“选择”工具,按住 Shift 不放, B 依次选取点 B、A、C;(2) 由菜单中的“度量” BAC = 45.0  “角度” ,量出∠BAC 的度数, ABC = 74.6  用同样的方法度量其它两个角。如图 1-2.3 ACB = 60.4  说明:由于每个人画的图不同,度数不一定和图 1-2.3 一样) 。 A C 图 1-2.3 注意:选一个角的关键是角的顶点要第二个选。 第三步:由菜单“度量” “计算”弹出一个计算 器, 依次点击 “∠BAC=…” “+” “∠ABC=…” 、 、 BAC = 45.0  “+”、“∠ACB=…”、“确定”,如图 1-2.4。 ABC = 74.6  说明: “∠BAC=…”在本例中是“∠BAC=45.00”, ACB = 60.4  这里用省略号表示,是因为每个人画的图不同,量 出的度数有可能不同, 以后类似的问题都这样来表 A 示。 BAC + ABC + ACB = 180.0  技巧:弹出计算器的方法有:(1) 由菜单“度量” “计算” ;(2) 双击工作区中的任一度量值,如 图 1-2.4 “∠BAC=…” (3) 在工作区中击鼠标右键, “度 ; 由 量” “计算” 。

B

C

7

归纳结论: 归纳结论: 请按要求操作后填写下表: 序号 操 作 1 观察 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成钝角三角形 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成直角三角形

2

3 4

现象 ∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______ ∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______ ∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______

三个角的和等于

用鼠标拖动其中一个顶点任意改 三个内角的和总是 变三角形的形状 结论 三角形的内角和总是________ 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二供参考。 练习: 练习: 1、自己画一个凸四边形,度量它的内角,计算内角和,验证凸四边形的内角和是 3600。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二练习 1 供参考。 2、用“选择”工具同时选取点 A、B,由菜单“度量” “距离” ,可以度量出线段 AB 的长度,请你 用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边” 。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二练习 2 供参考。

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案例三 最佳行走路线
如图 1-3.1:你身在草原上,现在要走到公路边去等车,请设计一个最佳行走路线。

图 1-3.1 思路: 思路:把人所处位置看作一个点,公路看作一条直线,行走的路线看作线段,由垂线段最短可以找到最 佳行走路线。 方案: 方案:画一条直线,过直线外一点引直线的垂线段和斜线段,度量线段的长,动态验证垂线段最短。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。 第二步:(1) 按住工具箱中的画线工具不放,在弹出的 C 工具条中选取“画直线”工具,按住鼠标左键拖动画出 一条直线;(2) 用“画点”工具在直线外画一点,如图 1-3.2。
A B

图 1-3.2 第三步:(1) 按 Shift 键,用鼠标选取点 C 和直线 AB, (不要选取点 A 和 B);(2) 由菜单“作图” “垂线” , 画出了过点 C 垂直于 AB 的直线,如图 1-3.3 说明:虽然点 A、B 在直线 AB 上,但选取直线时并没有 选取直线上的点, 在后面的学习中, 如果要求选取直线、 A 线段、圆等对象,这时不要把对象上的点也选取,除非 特别指明要选取这些点。 第四步:(1) 用“选择”工具单击垂足处,定义出垂足, 标上标签 D; (2) 选取垂线 CD(不要选取点 C、D)、点 A、B,由“显 示” “隐藏” ,把选取的对象隐藏,用“文本”工具 在直线上点一下,标出直线的标签 j;(3) 选“画线段” 工具,连结线段 CD,如图 1-3.4。 说明:点 A、B 是控制直线 AB 的点,通过拖动这两点, 可以改变直线的方向和位置, 一般情况下, 如果不想再 改变直线的位置, 或不再画其它线经过这两个点, 可以
C

B

图 1-3.3

C

j

D

1-3.4

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在制作完成后把它隐藏。 第五步:(1) 选取“画线段”工具;(2) 移动鼠标到点 C 处,按下左键拖动,当鼠标位于直线 j 上时松开,如 图 1-3.5。 技巧: 是直线 j 的斜线段, CE 所以要保证一个端点是 C, 另一个端点 E 只能在直线 j 上移动, 怎样才能保证呢?, 在画图的过程中, 移动鼠标到点 C 时, 注意观察状态栏 中有“从点 C” ,这时按下左键可以保证一个端点为 C, 移动鼠标到直线 j 时,状态栏中有“到点位于直线 j” 时松开,这样点 E 一定在直线上,不能拖到直线外。在 几何画板中,状态栏的作用非常重要。 第六步:同时选取点 C、D,由“度量” “距离” , 量出 CD,同理量出 CE,如图 1-3.6。
C

j

D

E

图 1-3.5

CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm

C

j

D

E

图 1-3.6 归纳结论: 归纳结论: 拖动点 E 在直线 j 上移动,观察 CD 与 CE 的大小,什么时候 CE=CD?,除了这个位置外的其它位置 CD 与 CE 哪一个比较大? 以上操作说明:从直线处一点引直线的所有线段中,_________最短,因而最佳行走路线是走点到直线 的垂线段。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载实例三供参考。 练习: 练习: 1、在图 1-3.6 的基础上,增加一个点 F,通过度量∠CDF、∠CEF,如图 1-3.7,拖动点 E,观察什么情 况下两个角相等,除了 CD 外,CE 在其它位置能和直线 j 垂直吗?
CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm

C

CDF =90    CEF =51   

F

j

D

E

图 1-3.7

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例三练习供参考。

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案例四 横梁有多长
如图 1-4.1,一个三角形屋架,屋面的宽度是 13 米,立柱长 5 米,那么横梁有多长?

图 1-4.1 思路: 思路:这是直角三角形中应用勾股定理的问题,那么,是不是任意的直角三角形三边都有这种关系? 方案: 方案:大家都已经证明过勾股定理,但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板 画一个直角三角形,度量三条边,计算两直角边的平方和,计算斜边的平方,不断改变图形的大小形状 (但保持直角不变),验证定理是否总是成立。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。 第二步:在工作区中画一条线段 AB,如图 1-4.2。 A B 图 1-4.2 第三步:(1) 按住 Shift,用“选择”工具选取点 A 和 线段 AB;(2) 由菜单“作图” “垂线” ,作出点 A 垂 直于线段 AB 的直线。如图 1-4.3 注意: 注意:不要选另外一个端点 B,那样过 B 点也会有一条 直线与 AB 垂直,本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧: 技巧: 只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小 和形状时总是保持垂直的关系, 如果只是画出一条自己 看上去“垂直”的直线,就不能在改变形状时保持垂直 关系。 第三步:(1) 选“画点”工具;(2) 移动鼠标到垂线上 单击,如图图 1-4.4 注意:观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击,这 样画的点永远位于直线上,不会拖到外面。
C

A

B

图 1-4.3

A

B

图 1-4.4 第三步:(1) 选取垂线 CD,由“显示” “隐藏直线” C , 把垂线隐藏; (2) 用画线段工具画出线段 AC、线段 BC,如图 1-4.5。 技巧: 最后的图中应该是线段, 但为了保证变化过程中 A 保持垂直关系, 必须先画辅助垂线, 最后在不需要时把 图 1-4.5 它隐藏。

