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山东省枣庄市2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) (解析版)


山东省枣庄市 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题,共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. (2015 春?枣庄期末)复数 z=i(1+2i)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先化简复数,然后找到对应的点,根据坐标特点确定位置. 解答: 解:复数 z=i(1+2i)=﹣2+i,对应的点为(﹣2,1) ,在第二象限; 故选:B. 点评:本题考查了复数的计算以及复数的几何意义;属于基础题.

2. (2015 春?枣庄期末)设有一个回归方程为 =4﹣6x,则变量 x 增加一个单位时( A. y 平均增加 4 个单位 C. y 平均增加 6 个单位 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. B. y 平均减少 4 个单位 D.y 平均减少 6 个单位



分析:回归方程 =4﹣6x,变量 x 增加一个单位时,变量 平均变化[4﹣6(x+1)]﹣(4﹣6x) ,及 变量 平均减少 6 个单位,得到结果. 解答: 解:∵﹣6 是斜率的估计值, 说明 x 每增加一个单位, y 平均减少 6 个单位. 故选:D 点评:本题考查线性回归方程的应用,考查线性回归方程自变量变化一个单位,对应的预报值是一 个平均变化,这是容易出错的知识点. 3. (2011?福建) A. (e +2x)dx 等于( 1 B.
x

) e﹣1 C. e D. e +1
2

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:求出被积函数的原函数,将积分的上限代入减去将下限代入求出差. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )|0 =e+1﹣1=e
x x 2 1

故选 C. 点评:本题考查利用微积分基本定理求定积分值.
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4. (2015 春?枣庄期末)若随机变量 X~N(1,4) ,则 P(1<X≤3)=( ) 2 (附:若随机变量 X~N(μ,σ ) (σ>0) ,则 P(μ﹣σ<X≤(μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ) =0.9544. A. 0.6826 B.0.3413 C. 0.9544 D. 0.4772 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用 P(μ﹣σ<X≤(μ+σ)=0.6826,及正态曲线的对称性,即可得出结论. 解答: 解:由题意,P(﹣1<X≤3)=0.6826, 所以 P(1<X≤3)= P(﹣1<X≤3)=0.3413. 故选:B. 点评:本题考查正态曲线的对称性,考查 3σ 原则的运用,比较基础. 5. (2015 春?枣庄期末)化简(x+1) ﹣4(x+1) +6(x+1) ﹣4(x+1)+1 的结果为( 4 4 4 A. x B. (x﹣1) C. (x+1) ﹣1 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:由条件利用二项式定理,可得所给式子的结果. 解答: 解: (x+1) ﹣4(x+1) +6(x+1) ﹣4(x+1)+1=[(x+1)﹣1] =x , 故选:A. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题. 6. (2015 春?枣庄期末)已知 x,y 的取值如下表: X 2 3 4 5 y 2.2 3.8 5.5 6.5 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归直线方程为 =1.46x+ ,则 的值为( A. 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程,得到关于 的 方程,解方程即可 解答: 解:∵ =3.5, =4.5, ∴这组数据的样本中心点是(3.5,4.5) 把样本中心点代入回归直线方程 =1.46x+ , ∴4.5=1.46×3.5+ ,
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4 3 2 4 4 4 3 2

) 4 D. x

) D. ﹣0.62

﹣0.71

B.﹣0.61

C. ﹣0.72

∴ =﹣0.61. 故选:B 点评:本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解线性回归 方程的步骤之一. 7. (2015 春?枣庄期末)一个盒子中有 20 个大小形状相同的小球,其中 5 个红球,5 个黄球,10 个 蓝球,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是蓝球的概率是( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:从盒子中任取一球,若它不是红球,则所有的取法共有 15 种,而它是蓝球的取法有 10 种, 由此求得它是蓝球的概率. 解答: 解:从盒子中任取一球,若它不是红球,所有的取法共有 15 种,而它是蓝球的取法有 10 种, 故它是蓝球的概率 P= = ,

