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数形结合思想在初中数学教学中的运用


数形结合思想在初中数学教学中的运用 关键词:数形结合 数学教学 渗透 解题研究 摘要: 数形结合是数学研究的主要方法之一, 是转化的数学思想的重要体现, 本文从数形结合思想在数学教学中的渗透和数学解题中的运用两个方面进行阐 述。前者体现在有理数、不等式、方程、函数及其图象、概率与统计初步及平面 几何等六个方面的渗透;后者从代数问题几何解和几何问题代数解两个方面的进 行数学解题探究。 数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究对象, 数和形是数学知识 体系中两大基础概念,数和形是相互联系的,也可以相互转化的。把问题的数量 关系与空间形式结合起来考察,或者把数量关系转化成图形的性质问题,或者把 图形的性质转化成数量关系问题, 从而达到将刻画数量关系的数和具体直观的图 形有机结合,将抽象思维与形象思维有机结合。这种处理问题的思想与方法就是 数形结合的思想方法。 数学学习离不开思维,数学探索需要通过思维来实现,在初中数学教学中逐 步渗透数学思想方法,培养思维能力, 形成良好的数学思维习惯,既符合新课程标 准, 也是进行数学素质教育的一个切入点。 数形结合既具有数学学科的鲜明特点, 又是数学研究的常用方法,也是初中数学中的一种重要的思想方法。华罗庚教授 曾精彩地诠释: “数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分 家万事休。 ”数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优,使得“数量关系”与 “空间形式”珠连璧合,相映生辉。 数形结合思想贯穿初中数学教学的始终。 数形结合思想的主要内容体现在以 下几个方面:(1)建立适当的代数模型(主要是方程、不等式或函数模型 )。(2) 建立几何模型(或函数图象)解决有关方程和函数的问题。 (3)与函数有关的代数、 几何综合性问题。(4)以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解 决问题的关键是找准数与形的结合点。如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地 相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果。 下面结合数形结合思想在初中数学教学中运用,从以下两个方面加以阐述, 一方面:数形结合思想在数学教学中的渗透;另一方面:数形结合思想在数学解 题中的运用。 1 数形结合思想在数学教学中的渗透 1.1 有理数内容体现了数形结合思想 数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。 由于对每一个有理 数,数轴上都有惟一确定的点与它对应 ,因此,两个有理数大小的比较,是通过这 两个有理数在数轴上的对应的位置关系进行的(实数的大小比较也是如此),相反 数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我 们学习的是(有理)数,但要时刻牢记它的形(数轴上的点),数轴上的每个点都表 示一个实数,每个实数都能在数轴上找到表示它的点,建立了实数与数轴上的点 的一一对应关系。通过渗透数形结合的思想方法,帮助学生正确理解有理数的性 质及其运算法则。 具体地说,由数轴容易看出,有理数可以分为三类:正数、0 和负数,正数 分布在正半轴,负数分布在负半轴,0 是正数和负数的分界。对于相反数,在数 轴上互为相反数的两个数所表示的点,在原点的两侧,到原点的距离相等。对于
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绝对值,根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离”的直 观意义,求一个数的绝对值的问题就容易理解。关于有理数大小的比较,当数字 较多时,容易遗漏或排错位置,可以先把这些数在数轴上用点一一表示出来,根 据“数轴上表示的数,右边的总比左边的大” ,然后写出结果。 另外,绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度,温度计与其上面的温度, 我们每天走过的路线可以看作是一条直线,教室里每个学生的座位等等 ,我们利 用学生的这一认识基础,把生活中的形与数相结合迁移到数学中来,在教学中进 行数形结合思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。 1.2 不等式内容蕴藏着数形结合思想 在一元一次不等式(组)教学时,为了加深学生对不等式解集的理解,教师要 适时地把不等式的解集在数轴上比较形象直观准确地表示出来,使学生形象地看 到不等式有无限多个解,这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数 形结合思想的具体体现,而在数轴上表示数集,则比在数轴上表示数又前进了一 步。