B

11

第四步:用“文本”工具单击三角形的三边,得到如图 1-4.6 所示,

C m A

n

j

B

图 1-4.6

第五步:用“文本”工具双击标签 n,在弹出的对话框中作如下 改动:如图 1-4.7。

C b A

a

c

B

图 1-4.8

图 1-4.7 用同样的方法改 j 为 c,改 m 为 b,如图 1-4.8。 说明: 这样做是为了照顾我们的数学习惯, 或者是题目本身的要 求,这种改点或线的标签的方法,在操作过程中会经常用到。 第七步:同时选取线段 a、b、c,由菜单“度量” “长 度” ,可以同时量出三条边的长度,如图 1-4.9
C b A

a

c

B
a = 3.03 cm

c = 2.70 cm b = 1.39 cm

图 1-4.9 第八步:弹出计算器,依次点击“b=…” “^” “2” 、 、 、 “+”“c=…”“^”“2” 、 、 、 ,然后按“确定” ,可以计算 出 b2+c2 的值;同样可以算出 a2 的值, 得到如图 1-4.10, 说明:这里“^”表示乘方运算。
C b A

a

c

B
a = 3.03 cm

c = 2.70 cm b = 1.39 cm

b 2 + c 2 = 9.20 cm 2

a 2 = 9.20 cm 2

图 1-4.10

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归纳结论: 归纳结论: 序号

现象 b2+c2 与 a2 相等吗? 2 b +c =____ 1 观察 a2=_____ b2+c2=____ 2 用鼠标拖动点 B 到另一位置。 a2=_____ b2+c2=____ 3 用鼠标拖动点 B 到另一位置。 a2=_____ 4 任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状, 2 b +c2____a2 结论 可以看到, 总是有两直角边的平方和等于斜边的平方, 本例中的横梁用勾股定理算得一半为 12 米, 全长为 24 米。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载实例四供参考。 练习: 练习: 1、量出直角三角形的两锐角的度数,验证直角三角形的两锐角互余。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例四练习 1 供参考。 2、学画一个矩形,先完成本例到第三步得图 1-4.11,这里只是把原来的点 C 改成了 D。 操 作
2

D

A

B

图 1-4.11 (1)选取点 D 和线段 AB,由“作图” “平行线” , 画出过 D 平行 AB 的直线; (2)选取点 B 和直线 AD, 同样画出过点 B 平行于 AD 的直线; (3)用“选择” 工具定义出第四个顶点,标记标签为 C;如图 1-4.12
C D

A

B

图 1-4.12 (4)隐藏三条直线,画出线段 AD、DC、CB,即得矩 形 ABCD,如图 1-4.13。 说明:拖动点 A、B 可以改变矩形的大小和位置并可以 旋转一定的角度; 拖动点 D 只能改变矩形在纵向上的大 小, 拖动点 C 不会改变矩形的大小, 但可以改变矩形的 位置,但无论如何改变,这个图形一定是矩形,你可以 通过度量角和边来证实这一点。
D C

A

B

图 1-4-13

3、先画出如图 1-4-14 的图形,然后用类似于第 2 题的方法画一个平行四边形,

C A B
图 1-4-14

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案例五 三角形的高
三角形的高可能出现在哪些位置? 思路: 思路:应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。 方案: 方案:如果用笔在纸上画图,只能三种类型中各画一个图来说明,现在借助几何画板,我们可以动 态地改变三角形的形状,使不同类形的三角形的高可以动态改变。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:(1) 选取“画点”工具画三个点;(2) 选取“画 直线”工具后,什么都不用做;(3) 选取“选择”工具, 在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点;(4) 由菜单 “作图” “画直线” (快捷键是 Ctrl+L) ,可以画出 过这三点的三条直线,标上标签,如图 1-5.1。 技巧:(1) 如果要选取的对象比较多,可以用“选择” 工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象, 这时可能 会多选了一些你并不想选的, 可以按 Shift 键后, 单击 该对象取消选择状态;(2) 上面第二步选“画直线”工 具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项, 如果你没有做这一步,菜单中通常出现“画线段” ,也 就是说, 几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态 是相关的。 第二步:过点 A 作直线 BC 的垂线,并单击垂足,定 义出垂足 D,用同样的方法作出垂线 BE 和 CF,如图 1-5.2,

A

B
1-5.1

C

A F E B D
图 1-5.2

C

第三步:按住 Shift 键,用“选择”工具选取所有的直 线,注意不要选到点;由菜单“显示” “隐藏直线” , 可以隐藏所有直线,得到如图 1-5.3

A F E B
图 1-5.3

D

C

第四步:(1) 同时选取点 A、B,(2) 选取“画线段”工 具,然后按 Ctrl+L,画出线段 AB;(3) 用同样的方法画 F 出线段 BC、AC、AD、BE、CF,得到如图 1-5.4。 技巧:上面说 Ctrl+L 是画直线,但当你先画了“画线 段”的工具后,它的功能会自动变边画线段。 注意: 为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢?这 B D 是本例的要点,因为如果一开始画的是线段,点 D、E、 图 1-5.4

A E C
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F 被定义为垂线和线段的交点, 如果你拖动三角形变为 钝角三角形, 垂线和线段没有交点, 这样会导致有两条 高消失。现在的点 D、E、F 分别是垂线和直线的交点, 再拉动三角形成钝角三角形时,高不会消失。

第五步:(1) 拖动点 A,使∠ACB 变 成钝角, (如图 1-5.5) ;(2) 选取点 C 和 D, Ctrl+L, 按 画出线段 CD; 保 (3) 持线段 CD 的选取状态,由菜单“显 示” “线型” “虚线”,改 CD 为虚线,符合通常的习惯, 用同样的方法画线虚线段 CE,

A F B E
图 1-5.5

A F

C

D

B E

C

D

第六步:拖动点 A 使使∠ABC 变成钝角后用同样的方 法作出虚线段 BF。最后完成图 1-5.6

A E D
图 1-5.6

B F

C

归纳结论; 归纳结论; 序号 1 观察 操 作 三角形三条高的 位置 三条高(或高的延长 线)交于一点吗?

用鼠标拖动点 C 到另一位置。 2 使△ABC 仍为锐角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。 3 使△ABC 变为直角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 4 ∠ABC 为钝角,再观察 结论 三角形的三条高或高的延长线___________. 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五供参考。 练习: 练习: 观察三角形的三条中线,三条角平分线的位置关系。 其中画中点的方法:选取线段,由菜单“作图” “中点” (或按 Ctrl+M)可以作出线段的中点, 接着就可以画中线了; 画角平分线的方法:如按 Shift,依次点选点 B、A、C,可以作出∠BAC 的平分线,确定角平分 线和对边的交点后,隐藏角平分线,再连出线段就行了。

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1、请自己画一个三角形作出它的三条中线,然后按要求填写实验报告。 三角形三条中线 三条中线交于一点 序号 操 作 的位置 吗? 1 2 观察

用鼠标拖动点 C 到另一位置。 使△ABC 仍为锐角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。 3 使△ABC 变为直角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 4 ∠ABC 为钝角,再观察 结论 三角形的三条中线___________. 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五练习 1 供参考。 2、请自己画一个三角形,作出它的三条角平分线,然后按要求填写实验报告。 三角形三条角平 三条角平分线交于一 序号 操 作 分线的位置 点吗? 1 2 观察

用鼠标拖动点 C 到另一位置。 使△ABC 仍为锐角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。 3 使△ABC 变为直角三角形,再观 察, 用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 4 ∠ABC 为钝角,再观察 结论 三角形的三条角平分线___________. 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五练习 2 供参考。

16

案例六 挂画的学问

要把一幅画挂在墙上,画的上下边框要和横梁平行,左右与立柱的距离相等,应该如何钉上 挂钉?