故选:C. 点评:本题主要考查等可能事件的概率,属于基础题. 8. (2015 春?枣庄期末)有一个圆锥,其母线长为 18cm,要使其体积最大,则该圆锥的高为( ) A. 8cm B.6 cm C. 8 cm D. 12cm 考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题:函数的性质及应用;空间位置关系与距离. 分析:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,表示出圆锥的体积,利用但是判断函数的单调性求出函数的 最大值点即可. 2 2 2 2 2 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 r +h =18 ,即 r =324﹣h , 圆锥的体积为:V= πr h= π(324h﹣h ) . (0<h<18) . ∴V′= π(324﹣3h )=π(108﹣h ) , 令 V′=0,则 h=6 , ∵0<h<6 时,V′>0,6 <h<18 时,V′<0, 故 h=6 时,V 取最大值, 故选:B 点评:本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数求解函数的最值的基本方法,考查计算能力. 9. (5 分) (2015 春?枣庄期末)4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去,每所学校至少去一名学生, 则不同的保送方案有( ) A. 12 种 B.72 种 C. 18 种 D. 36 种
2 2 2 3

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考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 2 步进行分析:①、将 4 名学生分为 3 组,一组 2 人、其余 2 组每组 1 人,②、 将分好的 3 组进行全排列,对应 3 所学校,分别求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得 答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行分析: 2 ①、将 4 名学生分为 3 组,一组 2 人、其余 2 组每组 1 人,有 C4 =6 种情况, 3 ②、将分好的 3 组进行全排列,对应 3 所学校,有 A3 =6 种情况, 则不同的保送方案有 6×6=36 种, 故选:D. 点评:本题考查分步计数原理的运用,对于此类问题一般要先分组、再对应,关键是审清题意,明 确分组的方法.

10. (2015 春?枣庄期末)定义在上(0, f(x)的导函数,则( A. sin C. ( ) )

)的函数 f(x)满足 2f(x)<f′(x)tan2x,f′(x)是

f(

)<f(

) B. f( )

f(

)>

f(



D.

f(

)>f

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据商的关系化简 2f(x)<f′(x)tan2x,由式子的特点和求导公式、法则构造函数 g(x) = ,求出 g′(x)根据条件判断出符号,得到 g(x)的单调性,利用单调性验证出正确答案. )上满足 2f(x)<f′(x)tan2x,

解答: 解:∵在(0,

∴2(cos2x)f(x)<f′(x)sin2x, 设 g(x)= ,则 g′(x)= >0,

∴g(x)在(0,

)上单调递增,

∴g(

)>g(

) ,则



化简可得



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故选:A. 点评:本题考查求导公式和法则,利用导数研究函数的单调性,以及构造函数法,属于中档题. 二、填空题,本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. (2015 春?枣庄期末)已知 i 为虚数单位,若 x+1+(x ﹣4)i>0(x∈R) ,则 x 的值为 2 . 考点:复数代数形式的混合运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由 x+1+(x ﹣4)i>0(x∈R) ,可得 解答: 解:∵x+1+(x ﹣4)i>0(x∈R) , ∴ ,解得 x=2.
2 2 2

,解得即可.

故答案为:2. 点评:本题考查了复数为实数的充要条件、不等式的解法,属于基础题. 12. (2015 春?枣庄期末)已知随机变量 X~B(4,p) ,若 E(X)=2,则 D(X)= 1 . 考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据随机变量符合二项分布,由二项分布的期望公式,列出方程,解方程,求出 p,即可求 出答案. 解答: 解:随机变量 X 服从二项分布 X~B(4,p) ,E(X)=2, ∴4p=2, ∴p= ∴D(X)=4p(1﹣p)=1, 故答案为:1. 点评:本题考查二项分布与 n 次独立重复试验的模型,考查二项分布的方差,本题解题的关键是通 过期望公式列方程,本题是一个基础题.

13. (2015 春?枣庄期末)

的值为 ﹣sin1 .

