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2.4正态分布(2)


2.4 正态分布

旧知回顾
1 、正态曲线的定义:

y

x??

函数 f ( x) ?

x ? (??,??)

? 1 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

x y

称f( x)的图象称为正态曲线。式中的 实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示 总体的平均数与标准差。

2、标准正态总体的函数表示式

μ=0

1 ?2 f ( x) ? e x ? (??,??) 2?

x2

σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

3.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:

则称为X 为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分 布记作X~ N( μ,σ2).其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从 正态分布,则记作 X~ N( μ,σ2)

P(a ? X ? b) ? ? ? ? ,? ( x)dx
a

b

若X是一个随机变量,对任给区间

Y

(a, b],P(a<X ? b)恰好是正态密度 曲线下方和x轴 (a, b ]上方所围成的图
形的面积,我们就称X服从参数m 和s 2的正态分布。 简记为:X : N(m s 2) ,

a

b

X

4、正态曲线的性质
y μ= -1 σ=0.5 y

? ? ?? ( x ) ?

1 2??

?

( x ? ? )2 2? 2

e

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 .σ越大,曲线越“矮 胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示 总体的分布越集中.

?

?

?

练习:
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件,现从中抽 测10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零 件的尺寸 ? 服从正态分布,求正态分布的概率密度函 数式。

若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线,我们称 此曲线为概率密度曲线.
概率密度曲线的形状特征.

频率 组距

概率密度曲线

“中间高,两头低, 左右对称”

总体在区间 (a , b)内取值的概率

a

b

产品 尺寸 (mm)

正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

?

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

?

x2 x1

5、特殊区间的概率:
若X~N

( ? , ? 2 ),则对于任何实数a>0,概率
? ?a

P(? ? a ? ? ≤ ? ? a) ?

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 ?而言,该面 积随着 ? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间 (? ? a, ? ? a] 的概率越大,即X集中在 ? 周围概率越大。

? ? ? ? ( x )dx ?
, ?a

特别地有 x=μ

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

?-a

?+a





取值概率 68.3% 95.4% 99.7%

(μ -σ ,μ +σ ] (μ -2σ ,μ +2σ ] (μ -3σ ,μ +3σ ]

我们从上图看到,正态总体在 ?? ? 2? , ? ? 2? ?以外取 值的概率只有4.6%,在 ?? ? 3? , ? ? 3? ? 以外取值的概率只 有0.3 %。 当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过5 % ),通常 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3? 原则.

例1、在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个 正态分布,即 ? ~N(90,100). (1)试求考试成绩 多少?

? 位于区间(70,110)上的概率是

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人? 练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的 (100,52 ),据此估计,大约应有57人的分 成绩X~ 数在下列哪个区间内?( C ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2) 内取值的概率 等于( D )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)=

P(?2 ? X ? 2) =

0.9544

.

4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ??) 的概率为0.5,则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。

5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落 在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学 1 期望是 。

例2、已知 ? ~ n(0, ? 2 ),且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,
则 P(? ? 2) 等于( A )

A.0.1

B. 0.2

C. 0.3

D.0.4

例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
y

例4、如图,为某地成年男 性体重的正态曲线图,请写 出其正态分布密度函数,并 求P(|X-72|<20).

1 10 2?

x ? (??, ??)

72(kg)

x

例5、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ,如果规定低于60分为不及格, 求: (1)成绩不及格的人数占多少?
(2)成绩在80~90内的学生占多少?


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