图 1-6.1 思路: 思路: 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。 方案: 方案:挂绳拉紧后,挂点到像框边框两端的距离应该相等,考虑到平行和等距的条件,只要横梁的中垂 线与边框中垂线二线合一就行了,所以只要画横梁的中垂线,把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。 下面验证“线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等” 。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:画一条线段 AB。如图 1-6.2 A B 图 1-6.2 第二步:(1) 用选择工具选取线段 AB,(2) 由菜单“作 图” “中点” (快捷键是 Ctrl+M) ,画出线段 AB 的 A 中点 C,如图 1-6.3 注意: 不要多选其他对象, 如果你多选了其他对象, “中 点”这个选项是灰色的不可用,一般来说,只要选择的 对象不符合要求的条件,就不可能使用相应的菜单项。 第三步:(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点 C 和线段 AB(但不要框住 A、B 两点) ,这样可以同时 选取点 C 和线段 AB,(2) 由菜单“作图” “垂线” , 画出过点 C 垂直于线段 AB 的垂线, 即是线段 AB 的垂 A 直平分线。如图 1-6.4 注意: 如果你画的图不是这样, 过点 A 或 B 也有了垂线,

C

B

如图 1-6.3

C

B

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那是因为你多选了点 A 或点 B。 第四步:选取“画点”工具,在中垂线上画一点,标记 为 P,如图 1-6.5

图 1-6.4
P

A

C

B

图 1-6.5 第五步:(1) 画出线段 PA、PB;(2) 选取点 P、A,由菜单 “度量” “距离” ,量得 PA,同样量出 PB。 第六步:(1) 同时选取点 P 和中垂线;(2) 由菜单“编辑” “操作类按钮” “动画” ,在弹出的对话框中,设置如 图 1-6.6
动动

P
PA = 2.59 cm PB = 2.59 cm

A

C

B

图 1-6.7

图 1-6.6 这样在屏幕上会出出一个 “动画” 按钮, 当双击这个按钮时, 点 P 会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。 最后结果如图 1-6.7。 注意: 不要多选其它对象, 这里只需要点 P 在中垂线上运动。 归纳结论: 归纳结论: 序号 操 作 现象 这时 PA=____ 1 拖动点 P 到另一位置, PB=____ 这时 PA=____ 2 拖动点 P 到第二个位置 PB=____ 这时 PA=____ 3 拖动点 P 到第三个位置 PB=____ 点 P 在 AB 的中垂 4 双击“动画”按钮, 线上不停的运动, 结论

结论(是否相等) PA____PB PA____PB PA____PB PA____PB

只要点 P 在线段 AB 的中垂线上,实验过程中 PA______PB.

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六供参考。 练习: 练习 1、我们将在前面作图的基础上,进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。

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第七步:(1) 选取垂直平分线,将它隐藏;(2) 画出线 段 PC。得到如图 1-6.8。

动动

P
PA = 2.59 cm PB = 2.59 cm

A
图 1-6.8 第八步: 用量距离的方法量 AC、 量∠PAB、 BC, ∠PBA、 ∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC 的度数,得到如图 1-6.9。

C

B

P

动动 PA = 3.17 cm PB = 3.17 cm AC = 1.47 cm

A

C

B

BC = 1.47 cm

APC = 27.53      PAB = 62.47  PCB = 90.00    BPC = 27.53    PBA = 62.47    BPA = 55.06   

图 1-6.9 归纳结论: 归纳结论: 序号 1 2 3 4 5 结论 用鼠标拖动(或双击动画 按钮)不断地改变点 P 位 置。





现象 PA 和 PB 总是相等吗? ____________________ ∠PAB 和∠PBA 总是相 等吗? ∠PCB 总是等于 90 度 吗?______________ AC 和 CB 的长总是相等 吗?______ ∠APC 和∠BPC 总是相 等吗?__________

结论 △PAB 是______三角 形。 等腰三角形的两底角 __________ PC 是等腰三角底边上 的________ PC 是等腰三角形底边 上的_________. PC 是等腰三角形顶角 的_______________.

等腰三角形的两底角_______,底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线 __________.

也可以拖动使∠APB=600,再观察边角的变化。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六练习 1 供参考。 2、学画一个菱形,接第 1 题,先画出如图 1-6.10 的图形,由于点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 PA=PB。

P

A

C

B

图 1-6.10

19

(1)选择线段 AB,由“变换” “标记镜面…” ,标记 AB 为镜面,线段上出现闪烁后消失的两个 方框。 说明:标记镜面后,一个对象如果关于这个镜面反射,这时就好象人照镜子一样,人离镜面近,人 像离镜面也近,用数学的说法,镜面就是对称轴,反射可以得到对称点或对称图形。 技巧:标记镜面的另两种方法: (1)直接双击直线(线段、射线)(2)选取直线(线段、射线) ; 后用快捷键 Ctrl+G. (2)同时选取点 P、线段 PA、PC、PB; (3)由“变 换” “反射” ,得到如图 1-6.11。 (4)用“文本”工具改各点标签为你想要的,例如得 图 1-6.12。 说明:在几何画板中,画特殊四边形的方法不只一种, A 但不管用哪种方法, 都要符合图形的几何关系, 也就是 当改变大小了位置时,矩形仍是矩形,菱形仍是菱形。

P

D

C B

A

O C

B

图 1-6.11 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六练习 2 供参考。

图 1-6.12

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案例七 抽水房的位置
在一条河的同一旁有两个村庄 A 和 B,现在要在河边建一个抽水房,应该建在什么位置, 才能使所用的水管的钱最少?

图 1-7.1 思路: 思路:用钱最少,一般要求所用的水管最短,转化为数学问题,即是在表示河流的直线上找一个点 C, 使 AC+BC 最小。 方案: 方案:作点 A 关于河流的对称点 A’,连 A’B 交河流于 C,计算 AC+CB;在河流上另取一点 D,计算 AD+DB,通过拖动点 D 在直线上移动,验证 AC+CB 最小,从而说明 C 为最佳点。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步: (1)画出表示村庄的点 A、B; (2)画一条直 B 线表示河流, 隐藏直线上的两个点, 设置直线的标签为 A “河流” ,如图 1-7.2。 说明: 标签可以用中文表示, 这种技巧常用来标注点或 线等对象的功能,例如:给某一点标上“拖动我改变图 河河 形” 。 图 1-7.2 第二步: (1)选取表示河流的直线; (2)由菜单“变换” “标记镜面…” ,直线上出现闪烁后消 失的两个方框。

第三步: (1)选取点 A,由菜单“变换” “反射” , 得点 A 关于直线(河流)的对称点; (2)用文本工具 标出标签,默认的是字母 A’,得到如图 1-7.3

B A

河河
A'

图 1-7.3
21

第四步: (1)用“画线段”工具连结 A’B; (2)用“选 择” 工具在线段和河流相交处单击, 作出线段和河流的 交点,标出交点的标签 C,如图 1-7.4。

B A

C A'

河河

图 1-7.4 第五步: (1)用“画点”工具在河流上画一个点,标记 为 D; (2)用“画线段”工具连结 AC、AD、BD、A’D, A 如图 1-7.5。
C A' D B

河河

图 1-7.5

第六步: (1)同时选取点 A、点 C; (2) 由菜单“度量 “距离” ,量出 AC; (3) 用同样的方法量出 A’C、CB、AD、A’D、 DB,如图 1-7.6。 说明:量出点 A、C 的距离,由数学定义可 知,这就是线段的长;量线段的长还可以 直接选取线段 AC, (不要选取点 A、 “度 C) , 量” “长度” ,但这样的方法无法直接量 出图 1-7.6 中 CB 的长,还要进一步作图。

AC =0.45 cm A'C =0.45 cm CB =0.92 cm

AD =0.89 cm A'D =0.89 cm DB =0.63 cm

B A

C A'

D

河河

图 1-7.6 第七步: (1)调出计算 器 ;( 2 ) 依 次 点 击 “ AC= … ”、“ + ”、 “CB=…”“确定” 、 ,可 以计算出 AC+CB 的值; ( 3 ) 同 样 去 计 算 A’C+CB 、 AD+DB 、 A’D+DB,拖动到适当位 置得到如图 1-7.8。
AC =0.45 cm A'C =0.45 cm CB =0.92 cm AD =0.89 cm A'D =0.89 cm DB =0.63 cm

B A

C A'
AC + CB = 1.37 cm A'C + CB = 1.37 cm

D

河河

AD + DB = 1.52 cm A'D + DB = 1.52 cm

图 1-7.8

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归纳结论: 归纳结论: (一) 序号 1 2 3 4 结论 (二) 序号

现象 D 点是否是最佳点 AC+CB=____ 观察 AD+DB=____ 上面的两个和差距 拖动点 D 远离点 C, 变______ (大或小) 上面的两个和差距 拖动点 D 靠近点 C, 变______ (大或小) 上面的两个和 拖动点 D 与点 C 重合, _____ 以上现象说明,只有取点____处,才能使所用的水管最短, 操 作