考点:极限及其运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:利用导数的定义即可得出. 解答: 解: 故答案为:﹣sin1.
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=(cosx)′|x=1=﹣sin1,

点评:本题考查了导数的定义,属于基础题. 14. (2015 春?枣庄期末)若正三角形内切圆的半径为 r,则该正三角形的周长 C(r)=6 r,面积 S 2 (r)=3 r ,发现 S′(r)=C(r) .相应地,若正四面体内切球的半径为 r,则该正四面体的表面积 2 3 S(r)=24 r .请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积 V(r)= 8 r (写出关于 r 的表 达式) . 考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由题意,V′(r)=S(r) ,求出原函数,即可得出结论. 解答: 解:由题意,V′(r)=S(r) , 2 ∵S(r)=24 r , 2 ∴V′(r)=24 r . 3 ∴V(r)=8 r . 3 故答案为:8 r . 点评:本题考查类比推理,考查学生的计算能力,比较基础. 15. (2015 春?枣庄期末)若 n 是一个正数值,且 n 的个位数字,大于十位数字,十位数字大于百位 数字,则称 n 为“三位递增数”(如 135,148,567 等) ,则能被 2 整除的“三位递增数”的个数为 34 (用数字作答) . 考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,由“三位递增数”分析可得 n 的三个数位中不能有 0,且个位数字不能为 2,而又要 求“三位递增数”能被 2 整除,则其个位数字必须是 4、6、8 中的一个,则分 3 种情况讨论:①、当 个位数字为 4 时,②、当个位数字为 6 时,③、当个位数字为 8 时;每种情况下只需在比个位数字 小的数字中任取 2 个按从小到大的顺序排在百位、十位,由组合数公式每种情况下的“三位递增数” 的个数,由分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,对于“三位递增数”,要求 n 的个位数字,大于十位数字,十位数字大于百 位数字,则 n 的三个数位中不能有 0,且个位数字不能为 2, 而又要求“三位递增数”能被 2 整除,则其个位数字必须是 4、6、8 中的一个, 则分 3 种情况讨论: ①、当个位数字为 4 时,只需在 1、2、3 这三个数字中任选 2 个,按从小到大的顺序排在百位、十 位即可, 2 有 C3 =3 种情况, ②、当个位数字为 6 时,只需在 1、2、3、4、5 这五个数字中任选 2 个,按从小到大的顺序排在百 位、十位即可, 2 有 C5 =10 种情况, ③、当个位数字为 8 时,只需在 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字中任选 2 个,按从小到大的顺序 排在百位、十位即可, 2 有 C7 =21 种情况, 则共有 3+10+21=34 种情况,即有能被 2 整除的“三位递增数”的个数为 34 个; 故答案为:34.

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点评:本题考查排列、组合的运用,解题的关键是认真分析题意,将原问题转化为排列、组合的问 题,进而利用排列或组合公式分析. 三、解答题,本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (2015 春?枣庄期末)已知(3x+ (1)求正整数 n 的值; (2)求展开式中 x 项的系数. 考点:二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题:二项式定理. n 分析: (1)由题意可得展开式中各二项式系数之和 2 =16,从而求得 n 的值. (2)在(3x+ ) 的展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,可得展开式中 x
n

) 的展开式中各二项式系数之和为 16.

n

项的系数. n 解答: 解: (1)由题意可得展开式中各二项式系数之和 2 =16,∴n=4. (2) (3x+ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= ×3 =54.
2 n

?3

4 ﹣r

?

,令 4﹣

=1,求得 r=2,

∴展开式中 x 项的系数为

点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题. 17. (2015 春?枣庄期末)从某校高三年级抽查 100 名男同学,如果以身高达到 170cm 作为达标的标 准,对抽取的 100 名男同学,得到以下列联表: 身高达标 身高不达标 总计 积极参加体育锻炼 40 75 不 积极参加体育锻炼 10 总计 100 (1)请完成上表; 2 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系(K 的观察值精确 到 0.001)? 参考:K = P(k ≥k0) k0 2.072
2 2

0.15 2.706

0.10

考点:独立性检验的应用. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)根据各项数据的值,可得列联表中的数据; (2)代入公式计算出 k 值,然后代入离散系数表,比较即可得到答案. 解答: 解: (1)
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积极参加体育锻炼 不积极参加体育锻炼 总计 (2)K =
2

