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一道高考题的探索与发现_图文

?24?

中学数学研究

2014年第9期

=詈一入‘鲁,移项得茹,一告=A(石z一等)⑥ =鲁一入?譬,移项得茹,一譬=A(石:一譬)⑥

定点Ⅳ(,l,O)(1,l I≠口,,l≠0),过点Ⅳ任作一直线 交双曲线于A、丑两点,过A、曰作互相平行的两直线,
一2

㈠一扛旧卜册‰一乳?.揣
一l胎.I J船I… 设直线肋交胎l于E,。.‘AA,∥丑曰1,且D为线 段A,B1的中点’...I AA。I=I髓,I,代入⑦得

设直线AA,的斜率为露,则I AA,I=√l+忍2?

分别交直线z:戈=詈于A1、B。,设点D为线段A1B。
的中点,则

=二4=l I(由⑥得),姬=A商, h:一等I .。.等:黑⑦
l聋,一生l


(、1、)AD//NB L,ABD力NAl;

(2)肋平分线段ⅣA,,且肋平分线段l\7:B。.
定理2、推广2的证明分别与定理l、推广l的证 明类似,请读者自己完成.
定理3

已知抛物线y2=枷(p>o)及定点

Ⅳ(n,O)(7I≠0),过点Ⅳ任作一直线交抛物线于A、 曰两点,设A、B在直线z:茹=一n上的射影分别为An 曰,,点D为线段A。曰。的中点,则

篝筹=尚等,...胜∥胎,,即肋∥凇,.
同理肋∥ⅣA,.
(2)证明同定理1(2),略.
定理2

(1)AD∥彻l,且肋∥ⅣAl;
(2)AD平分线段ⅣA,,且肋平分线段船。.
推广3

已知抛物线广=枷(p>o)及定点

已知双曲线≥一务=1(口,6>o)及

Ⅳ(n,O)(,l≠O),过点Ⅳ任作一直线交抛物线于A、 B两点,过A、B作互相平行的两直线,分别交直线Z: 茹=一n于A卜曰,,设点D为线段A。B。的中点,则

定点Ⅳ(n,0)(I,l l≠口,n≠O),过点Ⅳ任作一直线 交双曲线于A、曰两点,设A、B在直线Z:茹=生上的 射影分别为A¨B。,点D为线段AlB,的中点,则

(1)仰∥胎1,且BD∥ⅣA1;

(2)肋平分线段肱,,且肋平分线段凇。.
定理3、推广3的证明分别与定理1、推广l的证 明类似,请读者自己完成;

(1)肋∥船。,且肋∥ⅣA。; (2)仰平分线段M。,且肋平分线段凇。.
推广2

已知双曲线写一告=1(口,6>o)及

《≯卅矿、驴《矿、口、西卜驴《≯q驴、口、西卜《斗《争q矿、驴、口、西h驴电铲1痧、黟谚《矿’驴、驴谚《扩、步、驴、t:矿、

一道高考题的探索与发现
江西省信丰中学 (341600) 朱万江

题目

已知椭圆c:≥+旨=1(口>6>o)



与方程等重要的数学思想方法,同时还考查了考生 的运算能力,具有很好的区分度.由椭圆的标准方程
..2



.j

的一个焦点为(怕,o),离心率为半


及其简单几何性质易得(1)等+}=1.对于(2)先

.t

(1)求椭圆的标准方程; (2)若动点P(‰,%)为椭圆c外 点,且到椭 圆c的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 分析:这是广东省2014年高考数学理科第20 题,是一道考查考生综合运用数学知识解决问题的 典型题目,涉及解析法、数形结合、化归与转化、函数 万方数据

设切线的方程,联立椭圆的标准方程,令△=0可以 得到一个关于切线斜率的二次方程,再由韦达定理

即可求得轨迹方程为石2+广=13(过程略).解答中
笔者发现13=9+4,即所求轨迹方程圆的半径的平 方恰好是椭圆长半轴与短半轴的平方和,于是得到
以下结论:

2014年第9期

中学数学研究
结论2

?25?