现象 有无相等的关系 AC+CB=____ A’C+CB=____ 1 观察 AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 2 拖动点 D 远离点 C, AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 3 拖动点 D 靠近点 C, AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 4 拖动点 D 与点 C 重合, AD+DB=____ A’D+DB=____ 以上现象说明,研究 AC+CB、AD+DB 的关系,可以转为研究 A’C+CB 和 结论 A’D+DB 的关系, 而这个关系可以简单地用三角形的两边之和____第三边来 说明。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例七供参考。 练习: 练习: 画一条直线,在直线的一旁画一个三角形,标记直线为“镜面” (即对称轴) ,选取三角形的全部 (包括顶点和边)“反射”出它关于直线对称的图形, , 1、 用鼠标拖动改变三角形的形状,体会“对称的图形是全等形” , 2、 连结对称点,通过过量角和量线段,体会“对称点的连线被对称轴垂直平分” 。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例七练习供参考。

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案例八 选择厂址
如图,河南区新建一个工厂,在公路西侧,到公路的距 离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为 300 米,在图上标出工厂的位置,并说明理由。比例尺 是 1:20000

图 1-8.1 思路: 思路:这里可以把桥看作是一个角的顶点,河岸和公路分别是角的两边,问题转化为:在角平分线上找 一点,使它到顶点的距离是 300 米。 方案: (1)画出角的平分线,以顶点为圆心; (2)1.5cm 为半径画圆,定义圆与角平分线的交点即为所 方案: 求。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。 第二步:选“画射线”工具,画一个角,如图 1-8.2。 A

B C

图 1-8.2 第三步: (1)用“选择”工具依次选取点 B、A、C; (2)由菜单“作图” “角平分线” ,画出了∠BAC 的平分线,如图 1-8.3。
A

B C

图 1-8.3

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第四步:用“画点工具”在角平分线上画一个点,标出 标签。得到如图 1-8.4。

A

B C D

图 1-8.4 第五步: (1) “选择” 用 工具同时选取点 D 和射线 AB; (2)由“作图” “垂线” ,画出过点 D 垂直于射线 AB 的直线; (3)用“选择”工具单击垂足处,定义表 示垂足的点,并用“文本”工具标上标签; (4)选取画 好的垂线,把它隐藏,并用“画线段”工具画出垂线段 DE,用同样的方法画出垂线段 DF,得到如图 1-8.5
A E B C D

F

图 1-8.5 第六步: (1)选取点 D 和射线 AD, (2)由“编辑” “操作类按钮” “动画” ,在弹出的对话框中设置点 D 在射线 AD 上双向慢速运动。得到如图 1-8.6。
F C D A E B

动动

图 1-8.6 第七步:度量出∠AED、∠AFD,线段 DE、DF,最 后的结果如图 1-8.7。 操作验证:双击“动画”按钮或用鼠标拖动点 D 移动, 可以发现 DE、DF 总是分别垂直于角的两边,并且 DE=DF,这说明了我们要找的点可以定位于角平分线 上。
AED =90.00  AFD =90.00  DF =1.27 cm DE =1.27 cm

A E

动动

F

B D

C

图 1-8.7 第八步:在工作区中画一条线段 GH,量出距离,通过 调整 G、H 的位置,使 GH=1.5cm。如图 1-8.8 说明:取 GH=1.5cm 是因为比例尺是 1:20000。
GH =1.50 cm

G
AED =90.00  AFD =90.00  DF =1.27 cm DE =1.27 cm

H A E B D

动动

F

C

图 1-8.8

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第九步: (1)同时选取点 A 和线段 GH(不要选点 G 和 H)(2)由“作图” “以圆心和半径画圆” ; ,得 到一个以点 A 为圆心, 半径是 1.5cm 的圆; (3) “选 用 择” 工具单击圆与角平分线的相交处, 定义出的交点 I 即为所求。如图 1-8.9

GH =1.50 cm

G
AED =90.00  AFD =90.00  DF =1.43 cm DE =1.43 cm F

H A

E I

C D

如图 1-8.9 第十步: (1)选取圆把它隐藏; (2)度量 AI; (3)选取点 I 和射线 AB,由“度量” “距 离” ,可以量出点 I 到射线的距离,同理量出 点到角的另一边的距离,如图 1-8.10 由图可知,点 I 为所求的点。 说明: 本例是为了帮助学习角平分线的有关作 图, 复习角平分线的性质, 所以设计了较多的 步骤, 如果只是为了解决问题本身, 可以在画 好角平分线后转入第八步, 可以快速确定出点 I。
AI = 1.50 cm

GH = 1.50 cm G AED = 90.00   AFD = 90.00   DF = 1.43 cm DE = 1.43 cm F C D I A

距距(I到 = 0.98 cm AB) H 距距(I 到 = 0.98 cm AC) 动动
E B

图 1-8.10 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八供参考。 练习: 练习: 1、如图 1-8.11 是两个互为邻补角的角,分别画出它们的角平分线,验证所画角平分线的关系。
C

A

O

B

图 1-8.11 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 1 供参考。 2、验证平行线的性质 第一步: (1)画一条直线; (2)在直线外画一点。如图 C 1-8.12。

A

B

图 1-8.12

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第二步: (1)选取点 C 和直线 AB; (2)由“作图” “平行线” ,得如图 1-8.13

C

A

B

图 1-8.13 第三步: 画第三条直线和这两条平行线相交, 最后完成 如图 1-8.14
C E D

A

F

B

图 1-8.14 请自己度量同位角、内错角,同旁内角,计算同旁内角的和,拖动点改变图形,验证平行线的性质。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 2 供参考。

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案例九 古建筑的窗格

在古建筑中,常可以看到这样的窗格,如图 1-9.1,这 其中有什么数学知识呢?

图 1-9.1 思路: 思路:外圈是一个矩形,相当于连结矩形四边的中点,得到一个四边形,再连结它的四边的中点。 方案: (1)先画一个平行四边形,顺次连结四边中点,再顺次连结所得四边形四边中点,度量三个四边 方案: 形的四边和一个内角,此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形” ; 0 (2)通过拖动点的位置,使最大的四边形的一个内角的度数为 90 ,这时可以观察里面的两个四边形, 此步可以说明: “顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图 、 形” ; (3)继续拖动点的位置,保持最大四边形的内角是 900 的前提下,使它的邻边相等,这时最大的四边 形是正方形,此步可以说明: “顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形” 。 几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:画一个平行四边形, (1) 先画好线段 AB、BC; (2) 分别过点 C 作线段 AB 的平行线,过点 A 作线 段 BC 的平行线; (3) 用“选择”工具定义得交点 D,如图 1-9.2。
D C

A

B

图 1-9.2 第二步: (1)隐藏直线 AD、DC; (2)连结线段 AD、 DC,得如图 1-9.3。 注意:隐藏直线时不要误选点 A、D、C,这三点不能隐 藏。
D C

A

B

图 1-9.3

第三步: (1) 选取平行四边形的四边, “作图” “中 由 点” ,画出四边中点,用线段顺次连结; (2)再选取所连四条线段,同样定义中点,顺次连结, 如图 1-9.4。

D K H L A E

G J F I B

C

图 1-9.4

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第四步: (1)同时选点 A、B, 由“度量” “距离” ,量出 AB 的长,用同样的方法量出 每个四边形的四条边; (2)按住 Shift,依次选点 D、 A、B,量出∠DAB,同样量 ∠HEF、 ∠KLI; 得如图 1-9.5。

