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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第41课 数列的概念与简单表示法 文


第 41 课
1. (2012 上海高考) a n ? 设 A.25 【答案】D B.50

第七章 数列 数列的概念与简单表示法
中, 正数的个数是 ( ) C.75 D.100

1 n? , S0 ,S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , S1 ,S2 , ??? 1 在 sin n 25

【解析】当 1 ? n ? 24 时, a n >0, 当 26 ? n ? 49 时, a n <0, 但其绝对值要小于 1 ? n ? 24 时相应的值, 当 51 ? n ? 74 时, a n >0, 当 76 ? n ? 99 时, a n <0, 但其绝对值要小于 51 ? n ? 74 时相应的值, ∴当 1 ? n ? 100 时,均有 Sn ? 0 . 2.已知数列{an}的通项公式是 an ? A. a n ? a n ?1 【答案】A 【解析】 an ? an ?1 ? B. a n ? a n ?1

an ,其中 a 为正实数,那么 an 与 a n ?1 的大小关系是( an ? 1 C. a n ? a n ?1 D.与 a 的取值有关



an a(n ? 1) ? an ? 1 a(n ? 1) ? 1 ?a ? . (an ? 1)(an ? a ? 1) ∵ a ? 0 ,∴ a n ? a n ?1 .

3.(2012 上海高考)已知 f ( x) ?

1 ,各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 2 ? f (an ) ,若 1? x

a2010 ? a 2012 ,则 a20 ? a11 ? ______.
3 ? 13 5 26

【答案】

【解析】由题意得, a3 ?

1 2 8 , a5 ? ,…, a11 ? , 2 3 13
1 1 ,∵ a 2010 ? a 2012 ,∴ a2010 ? , 1 ? a2010 1 ? a2010 ?1? 5 , 2
1

∵ an ? 2 ? f (an ) ,∴ a2012 ?

∴ a 2010 ? a2010 ? 1 ? 0 ,∵ an. ? 0 ,∴ a 2010 ?
2

易得 a2010 ? a2008 ? ??? ? a22 ? a20 ,

?1 ? 5 8 3 ? 13 5 . ? ? 2 13 26 S ? 4.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ? 点 (n? n )(n ? N* ) N ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图象上.则数列 {an } 的通 n
∴ a20. ? a11 ? 项公式 an ? 【答案】 6n ? 5
2 【解析】∵ n ? 3n ? 2 ,∴ Sn ? 3n ? 2n .



S

n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 6n ? 5 . ∵ 1 ? 6 ?1 ? 5 ,∴ an ? 6n ? 5 . 5.已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素;
2

②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,设数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求数列 {an } 的通项公式. 【解析】 (1)∵不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素, ∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 4 .
2

当 a ? 0 时, 函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 递增,不满足条件②
2

当 a ? 4 时, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在 (0, 2) 上递减,满足条件②
2

综上得 a ? 4 ,即 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 .
2

(2)由(1)知 Sn ? n ? 4n ? 4 ? (n ? 2) ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,
2 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? 2n ? 5 ,
2 2

∴ an ? ?

?1,??????????n ? 1 . ?2n ? 5,??n ? 2

2

6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) ,在定义域内有且只有一个零点,存在 0 ? x1 ? x2 , 使得不等式
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 若 n ? N * , f (n) 是数列 {a n } 的前 n 项和.
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设各项均不为零的数列 {cn } 中,所有满足 ck ? ck ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个数列 {cn } 的变 号数,令 c n ? 1 ?

4 ( n 为正整数) ,求数列 {cn } 的变号数. an

【解析】 (1)∵函数 f ( x) 在定义域内有且只有一个零点, ∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? 4 .
2

当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 在 (0,??) 上递增,
2

故不存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 综上,得 a ? 4, f ( x) ? x ? 4 x ? 4 .
2

∴ S n ? n ? 4n ? 4 .
2

∴ an ? S n ? S n ?1 ? ?

n ?1 ?1, ?2n ? 5, n ? 2



n ?1 ? ?3, ? (2)由题设 cn ? ? , 4 ?1 ? 2n ? 5 , n ? 2 ?
∵ n ? 3 时, cn ?1 ? cn ?

4 4 8 ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

∴ n ? 3 时,数列 {cn } 递增. ∵ c4 ? ?

1 4 ? 0 ,由 1 ? ? 0 ,得 n ? 5 . 3 2n ? 5

∴ c5 ? 0 ,可知 c4 ? c5 ? 0 . ∴ n ? 3 时,有且只有 1 个变号数; 又∵ c1 ? ?3 , c2 ? 5 , c3 ? ?3 , ∴ c1 ? c2 ? 0 , c2 ? c3 ? 0 . ∴此时变号数有 2 个; ∴数列 {cn } 共有 3 个变号数,即变号数为 3 .
3

4


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