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重庆市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数 学 试 题 卷(文科)
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.下列函数是奇函数的是( A. ). C. f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

f ( x) ? x x

B. f ( x) ? lg x

D. f ( x) ? x ? 1
3

2.已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 (a ? i )(1 ? i) ? bi ,则 a ? bi ? ( A.

) D.

? 1 ? 2i

B.

1 ? 2i

C.

1 ? 2i

1? i

3.已知命题 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则下列结论正确的是 ( ) A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 (?p) ? (?q) 是真命题 4.已知 ? ? ? 0, B. 命题 p ? q 是真命题 D.命题 (?p) ? (?q) 是真命题 ) D. ? 1 ? ) D.0 ) D. ?? 1,1? )

? 3 ? ?? , 则 cos( ? ? ) 等于( ?, cos? ? 6 3 ? 2? 1 6 6 1 6 A. ? B. 1 ? C. ? ? 2 6 6 2 6
?

6 6

5.设 x ? R , 向量 a ? (1,1), b ? ( x,?2), 且 a ? b ? 10, 则 a ? b ? ( A.-2
2

B. 4 B. ?? 1, ,0) ? (0,???

C.

-1 C. ?? ?,?1?

6.函数 y ? ln ax ? 2 x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,???

7.已知函数 f ( x) ? ?

?sin x, sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( ?cos x, sin x ? cos x ? ?? A. f ( x) 是奇函数 B. f ( x) 在 ?0, ? 上递增 ? 2? C. f ( x) 是周期函数 D. f ( x) 的值域为 ? ?1,1?

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8.在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? AC , AB ? 2, AC ? 1, E, F 为 BC 边的三等分点,则

AE ? AF =( 8 A. 9

) B.

10 9

C.

25 9


D.

26 9

9.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos(2 x ?

?
3

) 的单调增区间为(
B. ?k? ?

A. ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ?

?

? , k? ?(k ? Z ) 3 ?

C. ?k? ? 10.曲线 y ?

? ?

?
6

, k? ?

??

(k ? Z ) 3? ?

D. ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?


? sin x 1 ? 在点 M ( ,0) 处的切线斜率为( 4 sin x ? cos x 2
2 2
B.

A.

?

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

11.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) + x2 f ( x2 ) > x1 f ( x2 ) + x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x ) 为“Z 函数”.
3 给出下列函数: ① f ( x ) ? ? x ? x ? 1 ; ② f ( x) ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;

? ?ln x , x ? 0, ③ f ( x) ? e x ? 1 ;④ f ( x) ? ? 其中函数 f ( x ) 是“Z 函数”的个数是( x ? 0, ? ?0,

)

A.1

B.2

C.3

D.4

12.已知点 A(0,1) ,曲线 C : y ? a ln x 恒过定点 B , P 为曲线 C 上的动点且 AP ? AB 的最小 值为 2 ,则 a ? ( A. ?2 ) B.-1 C.2 D.1

二、 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.)

10? ? _____________ 3 1 1 14.函数 f ( x ) ? 在区间 ?a, b? 的最大值为 1,最小值为 ,则 a ? b ? _________ x ?1 3
13. cos

15.小王在做一道数学题目时发现:若复数 z1 ? cos ?1 ? i sin?1 , z2 ? cos ?2 ? i sin?2 ,
-2-

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R), 则 z1 ? z2 ? cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 +?2 ) , z3 ? cos?3 ? i sin?3 ( 其 中 ?1 , ?2 , ?? 3
z2 ? z3 ? cos(?2 ? ?3 ) ? i sin(?2 +?3 )
z1·z2·z3=
. , 根 据 上 面 的 结 论 , 可 以 提 出 猜 想 :

16.已知 G 点为△ABC 的重心,且 AG ? BG , 若

????

??? ?

A

1 1 2? ? ? ,则实数 ? 的值为 tan A tan B tan C

.
B

D

G C

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知 p : x 2 ? 8x ? 20 ? 0; (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.

q : 1 ? m2 ? x ? 1 ? m 2 .

18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,满足:

c ? cos B sin C ?

? 3a ? c sin B?cosC ? 0 .