D K H L A E

G J F I B

C LI = 1.23 cm KJ = 1.23 cm IJ = 1.02 cm LK = 1.02 cm

KLI =64.91  

AB = 2.46 cm BC = 2.04 cm DC = 2.46 cm AD = 2.04 cm DAB = 64.91  

HE = 1.22 cm EF = 1.90 cm GF = 1.22 cm HG = 1.90 cm HEF = 101.76 

图 1-9.5 归纳结论: 归纳结论: (1) 拖动点 C 改变平行四边形 ABCD 的大小和位置, 可以看到 ABCD 总是平行四边形, 四边形 EFGH 是_______________,四边形 I JKL 是____________, 说明顺次连结平行四边形的四边中点, 所得 的图形是________________. (2) 拖动点 C,使∠DAB=900,这时 ABCD 是______形,四边形 EFGH 是_______,四边形 IJKL 是 ________。说明顺次连结矩形四边中点得_______,顺次连结菱形四边中点得______. (3) 拖动点 C, 保持∠DAB=900, 同时使 AB=AD, 这时 ABCD 是______形, 四边形 EFGH 是_______, 四边形 I JKL 是________。说明顺次连结正方形四边中点得_______。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例九供参考。 练习: 练习: 1、 (1)画一个四边形,顺次连结四边中点,如图 1-9.6,看得到的 GFEH 什么样的图形,请度量 GFEH 的边长来说明; (2)拖动点 A 成图 1-9.7 位置,GFEH 还是平行四边形吗? (3)拖动点 A 成图 1-9.8 位置,GFEH 还是平行四边形吗? 以上操作说明:四条线段首尾相接(不一定是凸四边形),顺次连结各线段中点所得的图形是_______
D G A F B
F B

H C E
D G

H

C

A H G D C

A

E

F

E

图 1-9.6
B

图 1-9.7

图 1-9.8

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 1 供参考。 2、更深入的探究:顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、菱形、正方形? (1)连结得正方形。 第一步:画一条线段,AB,在 AB 上画一点 C,如图 A C 1-9.9 图 1-9.9 第二步:用“选择”工具双击点 C,标记点 C 为中心, 下面将要进行的旋转是绕点 C 进行的, 技巧:标记一点为中心的另两种方法是

B

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(1) 选取一个点,由“变换” “标记中心” ; (2) 选取一个点,按快捷键 Ctrl+F。 第三步:选取点 A、B,由“变换” “旋转” ,在弹 出的对话框中设置如图 1-9.10:得到如图 1-9.11。
A B' C B

A'

图 1-9.11

图 1-9.10 说明:这样做的目的是保证两条线段垂直且相等。 第四步:选取点 A'、B',由“变换” “平移” ,在弹 出的对话框中做如图 1-9.12 设置,得图 1-9.13。
B''

B'

A

C A''

B

A'

图 1-9.13

图 1-9.12 说明: 如果我们直接由刚才的四个点连结得四边形, 会 得到一个梯形,平移的目的在于,平移后 A''B''仍垂 直且等于 AB,但四边形不再是梯形,这时可以得到一 个比较一般的四边形。

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第五步:隐藏 A'、B',连结 AA''、A''B、AB''、BB'', 如图 1-9.14。

B''

A

C A''

B

图 1-9.14 第六步:作四边形各边中点,连结如图 1-9.15。 以下请自己度量 DEFG 的四边和一个内角,通过拖动 点 C 改变图形, 只要四边形的对角线垂且相等, 顺次连结四边中点所得 图形是_______。
A D A'' E B'' F

G C

B

图 1-9.15 (2)自己画两条垂直但不相等的相交线段,以它们为对角线画出四边形,看看顺次连结四边中点得什 么样的图形。 (3)画两条相等但不垂直的相交直线,以它们为对角线画出四边形,看看顺次连结四边中点得什么样 的图形。 提示:在第(1)小题中旋转时不要转 900,改为其它度数即可。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 2 供参考。

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案例十 成功之路不只一条
以几何画板为工具,你会用多少种方法来画一个正方形? 思路: 思路:无论你用什么方法,你必须保证这样的结果,画好的正方形在改变大小和位置时,仍然是一个正 方形,也就是说, “四边相等”“四个角是直角”“对角线互相垂直平分且相等”这些性质仍然保持。 、 、 下面给出一些方案,如果你能看懂,自己完成,否则请参考后面的详细步骤: 方案一: (1)画一条线段; (2)作出线段的中点; (3)标记中点为“中心”(4)选取线段和它的两个 ; 方案一: 端点,由“变换” “旋转” ,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转”(5)连结旋转后两条线段的端 ; 点。 方案二: (1)画一条线段; (2)标记线段的一个左端点为“中心”(3)选取线段和右端点,按上面介 ; 方案二: 绍的方法把它们旋转 90 度; (4)标记右端点为“中心”(5)选取线段和左端点,按上面的方法旋转-90 ; 度; (6)连出第四条边。 方案三: (1)画一条直线,在这条直线上画一点; (2)过这一点画已知直线的垂线; (3)以垂足为圆心 方案三: 画一个圆; (4)定义出圆和两条直线的交点; (5)顺次连结四个交点,隐藏不需要的对象。 方案四: (1)画一个圆,标记圆心为中心; ;在圆上画一点,选取这个点,由“变换” “旋转” (2) , 方案四: 设置旋转 90 度,这时得到另一个点; (3)保持新得到的点的选取状态,把它又旋转 90 度,得到第三个 顶点; (4)连结四个顶点,隐藏不需要的对象。 …………在这里提出你的新方案: 以上四种虽然都能画出正方形,但画好的四边形在控制大小和位置时有的比较方便,有的不是很方便, 请自己比较哪些方案比较方便。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 方案一的验证 第一步:画一条线段 AB,作出它的中点 C,用“选择” A B C 工具双击点 C,点 C 被标记为中心,如图 1-10.1。 图 1-10-1 第二步:选取点 A、B 和线段 AB,由“变换” “旋 转” ,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转” ,如图 1-10.2。
A B'

C

B

A'

图 1-10.2 第三步:改标签为我们常用的,如图 1-10.2。
D

A

O

C

B

图 1-10.2

32

第四步:最后连结得如图 1-10.3。 说明:拖动点 C 或 A 可以把正方形“摆正” 。

D

A

O

C

B

图 1-10.3 方案二的验证: 用几何画板学习到现在,相信大家会有一个感觉,几何画板中为什么不能直接画出矩形、正方形等特殊 图形,其实是可以的,但是这个功能需要自己把画图的过程保存为一个记录文件,然后在“对象参数设 置”面板中设置好使用记录文件的路径,这时工具箱中会多出一个按钮 ,可以通过这个按钮调用记 录文件,这时可以快速画好一个特殊的图形。 如何制作一个记录文件: 第一步: (1) 新建一个几何画板文件; (2) “文件” “新记录” 这时窗口变成如图 1-10.4。 选取 , 左边是绘图窗口,右边是记录窗口, 注意:绘图文件是扩展名是.gsp,记录文件的扩展名是 .gss。

图 1-10.4 第二步:点一下记录窗口中的“记录” ,按钮,记录窗 口变成如图 1-10.5。

图 1-10.5 第三步:点击“绘图”窗口,在窗口中画一个线段,如 图 1-10.6。

图 1-10.6
33

第四步: (1)用“选择”工具双击左边端点,标记此点 为“中心”(2)选取右边的端点和线段,由“变换” ; “旋转” ,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转” , 得如图 1-10.7。

图 1-10.7 第五步: (1)用“选择”工具双击右边端点,标记此点 为“中心”(2)选取左边的端点和线段,由“变换” ; “旋转” ,在弹出的对话框中设置“按-90 度旋转” , 得如图 1-10.8。

图 1-10.8 第六步: (1)连出最后一边;得图 1-10.9; (2)单击“记录窗口”中的停止按钮,结束记录的录 制; (3)在保持 “记录窗口” 是活动窗口的前提下,由“文 件” “存盘” ,弹出“文件另存为”窗口,默认的文 件名是“记录 01.gss” ,可以改为“正方形.gss” ,默认 的位置是几何画板的安装目录,不用修改直接点“确 图 1-10.9 定” 。 以上的工作已经录制好一个记录并保存, 下面学习如何 从工作箱中调用这个记录。 如何设置记录工具所在目录: 如何设置记录工具所在目录: 第七步: (1)由“显示” “参数选择…” ,弹出一个对话框; (2)在对话框中点“R 其他”按 钮,又弹出一个“高级参数选择”对话框,请注意“记录工具目录”这一部分,如图 1-10.10。

