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2014-2015学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷(含答案版)


2014-2015 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1.若集合 A={0, 1,2,3}, 集合 B={x|x∈A 且 1-x?A},则集合 B 的元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知点 A(1,2) ,B(-2,3) ,C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值为( ) A.-1 B. C.1 D.



3.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高 为 2 的矩形, 俯视图是一个圆, 那么这个几何体的表面积为 ( ) A.2π B. C.4π D.5π )

n 和平面 α、 4.设有直线 m、 β, 下列四个命题中, 正确的是 ( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m? α,n? α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m? α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 5.下列四个数中最小者是( ) A.log3 B.log32

C.log23 D.log3(log23) 6.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为( ) A.8π B. C. D.8 π

的正三角形,该三

7.设 A、 B 是 x 轴上的两点, 点 P 的横坐标为 2, 且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x-y+1=0, 则直线 PB 的方程是( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 x 8.已知函数 f(x)=loga(2-a )在(-∞,1]上单调递减,则 a 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) D.(0,1)∪(2,+∞) 9.设函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x∈R 有 f(x)=f(x+6) ,且 f(x)在(0,3)内 单调递减,f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下列正确的结论是( ) A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) C.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 2 2 10.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 11.(理)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 ( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 12.已知函数 f(x)= ,若关于 x 的方程 f(x)

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=t 有 3 个不等根 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 x3-x1 的取值范围为( A.(2, ] B.(2, ] C.(2, ] D.(2,3)



二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13.已知长方形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,其水平放置的直观图如 图所示,则 A′C′= ______ .
2 y) 14.若点 P (x, 在圆 C: (x-2) +y2=3 上, 则 的最大值是 ______ .

15.已知圆(x-3) +y =16 和圆(x+1) +(y-m) =1 相切,则实数 m= ______ . 16.将边长为 2 的正方形 ABCD(O 是正方形 ABCD 的中心)沿对角线 AC 折起,使得半平 面 ACD 与半平面 ABC 成 θ(0°<θ<180°)的两面角,在折起后形成的三棱锥 D-ABC 中,给出下列三个命题: ①不论 θ 取何值,总有 AC⊥BD; ②当 θ=90°时,△BCD 是等边三角形; ③当 θ=60°时,三棱锥 D-ABC 的体积是 .

2

2

2

2

其中正确的命题的序号是 ______ . (把你认为正确的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17.已知直线 l1:x+my+6=0,直线 l2: (m-2)x+3my+18=0. l l m (1)若 1∥ 2,求实数 的值; (2)若 l1⊥l2,求实数 m 的值.

18.如图, O 为矩形 ABCD 的中心, E, F 为平面 ABCD 同侧两点, 且 EF BC,△CDE 和△ABF 都是等边三角形.

(1)求证:FO∥平面 ECD; (2)设 BC= CD,求证:EO⊥平面 FCD.

19.如图,已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y-1=0 以及 l2 上一点 P (3,-2) ,求圆心在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

20.已知函数 f(x)=a-

,g(x)=



(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值;
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(2)若关于 x 的方程 g(2x)-a?g(x)=0 有唯一的实数解,求实数 a 的取值范围.

21.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1, 直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

22.已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当 x>0 时, 有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax-2)+f(x-x )<3 对任意的 x∈[1,+∞) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2014-2015 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
答案和解析
【答案】 1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.A 12.B 13. 14. 15.3 或-3 16.①②③ 17.解: (1)当 m=0 时,两条直线分别化为:x+6=0,-x+9=0,此时两条直线不平行,因 m 此 =0; 当 m≠0 时,两条直线分别化为: ∵l1∥l2,∴ , , ,无解. ,

综上可得:m=0. (2)由(1)可得:m=0 时两条直线平行, m≠0,∵l1⊥l2,∴ 解得 m=-1 或 . ∴m=-1 或 . 18.证明: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连接 OM. 在矩形 ABCD 中,OM∥ BC,且 OM= BC,又 EF∥ BC,且 EF= BC, 则 EF∥OM,EF=OM,连接 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. ∴FO∥EM. 又 FO 不在平面 CDE 内,且 EM 在平面 CDE 内, ∴FO∥平面 CDE. (Ⅱ)证明:连接 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,CM=DM,EM⊥CD, 且 EM= CD= BC=EF,因此,平行四边形 EFOM 为菱形,从而,EO⊥FM,而 FM∩CD=M, =-1,

∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO.而 FM∩CD=M, 所以,EO⊥平面 CDF. 19.解:法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, x+y-1=0 相切于点 P ∵圆 C 与直线 l: (3, -2) , 且圆心在直线 4x+y=0 上,

∴满足

,解得 a=1,b=4,r=



则圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=8. 法二:过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线方程为 y+2=x-3, 即 y=x-5 与 4x+y=0 联立求得圆心为(1,-4) ,

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则半径 r=

=



则圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=8. 20.解: (1)由题意知,f(x)是定义域为 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 a(2)因为 f(x)=a=0,解得 a=1; ,所以 g(x)= +a× = =0, ,

将方程 g(2x)-a?g(x)=0 化为:
x x

化简得 22 -a?2 +1-a=0, x 设 t=2 ,则 t>0,代入上式得 t2-at+1-a=0, 因为关于 x 的方程 g(2x)-a?g(x)=0 有唯一的实数解, 2 所以关于 t 的方程 t -at+1-a=0 有唯一的正实数解,

则 1-a<0 或

,解得 a>1 或 a>



所以实数 a 的取值范是(

,+∞) .

21.解:

(I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC,又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1,又 AC? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC= ,

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 22.(1)解:令 m=0,则 f(0+n)=f(0)+f(n)-1,即 f(0)=1; (2)证明:任取 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵当 x>0 时,有 f(x)>1, ∴f(x2-x1)>1, ∵f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1) ,
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∴f(x2)>f(x1) , f x 即 ( )在 R 上为增函数; (3)∵f(ax-2)+f(x-x2)=f(ax-2+x-x2)+1<3 2 ∴f(ax-2+x-x )<2 又∵f(1)=2 及 f(x)在 R 上为增函数 ∴ax-2+x-x2<1 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立, 即 x2-(a+1)x+3>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立. 下面对△=(a+1)2-12 的正负情况进行讨论: ①当△<0,即(a+1)2-12<0 时, 2 ②当△=0 且 x -(a+1)x+3=0 的解小于 1 时, 则 a=± ,x= ,

故 a=; 2 ③当△>0 且 x -(a+1)x+3=0 的最大解小于 1 时, 2 2 即 0<a +2a-11<a -2a+1, 解得 或 , 综合所述, 或 .

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