结论1

若动点P(聋。,%)为椭圆c:§+告=

若P(‰,%)为圆石2+广=口2+62上
.2 2

l(口>6>O)外一点,且到椭圆C的两条切线相互

任意一点,由动点P(茗。,%)作椭圆c:%+旨=1(口



垂直,则点P的轨迹方程为茗2+严=口2+62.

>6>O)的两条切线Z。与j2,则j1上22.(证略)
结论3

f≥善≯‰得手+半: {譬+苦:-得≥+尘∑—弓半2
得省:+元=口2+62(茗≠±口).
【%=6, L%=6, I%=一6, 【%=一6,

证明:(1)若两条切线的斜率均存在,不妨设过

若动点P(粕,%)为抛物线C:石2=

点P(粕,扎)的切线方程为y=孟(茹一粕)+%,则由

现(p>0)外一点,且到抛物线C的两条切线相互
垂直,则点P的轨迹方程为,,=一皋(证略) ‘


(2010年广东高考数学理科第20题第2问

1,即(口2J}2+62)戈2+(2口2%七一2口2‰矿)茹+矿J}2露一 2J}口2粕如+口2露一口262=o,令厶=(2c12%jI一 2口2‰矗2)2—4(口2孟2+62)(口2酽露一2后口2‰%+口2元一 口262)=o,整理得(口2一石:)矿+ho%蠡一元+62=
0.又所引的两条切线相互垂直,设两条切线的斜率

改编)若过点日(0,^)(^>1)的两条直线Z,和乞与
..2

椭圆等+广=l都相切,且z。上z2,求^的值. 厶
解:设过点日(0,^)的直线为y=k+^(^>


1),联立冬+严=1得(1+2詹2)茗2+4J}k+2^2—2 二
=0,令△=16酽^2—4(1+2置2)(2酽一2)=0,得

分另9为七,,也,贝。七,?五:=一1,即!f_二=_乌=一1,整理
(2)若两条切线中有一条斜率不存在,则易得

2酽一J12+1=o,又由后l?尾2=一l,解得^=扛
以上两道高考题的神似提醒我们,在平时的教 学中,尤其是高三的总复习中应该重视对高考题的 研究,通过研究,可以使我们能领悟解题方法,领悟 问题的深层次的联系,从而使我们的解题能力和思 维品质向更深和更高层次发展和升华.

f粕2口’或f‰2一口’或f‰2钆或f‰2一口’经
检验知均满足露+元=82+62.因此,动点P的轨迹 方程为矿+严=口2+酽.

卅争《争司争《争电务《争毛争d^d夸《卜d卜d^西h面^趔九诏、胡h趔卜司h硒h喀、趔卜固卜硒h雹争-q争《争《争司卜硒}司K疥西h够、痧、痧、驴、驴、驴、廖、妒协彩、痧、《h‘西争

椭圆的焦半径公式及应用
安徽省砀山中学(235300)
近年来,已知椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角 为口,求与椭圆的焦半径、焦点弦长有关的问题,频 频出现于高考试卷及各类模拟试题.对这类问题的 处理,传统的思路是借助于椭圆的第二定义或极坐 标方程.而现行新课标教材中又没有详细介绍椭圆 的第二定义和极坐标方程,所以不少资料给出的解 法是联立直线与椭圆的方程,得到关于菇(或),)的 一元二次方程,借助于方程两根之间的关系来求解, 显得太繁与无奈.那么还有没有别的思路与方法来 推导椭圆的焦半径、焦点弦长公式呢?本文拟作一探
讨.
I AF

胡云浩

已知椭圆c:;+舌=l(口>6>。)的左焦点
为F,过点F的直线Z与椭圆C相交于A,曰两点,设 直线Z的倾斜角为口,那么如何用口表示焦半径
I AF I,l曰F

I呢?
’爿,

如图l,设另一焦点为F’,

在厶A即’中,l
=I AFI ?I FF7I

AF’l=2口一 AF’I


I,由余弦定理得l

2+I胛,I

2—2 I AF I

~F B\

1K <、


乡x

cos口,即(2口一I AFI)2

=I AF l 2+4c2—2 I AF I.

一、公式推导

2ccos口,解得l

AFl=彳刍孟缶=却类似
口一CCOSF 口一CCOSd

图l

万方数据



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