图 1-10.10 第八步: (1)单击“设置”按钮,弹出选择目录对话框,选择目录为你刚才存放记录“正方形.gss” 的文件夹; (2)点“确定”按钮关掉第三个对话框,再点“继续”按钮关掉第二个对话框,最后点“确 定”关闭第一个对话框,完成记录工具目录的设置。 说明:这个操作只需设置一次,以后制作好的目录都存在已设置好的文件夹中,就可以方便的调用 了。 如何使用记录工具: 如何使用记录工具 第九步: 当你正确设置好后, 工具箱中会多出一个按钮 ,点击这个按钮,出现图 1-10.11。 点取正方形这一项, 然后在窗口中按鼠标左键拖动, 可 以快速画出一个正方形。

34

图 1-10.11 练习: 练习: 1、 自己录制一个画矩形的记录,存放在正方形记录所在文件夹。 2、 录制一个画正三角形的记录。 3、 录制一个画平行四边形的记录。 4、 录制你常用的其它图形的记录。

35

案例十一 圆周角与圆心角
方案: 方案:画一个圆,画出一段弧所对的圆心角和圆周角,验证同弧所对的圆周角是圆心角的一半。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。 第二步: (1)选取“圆画”工具; (2)按住鼠标左键在 工作区中拖动, 可以画一个圆; (3) 标出标签并改为所 要的,如图 1-11.1。 这时同时会出现两个点, 一个是圆心, 一个是圆上的点, 这两个点可以用来控制圆的大小和位置, 在下面的作图 过程中, 一般不要用到圆上的这一点, 以免在拖动的过 程中改变了圆的大小。

O G

图 1-11.1
P

第三步:用“画点”工具,在圆上画出三个点,标上标 签并改为点 P、A、B,得到如图 1-11.2。

O G A B

图 1-11.2 第四步: 连结 PA、 PB、 OA、 OB, 度量∠AOB、 ∠APB, 得到如图 1-11.3。
AOB =83.18  APB =41.59 

P

O G A B

图 1-11.3 第五步:由菜单“度量” “计算” ,弹出几何画板的 计算器, 依次点取 “∠APB”“/”“∠AOB”“确定” 、 、 、 , 可以计算出两个角的比。得到如图 1-11-4。
P
AOB =83.18  APB =41.59  APB = 0.50 AOB

O G A B

图 1-11-4

36

归纳结论: 归纳结论: 序号





1

拖动点 P,在弧 AGB 上移动,

现象 ∠APB=_____ ∠AOB=_____

结论 同弧所对的圆周角 _________; 同弧所对的圆周角 是圆心角的____ 同弧所对的圆周角 是圆心角的____

∠APB = ___ ∠AOB
∠APB=_____ ∠AOB=_____

2

拖动点 B,把弧 AB 变长,

∠APB = ___ ∠AOB

结论 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十一供参考。 练习: 练习: 1、 自己画一个圆,在圆上画四点,画出一个圆内接四边形,验证圆内接四边对角互补。 2、 画三角形的外接圆,画法要点: (1)先画好一个三角形; (2)画两边的垂直平分线,用“选 择工具”单击两条垂直平分线的交点处,确定出外心; (3)按住 Shift,用“选择工具”先选 取外心,再选取三角形的一个顶点,由菜单“作图” “以圆心和圆周上的点画圆” ,画出 三角形的外接圆,隐藏两条中垂线,得到最后的图形。 3、 画三角形的内切圆,画法要点: (1)先画好一个三角形,画出三角形的两条角平分线,并确 定对角线的交点,即是内心; (2)过内心作一条边的垂线,确定出垂足; (3)按住 Shift,用 “选择工具”先选取内心,再选取刚才作的垂足,由菜单“作图” “以圆心和圆周上的点 画圆” ,画出三角形的内切圆,隐藏两条角平分线和垂线,得到最后的图形。

37

案例十二 与圆有关的比例线段
思路: 思路:相交弦定理,切割线定理及其推论,形式上有类似之处,那么三者之间到底是什么样的关系呢? 方案: 设计一个满足以下条件的小课件, (1) 可以动态地变化出弦相交于圆内或它们的延长线相交于圆 方案: 外; (2)割线和圆的两交点可以变成一个交点,从而变成切线,方便研究关系。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。 第二步:在工作区画一个圆,并在圆上画四点,标上标 签并改为 A、B、C、D,如图 1-12.1。
C A

B

D

图 1-12.1 第三步: (1)选取“画直线”工具,移动鼠标到点 A 按下,拖动到点 B 放开,画出直线 AB,同理画直线 CD; (2)用“选择”工具单击两条直线的交点处确定 出交点。标记标签为 P,得到图 1-12.2。 注意: 此步一定选画直线相交, 如果一开始画的是线段, 就不能让它们在圆外相交了。
C P

A

B

D

图 1-12.2 第四步: (1)选取刚才画的两条直线 AB、CD,由菜单 “显示” “隐藏直线” ,把直线 AB、CD 隐藏; (2) 选取“画线段”工具分别画出线段 PA、PB、PC、PD。 得到图 1-12.3。
B C P

A

D

图 1-12.3 第五步: (1)按 Shift 键不放,选取点 P、A,由菜单 “度量” “距离” ,量出 PA,用同样的方法量出 PB、 PC、PD; (2)由菜单“度量” “计算” ,弹出几何 画板的计算器,依次点击“PA=…” “*” “PB=…” 、 、 、 “确定” 可以计算出 PA 与 PB 的积, , 同理可以计算出 PC 与 PD 的积,得到如图 1-12.4。 注意:由于每个人画的图不同,度量的数据和计算的 结果都不会相同,但只要完成同样的操作就行了。
PA =0.31 cm PB =0.78 cm PC =0.37 cm

C P

PD =0.67 cm

A

B
2 PA PB =0.25 cm

D
2 PC PD =0.25 cm

图 1-12.4

38

结论 圆的两条弦 AB 与 CD 点 P 在圆的___部; 1 拖动点 C 在弧 ACB 上移动, 相交于点 P, PA·PB_____PC·PD PA·PB_____PC·PD 圆的两条弦 AB 与 CD 的延长线相交于圆外 点 P 在圆的___部; 2 拖动点 C 移到弧 ABD 上运动, PA·PB_____PC·PD 一点 P, PA·PB_____PC·PD 从圆外一点引圆的切 线段 CD 与圆的两个交 线段和割线,切线和 点变为___个,此时 PC 3 是这点到割线与圆交 拖动点 C 移动到与点 D 重合。 (PD) 就是圆的__线段 点的两条线段长的 PA·PB_____PC2 __________。 从实验可以看出,如果考虑弦相交或弦的延长线相交,或者当两个交点变为一个 结论 时,割线变成了切线,三个定理在本质_____(是或不是)统一的。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二供参考。 练习: 练习: 1、 验证直线与圆的位置关系,操作要点: (1)画一个圆,画出它的一条半径,量出半径的 长; (2)画一条垂线,作出圆心到直线的垂线段,量出垂线段的长; (3)通过拖动直线 和圆的相对位置,比较半径和垂线段的长的大小,找出相互关系的数量表示方法; 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二练习 1 供参考。 2、 验证圆与圆的位置关系:操作要点: ,画大小不同的两个圆; (1) (2)画出各自的半径和 连心线; (3)度量它们的半径和圆心距,并用计算器计算出半径之和、半径之差; (4) 通过拖动圆(不要只拖圆心) ,改变两个圆的相对位置,找到不同位置关系下的数量表示 方法。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二练习 2 供参考。

归纳结论: 归纳结论: 序号





现象

39

案例十三 一次函数的图象
思路: 思路: 画出一次函数 y=kx+b 的图象,研究 k、b 对一次函数的位置关系的影响。 方案: 方案: 在横轴和纵轴上各画一个点,用横轴上的点的横坐标表示 k,用纵轴上的点的纵坐标表示 b,计 算出函数值,画出函数的图象,通过拖动坐标轴上的点改变 k 和 b 的值,从而观察函数图象的变化。 用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。 2 第二步:由菜单“图表” “建立坐标系” ,这样可以 在平面内建立一个平面直角坐标系;得到如图 1-13.1。