身高达标 40 10 50

身高不达标 35 15 50 ≈1.33<2.072

总计 75 25 100

故不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系. 点评:本题考查了列联表,独立性检验的方法等知识,考查了学生处理数据和运算求解的能力. 18. (2015 春?枣庄期末)用数学归纳法证明(1+x) >1+nx,这里 x>﹣1 且 x≠0,n∈N 且 n≥2. 考点:数学归纳法. 专题:推理和证明. 分析:(1)验证当 n=2 时,原不等式成立; (2)假设当 n=k 时不等式成立,由数学归纳法证明当 n=k+1 时不等式也成立即可. 2 解答: 证明: (1)当 n=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x, 2 ∵x >0,∴左边>右边,原不等式成立; k (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即(1+x) >1+kx, 则当 n=k+1 时,∵x>﹣1,∴1+x>0, k 在不等式(1+x) >1+kx 两边同乘以 1+x 得 k 2 (1+x) ?(1+x)>(1+kx)?(1+x)=1+(k+1)x+kx >1+(k+1)x, k+1 ∴(1+x) >1+(k+1)x.即当 n=k+1 时,不等式也成立. 综合(1) (2)可得对一切正整数 n,不等式都成立. 点评:本题考查数学归纳法证明不等式,属中档题.
n *

19. (2015 春?枣庄期末)已知甲、乙两名篮球运动员每次投篮命中的概率分别为 、p,甲、乙每次 投篮是否投中相互之间没有影响,乙投篮 3 次均未命中的概率为 .

(1)求 p 的值; (2)若甲投篮 1 次、乙投篮 2 次,两人投篮命中的次数的和记为 X,求 X 的分布列和数学期望 E (X) 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)服从 B(3,p)独立重复试验,利用概率公式求解即可. (2)确定 X=0,1,2,3,分析得出当 x=0 时,甲,乙两人投篮命中次数都为 0,当 x=1 时,甲, 乙两人投篮命中次数为 0,1 或 1,0;当 x=2 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,1.或 0,2;当 x=3 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,2;利用独立事件同时发生的概率求解即可. 解答: 解: (1)服从 B(3,p)独立重复试验 根据题意得出: p (1﹣P) =
3 0



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∴p= , (2)X=0,1,2,3 当 x=0 时,甲,乙两人投篮命中次数都为 0, P(X=0)=(1﹣ )× (1﹣ ) = ,
2

当 x=1 时,甲,乙两人投篮命中次数为 0,1 或 1,0. P(X=1)=(1﹣ )× × ×(1﹣ )+ (1﹣ ) =
2

= ,

当 x=2 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,1.或 0,2 P(X=2)= × × ×(1﹣ )+(1﹣ )× ( )=
2

=



当 x=3 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,2. P(X=3)= X P E(X)=0× +2× = . ( )= 0
2

, 1 2 3

点评:本题考查了离散型的概率求解,分布列,数学期望,考查了学生的阅读分析问题的能力,计 算能力,属于中档题. 20. (2015 春?枣庄期末)已知函数 f(x)=ax ,函数 g(x)=x +bx+c 满足 g(1)=g(3)=﹣6. (1)当 a=﹣ 时,求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在[0, )上的最值;
3 2

(2)当 x∈[﹣2,0]时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围 附: (x )′=ax
a α﹣1

,这里 α∈Q.

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析: (1)由 g(1)=g(3)=﹣6 列出方程组求出 b、c 的值,代入 h(x)化简并求出 h′(x) , 利用导数与函数单调性的关系,求出 h′(x)>0 和 h′(x)<0 的解集,即可判断出函数 h(x)的单 调区间,再求出 h(x)的最大值和最小值; (2)由(1)和二次函数的单调性求出 g(x)在[﹣2,0]上的单调性和最大值,求出 f′(x)根据恒 成立判断出 a 的符号,确定出 f(x)的单调性并求出最小值,根据条件列出不等式,求出实数 a 的 取值范围. 2 解答: 解: (1)∵g(x)=x +bx+c 满足 g(1)=g(3)=﹣6, ∴
2

,解得 b=﹣4,c=﹣3,

∴g(x)=x ﹣4x﹣3, 又 a=﹣ ,则 h(x)=f(x)﹣g(x)= ﹣x +4x+3,
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2