(Ⅰ) 求 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3 , 求 a ? b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 19.本小题满分 12 分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中, 发现其在 40 分钟的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x (单位:分钟)之间的关系满足如 图所示的图像,当 x ? ? 0,12? 时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点 A(10,80) ,过点

B(12, 78) ;当 x ? ?12, 40? 时,图像是线段 BC ,其中 C (40,50) ,
根据专家研究,当注意力指数大于 62 时,学习效果最佳. (Ⅰ)试求 y ? f ? x ? 的函数关系式; (Ⅱ)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最 佳?请说明理由. 20.(本题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 内的图象 时,列表并填入的部分数据如下表:
-3-

?
2

) 在某一个周期

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x
?x ??
A sin(? x ? ? ) ? B

x1
0 0

1 3 ? 2
3

x2

?
0

7 3 3? 2
? 3

x3
2?
0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ? [0, m] 3 (其中 m ? (2, 4) )上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q , ???? ??? ? 求 OQ 与 QP 夹角 ? 的大小.

3x 21.(本题满分 12 分)定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x ) ? x . 9 ?1 (Ⅰ)求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解析式;
(Ⅱ)判断 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上的单调性,并给予证明; (Ⅲ)当 ? 为何值时,关于方程 f ( x) ? ? 在 ? ?2, 2? 上有实数解?

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx . 2

1 时,求函数 f ( x) f(x)的单调区间; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? (0 ? x ? 3) ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (Ⅲ)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ( x) ? m x在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围.

? ?

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数 学 答 卷(文科) 2015.7 二.填空题.(每题 5 分,共 20 分)

-4-

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题号

13

14

15

16

答案 三.解答题.(共 70 分) 17.(本题满分 10 分)

18. (本题满分 12 分)

19. (本题满分 12 分)

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20. (本题满分 12 分)

21. (本题满分 12 分)

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22. (本题满分 12 分)

-7-

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2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数 学 答 案(文科) 2015.7 一、选择题

-8-

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1 2

14.6

15. cos(?1 ? ? 2 ? ?3 ) ? i sin(?1 ? ? 2 ? ?3 )

16.

1 4

三、解答题 解:由题知道 p : x 2 ? 8x ? 20 ? 0 ? ?2 ? x ? 10 , q : 1 ? m ? x ? 1 ? m .
2 2
2 ? ?1 ? m ? ?2 ? m2 ? 3 ? ? 3 ? m ? 3 (Ⅰ) p 是 q 的必要条件则 q ? p ,则 ? 2 ? ?1 ? m ? 10

所以 m ? ? 3, 3

?

?

?????5 分

(Ⅱ)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,等价于 ?q ? ?p且?p ? ?q 也等价于
2 ? ?1 ? m ? ?2 ? m 2 ? 9 所以 m ? ?? ?,?3?? ?3,??? p ? q且q ? p ,则 ? 2 ? ?1 ? m ? 10

?????10 分 18.解:(Ⅰ)由 c cos B sin C ?

? 3a ? c sin B?cosC ? 0 ,
????4 分

可得 c sin(B ? C) ? ? 3a cosC ,所以 c sin A ? ? 3a cosC , 由正弦定理得 sin C sin A ? ? 3 sin A cosC ,

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? ? 3 cosC , 即 tan C ? ? 3 ? C ? (Ⅱ)由正弦定理

2? . 3

?????6 分

a b c a b ? ? ? ? ? 2 得:??8 分 sin A sin B sin C sin A sin B ? 1 3 ? a ? b ? 2(sin A ? sin B) ? 2(sin A ? sin( ? A)) ? 2( sin A ? cos A) ? 2 sin( A ? ) 3 2 2 3
??10 分

又因为 A ? B ?

?

所以 a ? b ? ? 3,2 所以 (a ? b) max ? 2, 此时 A ?

?

? ? ? 2? ? ? 3 ? ? A ? (0, ) ? A ? ? ( , ) ? sin( A ? ) ? ? ,1? 3 3 3 3 3 3 ? ? 2 ?

?

?
3

?

?
2

? A?

?
6

,B ?

?
6

?????12 分 19.解:(Ⅰ)当 x ? ? 0,12? 时设 f ( x) ? a( x ? 10) ? 80,因为这时图象过点(12,78) ,代
2

-9-

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1 1 2 ,所以 f ( x) ? ? ( x ? 10 ) ? 80 ????3 分 2 2

当 x ? ?12, 40? 时,设 y ? kx ? b ,过点 B(12,78),C(40,50)得 ?

?k ? ?1 ,即y ? ? x ? 90 ?b ? 90

? 1 2 ?? ( x ? 10) ? 80 x ? (0,12? 故所求函数的关系式为 f ( x) ? ? 2 ????7 分 ? x ? ?12,40? ?? x ? 90 ?0 ? x ? 12 ?12 ? x ? 40 ? (Ⅱ)由题意得 ? 1 得 或? 2 ? x ? 90 ? 62 ? ( x ? 10 ) ? 80 ? 62 ? ? ? 2
4 ? x ? 12或12 ? x ? 28即4 ? x ? 28 ,
则老师在 x ? (4,28) 时间段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳。????12 分 20. 解:(Ⅰ) x1 ? ?