1

-2

-1 -1

1

2

图 1-13.1 第三步: (1) 选取 “画点工具” 分别在 x 轴画两个点、 , y 轴上画一个点; (2) 用“文本”工具标出它们的标签,并 x 改轴上的 为 k,改 y 轴上的为 b,,得到如图 1-13.2 注意: 这样不符合常规的表示方法, 一般的点是用大写 字母表示的, 但这里为了能更清楚的观察, 我们例外地 这样表示。

1
b

-1 -1
图 1-13.2

k

1

第四步: (1) 选取 b 点和点 k,由菜单 “度量” “坐标” ,可以量出这两点的 坐标; (2) 由菜单“度量” “计算” ,弹出 计算器。用鼠标在点 b 的坐标处单击。在 弹出的一个灰色板中选 y, 然后按 “确定” , 这样可以计算出点 b 的纵坐标 yb; 用同样 的方法,可以计算出点 k 的横坐标 xk; (3) 可以用“文本”工具双击 xk,在弹 出的对话框(图 1-13.3)中选文本格式, 并改等式的左边为 k,同样可以改变 yb 的显示格式。 在 x 轴上再画一个点,度量它的坐标,分 离出横坐标 x=…,最后得到如图 1-13.4。

X: (0.22, 0.00) b: (0.00, 0.67) k: (0.64, 0.00) b = 0.67 k = 0.64

2

x= 0.22

1
b

-2
图 1-13.4

-1 -1

X

k

1

2

40

图 1-13.3 第五步:(1) 由菜单“度量” “计算”弹 出计算器,然后顺次点取“k=…” “*” 、 、 “x=…” “+”“b=…”“确定” 、 、 ,这样可 以计算 kx+b 的值; (2) 用“选择工具”按顺序选“x=…” 、 “kx+b=…” ,由菜单“图表” “P 绘出点 (x,y),可以绘出以“x=…”的值为横坐标,以 “kx+b=…”为纵坐标的一个点,标记为点 A。 (如果看不到这个点,请调整 k、b 的位置 靠近原点,直到看到这个点) 。 (3) 用“选择工具”选取点 X 和点 A,然 后由菜单“作图” “轨迹” ,可以画出一 次函数 y=kx+b 的图象。得如图 1-16.5。

3
X: (0.22, 0.00) b: (0.00, 0.67) k: (0.64, 0.00) b = 0.67 k = 0.64

2

x= 0.22 k x + b =0.81

1
b A

-2

-1 -1

X

k

1

2

3

4

图 1-13.5

归纳结论: 归纳结论: (一) 序号 1





现象 b____0

拖动点 b 在 y 轴的正半轴上移动,

2

拖动点 b 和原点重合,

b____0

3 结论

拖动点 b 在 y 轴的负半轴上移动,

b____0

结论 当 b>0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴 的______方。 当 b=0 时,图象与 y 轴的交点在 ______。 当 b<0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴 的______方。

b 的数值决定了直线和_____轴交点的位置。

(二) 序号 操 作 1 拖动点 k 在 x 轴的正半轴上移动, 2 拖动点 k 和原点重合,

现象 k____0 k____0

3 k____0 拖动点 k 在 x 轴的正半轴上移动, 结论 k 的数值决定了直线相对于_____轴倾斜的方向。 说明:当 k=0 时,函数已经不是一次函数,但仍然和一次函数有一定的联系。

结论 直线向____方倾斜 直线变成和___轴 平行。 直线向____方倾斜

41

(三) 拖动点 k 和 b,使它们的值满足下面的表格,观察函数图象经过的象限。 k>0 k=0 k<0 b>0 经过一、二、三象限 一、二 b=0 就是 x 轴 b<0 三、四 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十三供参考。 练习: 练习: 用类似的方法画出反比例函数 y =

k 的图象,研究当 k>0 和 k<0 时函数图象的位置。 x

42

案例十四 二函数的图象
思路: 思路: 画出函数 y = a ( x ? h ) + k 的图象,要求能动态地控制图象的开口方向、形状、位置。
2

用几何画板验证: 用几何画板验证: 第一步:建立一个新的几何画板文件, 第二步: (1)由菜单“图表” “建立坐标系” , 这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系; (2)选取“画点”工具在 x 轴上画四个点,其中 一个画得比较靠近原点,标记为 x,另外三个尽量 靠近工作区的最右边,不用标出标签; (3) 按住 Shift 不放,用“选择”工具选取刚才 画的右边三点和 x 轴,由“作图” “垂线” ,画 出分别过这三点垂直于 x 轴的三条直线; (4)选取“画点”工具,在画好的三条垂线上各 画一个点,分别标标签为,a、h、k。 得到如图 1-14.1。

1
a h k

-1

x

1

2

-1
图 1-14.1 第三步: (1)度量点 x、a、h、 k 的坐标,再用计算器分离出 点 x 的横坐标、点 a、h、k 的 纵坐标; (2)用“文本工具”修改显示 格式,最后得 x=…、a=…、 h=…、k=…的形式, (3)调出计算器,依次点击 “ a= … ” “ * ” “ ( ” 、 、 、 “ x= … ” “ - ” “ h= … ” 、 、 、 “) 、 ^” “2” “+” ”“ 、 、 、 “k=…” “确定” 、 ,这样可以 计算函数值,供后面画点用。 如图 1-14.2。
k: (1.55, 0.58) h: (1.30, 0.56) a: (1.11, 0.51) x: (0.28, 0.00)

2

a = 0.51

h = 0.56 x = 0.28

k= 0.58

1
a h k

a (x - h) 2 + k = 0.62

-2
图 1-14.2

-1

x

1

2

43

迹” ,这样就画出了二次函数 y = a ( x ? h ) + k 的图象; (4)按住 Shift 不放,用“选择工具”按顺序先选取“h=…” ,再选“k=…” ,然后由菜单“图表” “P 绘出(x,y),可以绘出抛物线的顶点; ” (5)选取画好的顶点和 x 轴,由“作图” “垂线” ,这样实际上画出了二次函数图象的对称轴; (6)选取对称轴,由“显示” “线型” “虚线” ,这样改变对称轴为虚线,便于区别。得到如图 1-14.3。
2

第四步: (1)按住 Shift 不放,用“选择”工具按顺序先选取“x=…” ,再选“ a ? ( x ? h ) + k =…” ; (2)由菜单“图表” “P 绘出(x,y),可以绘出图象上的一个点,标记为 P; ” (3)按住 Shift 不放,用“选择”工具按顺序先选取点 x,再选取点 P,然后由菜单“作图” “轨
2

k: (1.55, 0.39) h: (1.32, 0.43) a: (1.11, 0.34) x: (0.28, 0.00)

2

a = 0.34

h = 0.43 x = 0.28

k= 0.39

1
P h k

) 0.40 a (x - h 2 + k =

a

-2
图 1-14.3

-1

x

1

2

3

归纳结论: 归纳结论: (一)由 a 值引起的变化 序号 操作

1

现象 函数的图象开口 向____ a 的值越来越___ 拖动点 a 在 x 轴的上方向上移动, a 的值越大, 图象 越____(靠近, 离开)对称轴。 拖动点 a 到 x 轴上 a=___

结论 当 a>0 时,图象开口向 ____; a 越大,图象越靠近 ________ 这时函数不是二次函 数,它的图象变为 _____________-

2

3

结论

函数的图象开口 向____ 当 a<0 时,图象开口向 a 的值越来越___ ____; 拖动点 a 在 x 轴的下方向下移动, a 的值越小, 图象 a 越小,图象越靠近 ________ 越____(靠近, 离开)对称轴。 a 的值影响函数图象的____方向, a>0 时, 当 开口向___, a<0 时, 当 开口向____.
44