∴h′(x)=﹣2x ﹣2x+4=2(﹣x ﹣x+2)=﹣2(x﹣1) (x+2) , ∴当 x∈[0,1)时,h′(x)>0,当 x∈ ∴函数 h(x)在[0,1)上递增,在 则当 x=1 时,函数 h(x)取到最大值是 h(1)= 又 h(0)=3,h( ∴函数 h(x)在[0, )=2 >3, ,最小值是 3;
2

2

2

时,h′(x)<0, 递减, ,

)上的最大值是
2

(2)由(1)可得,g(x)=x ﹣4x﹣3=(x﹣2) ﹣7, ∴g(x)在[﹣2,0]上单调递减,最大值是 g(﹣2)=9, 3 2 又 f(x)=ax ,则 f′(x)=3ax , ∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)≥g(x)恒成立,∴a>0, ∴f′(x)=3ax ≥0,则 f(x)在[﹣2,0]上单调递增,最小值是 f(﹣2)=﹣8a, ∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)≥g(x)恒成立,∴﹣8a≥9, 解得 a≤ , ].
2

∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,

点评:本题考查求导公式和法则,利用导数研究函数的单调性、最值,以及恒成立问题的转化,属 于中档题. 21. (2015 春?枣庄期末)设函数 f(x)=(ax﹣1)e +ax+1,其中 e 为自然对数的底数,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线与直线 x﹣y+1=0 平行,求 a 的值; (2)若 a= ,问函数 f(x)有无极值点?若有,请求出极值点的个数,若没有,请说明理由; (3)若?x>0,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由题意求出 f′(x) ,根据条件和导数的几何意义列出方程求出 a 的值; (2)把 a= 代入 f(x)求出 f′(x) ,化简后构造函数 g(x)=e (x﹣1)+1,求出 g′(x)判断出 g (x)的单调性和范围,再判断出 f′(x)与 0 的关系,得到函数的单调性和极值,即可判断出极值 点的个数零,列出关于 a 的不等式求解; (3)求出 f′(x)和 f(0)的值,设 h(x)=f′(x) ,求出 h′(x) ,对 a 分类讨论,分别利用导数确 定函数的单调性,再求 a 的取值范围. x 解答: 解: (1)由题意得 f(x)=(ax﹣1)e +ax+1, x x ∴f′(x)=ae +(ax﹣1)e +a, ∵在点(0,f(0) )处的切线与直线 x﹣y+1=0 平行, ∴切线的斜率为 f′(0)=a﹣1+a=1,解得 a=1; (2)当 a= 时,f(x)=( x﹣1)e + x+1, ∴f′(x)= e +( x﹣1)e + = [e (x﹣1)+1],
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x x x x x x

设 g(x)=e (x﹣1)+1,则 g′(x)=e (x﹣1)+e =xe ≥0, ∴g(x)在 R 上递增,且 g(0)=0, 当 x∈(﹣∞,0)时,g(x)<0,即 f′(x)<0, 当 x∈(0,+∞)时,g(x)>0,即 f′(x)>0, ∴f(x)在(﹣∞,0)上递减,f(x)在(0,+∞)上递增, ∴当 x=0 时,函数 f(x)取到极小值 f(0)=0,没有极大值, x ∴方程 g(x)=0(即 2ax﹣e =0)有两个实根, ∴函数 f(x)有 1 个极值点; (3)f′(x)=(ax+a﹣1)e +a,f′(0)=2a﹣1,且 f(0)=0, x 设 h(x)=f′(x) ,则 h′(x)=(ax+2a﹣1)e , ①当 a≤0 时,x∈(0,+∞)时,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,+∞)上为减函数, ∵f′(0)=2a﹣1<0,∴f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴f(x)<f(0)=0,不成立; ②当 0<a< ,x∈(0, ﹣2)时,h′(x)<0,则 h(x)在(0, ﹣2)上为减函数, 此时 f′(x)<0,∴f(x)在(0, )上为减函数,∴f(x)<f(0)=0,不成立; ③当 a≥ ,x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,即 f′(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f′(x)≥f′(0)=0, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)>f(0)=0,不等式成立, 综上,a 的取值范围是[ ,+∞) . 点评:本题考查导数的几何意义,导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用,考查了转化思想、 分类讨论思想以及分析、解决问题的能力.
x

x

x

x

x

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