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高中数学第一章空间几何体13空间几何体的表面积与体积132球的表面积与体积教案新人教A版必修2(数学教案)

1.3.2 球的体积和表面积 一、 教学目标 知识目标: 1、掌握球的体积公式 V ? 4 ? R 3 、表面积公式 S ? 4? R2 . 3 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题,培养学生应用数学的能力. 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题. 能力目标: 通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽 象概括等逻辑推理能力 情感目标: 通过寻求如何研究球的内切与外接的方法,培养学生将数学知识和生活实际相联系的意 识,对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点 重点:球的体积和表面积的计算公式的应用. 难点:解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学过程 教学 教学内容 环节 1.球的概念: 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所 在的直线旋转一周所形成的曲面, 球面所为 O R C A 设计意 师生互动 图 成的几何体叫做球体,简称球. 一个球用表 复 习 引 入 示它的球心的字母表示,例如球 O . 2.球的截面: 用一平面 ? 去截一个球 O , 设 OO? 是 平 面 ? 的 垂 线 段 , O? 为 垂 足 , 且 B OO? ? d ,所得的截面是以球心在截面 内的射影为圆心,以 r ? O R d r O' R2 ? d 2 为半 ? P -1- 径的一个圆,截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得 的圆叫做小圆 3、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么?柱体、锥体、台体的 体积公式分别是什么? (1) .多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 直棱柱 棱锥 和 正棱锥 S 侧+S 底 ch 各侧面积之 棱 锥 S 底·h 棱柱 ×l S 侧+2S 底 侧面积(S 侧) 直截面周长 S 底·h=S 直截面·h 教师提 出问题,学 生思考作 方 面唤起 学生对 球体的 概念的 全面积(S 全) 体 积(V) 1 ch′ 2 各侧面面积 1 S 底·h 3 答. 棱台 棱 台 正棱台 之和 1 2 (c+c′)h′ S 侧+S 上底+S 下底 1 h(S 上底+S 下底 3 + S下底 ? S下底 ) 认识, 加 深印象; 另一方 面, 为本 节做好 必要的 知识铺 表中 S 表示面积, c′、 c 分别表示上、 下底面周长, h 表斜高, h′ 表示斜高,l 表示侧棱长。 (2) .旋转体的面积和体积公式 名称 S侧 S全 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π V r l) 2 2 圆锥 π rl π r(l+r) π 2 圆台 π (r1+r2)l (r1+r2)l+ 2 垫. π (r 1+r 2) 1 2 πrh 3 1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3 表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径, r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 -2- 3.正四面体:每个面都是正三角形的正三棱锥。 教学 教学内容 环节 问题提出:球也是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样求一个球 的表面积和体积也就成为我们学习的内容. 知 1.球的体积 可先求半径为 R 的半球的体积.为此,采用倒水做实验的方法, 直 师生共同完 识 观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器, 其中一个是半球形的, 成倒水实 一个是圆柱形的,一个是圆锥形的,它们的高和底面圆的半径长都是 的 的学习 验,教师引 兴趣, 让 导学生探索 发现,这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们,半球的体积 发现球的体 形 等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差,就是: 积公式. 成 现并体 验数学 中的美 学生发 发学生 从实验 入手, 激 师生互动 图 设计意 R .先在半球和圆锥容器里灌满水,然后倒入圆柱形容器里,我们可以 1 2 V半球 ? V圆柱 ? V圆锥 ? ?R 2 ? R ? ?R 2 ? R ? ?R 3 所 以 , 3 3 4 3 V球 ? ?R 3 -3- 2 球的表面积: (以后讲) 1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S2 ? ? ? hi ? ?Si ? ?) 3 又∵ hi ? R ,且 S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ?? ∴可得 V ? 又∵ V ? 1 R?S , 3 教师讲 解,学生感 悟分割、近 似、极限等 思想 渗 透微积 分思想. 4 1 4 ? R 3 ,∴ R ? S ? ? R 3 , 3 3 3 ∴ S ? 4? R2 即为球的表面积公式 4 3 小结:球的体积公式 V ? ? R 、表面积公式 S ? 4? R2 都是以 R 为 3 自变量的函数。 练习 1:如果球的体积是 36 ? cm ,那么它的半径是 3 .3 练习 2: 若两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为 ( C ) (A)8:27 (B)2:3 (C)4:9 (D)2:9 例 1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 2 3 教师引 导学生共同 完成 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明: 应 用 举 例 (1)设球的半径为 R,则圆柱的 底面半径为 R,高为 2R. 3 则有 V 球= ?R , 让 学生巩 固加深 所学内 容并灵 -4- 4 3 2 2 3 V 圆柱=π R ·2R=2π R ,所以 V 球= V圆柱 . 3 (2)因为 S 球=4π R ,S 圆柱侧=2π R·2R=4π R ,所以 S 球=S 圆柱侧. 变式 1:把上一题的圆柱改为正方体,且正方体的棱长为 a, 球的半 径为多少? 变式 2:若把球吹大到内切于正方体的棱,且正方体的棱长为 a,此 时球的半径又为多少? 变式


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