(二) h 的值引起的变化 序号 操作 1

2 结论

现象 结论 h 的值越来越___ 当 h>0 时,对称轴在 y 拖动点 h 向上移动, 函数对称轴向 轴的___侧,h 越大,对 ____移动 称轴越靠___. h 的值越来越___ 当 h<0 时,对称轴在 y 拖动点 h 向下移动, 函数对称轴向 轴的___侧,h 越大,对 ____移动 称轴越靠___. h 的值影响图象______的位置,实际上它控制了图象的左右移动。

(三)k 值引起的变化 序号 操作 1 拖动点 k 向上移动,

2

拖动点 k 向下移动,

现象 k 的值越来越___ 函数图象向__移 动 k 的值越来越___ 函数图象向__移 动

结论 当 k>0 时,顶点在 x 轴 的____方 当 k<0 时,顶点在 x 轴 的____方

结论 k 的值控制了图象的______移动。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十四供参考。 练习: 练习: 画函数 y = 3 x 2 ? 4 x + 1 的图象,观察图象,说出 x 取哪些值时,函数值为 0。

45

案例十五 多久能追上
甲与乙同向跑步,乙在甲前面的 3 米处。甲的速度是 5 米/秒,乙的速度是 4.5 米/秒,两人同时起 跑,问甲几秒钟追上乙? 思路: 思路:利用几何画板的计算功能,让甲乙两个对象在时间的控制下,根据自己的速度移动,当甲追上乙 时,显示的时间即为所求。 用几何画验证: 用几何画验证: 第一步:新建一个几何画板文件,由菜单“图表” “建立坐标系” ,在工作区中出现了一 个平面直角坐标系。 第二步: 在 Y 轴的正半轴上画一点 C, (1) 选取点 C 和 Y 轴;(2) 由“作图” “垂线” ,画出过点 C 垂直于 Y 轴 的直线;(3) 在垂线位于第一象限内的部分上画一点 D, 如图 1-15.1。
5

C

D

5

图 1-15.1 第三步:(1) 选取垂线 CD,由“显示” “隐藏” ,把垂 线隐藏;(2) 选取“画射线”工具,从点 C 按鼠标拖动到 点 D,画出射线 CD;(3) 用画点工具在射线 CD 上画一 个点 E;(4) 把 D 点隐藏,得到如图 1-15.2。 说明:这样反复操作的目的在于,由于我们要用点 E 的 横坐标来代表时间,点 E 的横坐标只能取正值,为保证 点 E 不会拖动到第二象限,所以画好的垂线要变成射线, 同时隐藏点 D,使这条射线不能再拖到其它象限。

C

E

5

图 1-15.2 第四步:(1) 选取点 E,由菜单“度量” “坐标” ,得 到点 E 的坐标;(2) 由“度量” “计算” ,调出计算器; (3) 在点 E 的坐标上单击, 在出现的面板中选 x, 按确定, 即可分离出点 E 的横坐标,操作如图 1-15.3,结果如图 1-15.4。
5

E: (1.62, 2.99) x E = 1.62
C E

图 1-15.3

图 1-15.4
46

第五步:(1) 用“文本”工具双击分离出来的横坐标,在 弹出的对话框中做如下改动(图 1-3-5);(2) 隐藏点 E 的 坐标,得如图 1-3-6。

5

t = 1.62
C E

图 1-15.5 第六步: 调出计算器, (1) 依次点 “5”“*”“t=…”“确 、 、 、 定” ,计算出 5t 的值;(2) 调出计算器,依次点击“3” 、 “+”“4”“.”“5”“*”“t=…” 、 、 、 、 、 ,计算出 3+4.5t 的值, 如图 1-3-7。 说明:乘号用“*”表示, “t=…”指的是工作区中的 “t=1.62” ,但由于每个人画点的位置不同,数值可以不 同,所以这里用省略号表示。

图 1-15.6

C

t = 1.62 E 5 t = 8.12

3 + 4.5 t = 10.31

图 1-15.7 第七步:(1) 选择“5t=…” ,由菜单“图表” “绘 制度量值…” ,在弹出的“绘制度量值”对话框中直 接确定;(2) 选择“3+4.5t=…” ,同样绘制度量值, 得如图 1-3-8。 说明:这样得到的两条虚线,受度量值的控制,度 量值又受到时间 t 的控制,当两条虚线重合时,说 明甲追上了乙,这时的 t 就是所求。

C

t = 0.76 E 5 t = 3.80

3 + 4.5 t = 6.42 5

图 1-15.8 第八步:(1) 由菜单“图表” “绘制点” ,在弹出 的对话框中输入 0、1,按步骤操作画出固定点 (0,1)(图 1-15.9), 同样画出(0, 得如图 1-15-10。 (2) 2),

C
H G

t = 0.76 E 5 t = 3.80

3 + 4.5 t = 6.42

图 1-15.10

47

图 1-15-9 第九步:(1) 选取点 G 和 Y 轴,由“作图” “垂 线” ,过点 G 画出 Y 轴的垂线;(2) 用“选择”工 具单击刚画好的垂线与根据“3+4.5t=…”所画虚线 的相交处, 确定出交点, 并标记交点为 “乙” (3) 同 ; 样, 过点 H 画 Y 轴的垂线后确定它与另一条虚线交 点,标记为“甲” ,如图 1-3-11。 说明:为了便于区分,可以改虚线和下两条 Y 轴的 垂线为不同颜色。
t = 1.05 C E 5 t = 5.25


H G


10 3 + 4.5 t = 7.73

图 1-15.11 归纳结论: 归纳结论: 拖动点 E 在 CE 上移动,注意观察两个度量值的变化和红、蓝虚线的位置,当两条虚线重合时,两 个度量值有什么关系?这时的 t 是多少?,你知道问题的答案吗? 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十五供参考。 练习: 练习: 对于同类的问题,只需要改变度量值,并跟据新的度量值绘制虚线,然后确定甲、乙两点,就可以 使它来求新的解,就象做好了一个“解题机” 。(不过有时得到的只能是近似数,这是受到电脑显示的数 的精确度的影响) 1、对于上例,改为乙在甲前面 2 米,问几秒后甲追上乙?(精确到十分位)。 2、对于上例,相距距离不变,乙的速度不变,改甲的速度为 5.5 米/秒,问几秒后甲追上乙?(精确到十 分位)。

上篇结束语: 上篇结束语:
通过一个学期的学习,本篇已经告一段落。希望通过几何画板的学习,同学们能够掌握一种用电脑 来进行几何研究的方法,从而使我们的学习能够如虎添翼。我们会发现,几何已经不再抽象难懂,在几 何画板里面,几何真的“活”了! 实际上,几何画板不仅可以用来说明数学和物理问题,也可以用来制作经济学、天文学方面的小课 件,我们上面学习的实例,主要是学习几何画板的一些常用的技巧,至于更深的应用,同学们可以访问 我们教材的支持论坛, 我们将根据大家学习的情况提供更进一步的学习支持, 提供一些技巧更强的教程, 并且把我们搜集的一些课例放在上面,同时也希望大家把自己的经验放在论坛上给大家分享
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下面介绍几个国内非常好的几何画板网站,供大家学习参考: 物理课件园地:http://www.nrcce.com/zhangxichun/index.htm 几何画板教程:http://www.21maths.com/jihehuaban/index.htm CAI 辅导站:http://www.hongzhong.com/hzcai/hzcai.htm 几何画板天地:http://www.mathsedu.com/gsketchp/gsketchp.html 数学教育教学资源:http://liyistudio.home.chinaren.com/jhhb/jhhb.htm 不学无数:http://gzsx.51.net/jhhb/cai/index.htm 台州教师信息港:http://tzth.51.net/6.htm 几何画板介绍:http://ez.sm.fj.cninfo.net/xdjy/cai/sketch-forum.htm 软件教程:http://go7.163.com/losir/jc-index.htm 几何画板课件下载:http://202.101.104.46/stuff/jihe.htm 中学数学教与学:http://shuxue.fsjy.net/jhhb.htm 数学课件积件库:http://go4.163.com/zjycy/kjzc/sxkjml1.htm

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