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【优化课堂】高中数学 第二章 2.5.2 等比数列前n项和的性质课件 新人教A版必修5_图文

2.5.2 等比数列前 n 项和的性质 掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质. 1.数列{an}是等比数列,Sn是其前n 项和,则Sn,S2n-Sn, 等比数列 . S3n-S2n也成__________ 练习1:在等比数列{an}中,a1+a2=20,a3+a4=40,则 140 S6=_______. 练习2:在正项等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4 的值为( A ) A.28 B.32 C.35 D.49 2.在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),S偶与 S奇分别为 S偶 q 偶数项和与奇数项和,则 =______. S奇 练习3:已知等比数列{an}中,公比 q=3,a1+a3+a5+a7 12 ,a3+a5+a7+a9=_____. =4,则a2+a4+a6+a8=_____ 36 练习4:在公比为整数的等比数列{an}中,已知a1+a4=18, a2+a3=12,那么a5+a6+a7+a8=( A A.480 B.493 ) D.498 C.495 a1?1-qn? ? ? ?q≠1? ,是否可以写成 1.等比数列前n项和公式Sn= ? 1-q ? Sn=A(qn-1)(Aq≠0且q≠1)的形式?若可以,A等于什么? a1 答案:可以,A=- . 1-q a1-anq? ? ? ? ,是否可以 q ≠ 1 2.等比数列前 n 项和公式 Sn= ? ? 1-q 写成 Sn=Aan+B(AB≠0 且 A≠1)的形式? a1 q 答案:可以,A=- ,B= . 1-q 1-q 题型1 3n 项的和. 等比数列前 n 项和性质的应用 例1:已知等比数列前 n 项和为 10,前 2n 项和为 30.求前 自主解答:解法一:设数列为{an}, 依题意,可得Sn=10,S2n=30. 又∵在等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn· (S3n-S2n),(30-10)2=10· (S3n-30), 即S3n=70. 解法二:∵S2n≠2Sn,∴q≠1. 由已知,得 n a ? 1 - q ? ? ? 1 =10, ① ? 1-q ? 2n a ? 1 - q ? ? 1 =30. ② ? 1 - q ? 由②÷ ①,得1+qn=3, 即qn=2. ③ a1 将③代入①,得 =-10. 1-q a1?1-q3n? ∴S3n= =-10×(1-23)=70. 1-q 与Sn有关的性质主要是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 的关系.在与Sn 有关的运算中,经常用到两种技巧,①两式相 除法;②整体代入法,但都不要忽略对q 的讨论. 【变式与拓展】 S10 1.在等比数列{an}中,a1=-1,前n项和为Sn,若 S = 5 31 S15 32,求S10的值. S10 31 解:∵ S =32,∴设S10=31x,S5=32x,且x≠0. 5 则S10-S5=31x-32x=-x. 又(S10-S5)2=S5(S15-S10), ?S10-S5?2 ? -x? 2 993 ∴S15= +S10= 32x +31x= 32 x. S5 993 x S15 32 993 ∴S = 31x =992. 10 2.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=18,a2+a3+a4= -9,Sn=a1+a2+…+an,则Sn=__________________. ? 16? ? ? 1?n? 1-?-2? ? ? ? ? 题型2 等比数列前 n 项和的综合运算 例2:在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. 自主解答:∵a1an=a2an-1=128, 又a1+an=66, ∴a1,an是方程x2-66x+128=0的两根, 解方程得x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1. a1-anq 若a1=2,an=64,由 =126, 1-q 得2-64q=126-126q,∴q=2. 由an=a1qn 1,得2n 1=32,∴n=6. - - 1 若a1=64,an=2,同理可求得q=2,n=6. 1 综上所述,n的值为6,公比q=2或2. 解本题的关键是利用a1· an=a2· an-1,进而求出 a1,an,要注意a1,an有两组解. 【变式与拓展】 3.(2010 年广东)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 5 项和,若 a2· a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为— ,则 S5=( C ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 解析:设{an}的公比为q,则由等比数列的性质知: a2· a3=a1· a4=2a1,即a4=2. 5 5 1 由a4与2a7的等差中项为4知:a4+2a7=2×4,∴a7=4. a7 1 1 ∴q =a =8,即a1=16,q=2. ∴S5=31. 4 3 4.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已 知a2a4=1,S3=7,则S5=( B ) 15 A. 2 31 B. 4 2 1 33 C. 4 4 17 D. 2 1 解析:由a2a4=1,可得a q =1,因此a1= q2 .又因为S3= a1(1+q+q 2 ?1 ? ?1 ? 1 )=7,联立两式有 ?q+3? ?q-2? =0,所以q= 2 ,所 ? ?? ? 以S5= ? 1? 4×?1-25? ? ? 1 1-2 31 =4. 题型3 等比数列前 n 项和的实际应用 例3:小君有人民币若干,拟作股票投资或长期储蓄,若 存入银行年利率为 6%,若购某种股票年红利为 24%,不考虑 物价变化因素,且银行年利率及该种股票年红利不变,股份公 司不再发行新股票,但每年的利息和红利可存入银行.


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