????9 分

4 10 2 ? ? , x2 ? , x3 ? ????5 分 ? f ( x) ? 3 sin( x ? ) 3 3 3 2 3 ? 2 (Ⅱ)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g ( x) ? 3 sin x 2 3 由于 g ( x) 在 [0, m](m ? (2, 4)) 上的值域为 [? 3, 3] ,则 m ? 3 ,故最高点为 P(1, 3) ,
最低点为 Q(3, ? 3) .

???? ??? ? ???? ??? ? OQ ? QP 3 ? ?? 则 OQ ? (3, ? 3) , QP ? (?2, 2 3) ,则 cos ? ? ???? ??? 2 | OQ | ? | QP | 5? 故? ? 6 21 解:(Ⅰ) f ( x ? 4) ? f ( x), f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? ?2 代人得 f (?2 ? 4) ? f (?2) ? ? f (2) ? f (2) ? 0 ????1 分
所以 f (?2) ? f (2) ? f (0) ? 0 ,又? x ? (?2,0),? x ? (0,2), f ( x) ? ? f (? x) ? ?

????12 分

3? x 3x ? ? 9? x ? 1 1? 9x

? 3x x ? (?2,0) ?? x 9 ? 1 ? ? 所以 f ( x) ? ?0 ????4 分 x ? ?2,0,2 ? 3x ? x ? (0,2) x ? ?9 ? 1 3x 3x ? ln 3 ? (1 ? 9 x ) ? 3x ? 9 x ? ln 9 3x ? ln 3 ? (1 ? 9 x ) / f ( x ) ? (Ⅱ) x ? ? 0, 2 ? 时 ? f ( x) ? ? 9x ? 1 (1 ? 9 x ) 2 (1 ? 9 x ) 2

x ? ? 0, 2 ? 时 f / ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 (0,2) 单减. ????8 分
(可以用定义证明) (Ⅲ)由(2)知, x ? ? 0, 2 ? 时 f ( x) ? (

9 1 , ) ,又因为函数为奇函数,所以 x ? (?2,0) 时 82 2

- 10 -

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1 9 f ( x ) ? ( ? ,? ) , x ? ?0,?2,2?, f ( x) ? 0 2 82 1 9 1 9 综上 ? ? (? ,? ) ? ?0?? ( , ) 2 82 2 82

????12 分

22 解:(Ⅰ)依题意,知 f ( x) 的定义域为(0,+∞). 当a ?b ?

????1 分

1 1 2 1 1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) / 时, f ( x) ? ln x ? ax ? x, 则f ( x) ? ? x ? ? ?3 分 2 4 2 x 2 2 2x

令 f / ( x) ? 0 ? x ? 1, x ? ?2 (舍去) 当 0 ? x ? 1 时; f / ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f / ( x) ? 0 所以 f ( x) 的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).????4 分 (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? 则有 k ? F ( x) ?
/

a (0 ? x ? 3) x
????6 分

x0 ? a 1 ? 在(0,3]上恒成立. 2 x0 2

所以 a ? ( ?

1 1 2 1 2 1 x0 ? x0 ) max ,当 x0 ? 1时, ( ? x0 ? x0 ) max ? ,所以 a ? . ????8 分 2 2 2 2

(Ⅲ)当 a ? 0, b ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? x . 由 f ( x) ? m x得 ln x ? x ? mx .又 x ? 0 ,所以 m ? 1 ?

2 要使方程 f ( x) ? m x在区间 1, e 上有唯一实数解.只需 m ? 1 ?

? ?

ln x , x ln x 有唯一实数解. x

令 g ( x) ? 1 ?

ln x 1 ? ln x ( x ? 0) ,∴ g / ( x) ? ( x ? 0) , x x2

由 g / ( x) ? 0 ? 0 ? x ? e; g / ( x) ? 0 ? x ? e . ∴ g ( x) 在区间 ?1, e? 上是增函数,在区间 e, e 上是减函数.
2

? ?

g (1) ? 1, g (e 2 ) ? 1 ?

ln e 2 1 , g ( e) ? 1 ? 2 e e
????12 分

1 1 ? m ? 1 ? 或1 ? m ? 1 ? 2 . e e

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