通过数轴的表示,不但可以让学生更加直观地理解代数知识,同时还能够激 发学生对代数的兴趣。 同时在解含有参数的一次函数和反比例函数的解析式构成不等式的解集时, 要通过化简转化成一元二次不等式,再解就比较麻烦了,此时可以采用一次函数 与反比例函数图像的综合比较,就形象直观把解集呈现出来。在二次函数教学中 有时会遇到求含参数的一元二次不等式的解集时, 同时还可以借助二次函数图像 与坐标轴交点来解决,我们能比较直观找到解集。 1.3 方程内容隐含了数形结合思想 列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列方程,要突破这一难 点,就要把应用题中的文字条件准确地转化图形条件,以图代文,以图诱思,这 里隐含着数形结合的思想方法。在利用方程解决行程问题、劳动力调配问题、工 程问题、 浓度问题等教学中,教师有必要渗透数形结合的思想方法,依据题意画出 相应的示意图,才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程,从而突破难点。 在应用 题教学时应尽量将复杂的关系转化为形象的几何图形,变抽象思维为形象思维。 在解二元一次方程组的解时,我们就可以利用平面直角坐标系来解题,它的 解有三种情况,分别是有一个解、无数个解和无解,而这三种解我们就可以在平 面直角坐标系上把它转化成为两条直线的三种位置关系,他们分别是相交、重合 与平行,而方程组的解则转化为两条直线的交点问题。 1.4 函数及其图象内容凸显了数形结合思想 函数及其图象是初中数学的一个重要内容,同时也是一个难点内容,有关函 数的问题让许多学生感到畏惧。由于在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y) 与点 P 一一对应,使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来 表示,而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质,这为数学的研究与 应用提供了很大的帮助。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系,在 解题时要善于将它们“牵手” ,将它们的“形”与对应的“数”结合起来,往往 会使很多棘手问题迎刃而解,且解法简捷、独特。在二次函数教学中绘制函数图 象, 加上计算所显示的数量关系, 变换图象, 观察数值变化, 使学生能得到具体、 生动、直观的感性认识,更好地理解函数图象的开口、对称轴、顶点坐标与函数 解析式中系数的关系。教师在教学中应注意培养学生数形相依的观念,有意识地 培养数形结合思想,形成数形统一意识,提高解题能力。因此,函数及其图象内 容凸显了数形结合的思想方法, 教学时老师要注重这部分数形结合思想方法的渗
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透,将会收到事半功倍的效果。 1.5 概率与统计初步内容融入了数形结合思想 在统计初步中,一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点。研究一组数据 的集中趋势(平均数、众数、中位数),相当于考察这群离散点的分布状态;而研究 一组数据的波动大小(方差、标准差),就相当于考察坐标平面上这群离散点的分 布规律。这里融入了数形结合的思想方法,教学中老师若注意到了这一数形结合 的思想方法,可加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解。 利用统计图表能够很直观形象展示实际问题, 而且通过图表所隐含信息能够很好 解决实际问题。 在解概率问题时,若仅仅凭借一些演绎推理,这种方法既费时又费力,一不 小心就会在推理过程中出现混乱,而如果我们能够借助于一些简单的图形(树状 图) ,则能够清楚明了地解决问题。 1.6 平面几何内容充满了数形结合思想 平面几何研究的是图形的性质及其位置关系,然而平面几何内容中又充满了 数形结合的思想和方法。例如,三角形的内角和定理、勾股定理及其逆定理、平 行线分线段成比例定理、解直角三角形、与圆有关的位置关系、切线长定理、正 多边形的有关计算、三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、扇形的面 积、弓形的面积等内容中,无一不与数量关系紧密相联。用数量表示线段的长度, 用数量表示角的度数,利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。教学时 教师若注重了相应内容中体现出来的数形结合思想,对于学生学好平面几何无疑 是大有脾益的。 对于以图象形式呈现信息的应用性问题,虽然说形有形象、直观的优点,但 在定量方面还必须借助代数的计算,特别是对于较复杂的“形” ,不但要正确地 把图形数字化,而且要留心观察图形的特点,发掘题目中的隐含条件,充分利用 图形的性质或几何意义,把“形”正确表示成“数”的形式,进行分析计算。特 别是随着信息技术的发展,我们学习和使用了几何画板, 才真正实现了有形有色、 有声有变化过程,找到了实现数形结合的桥梁——几何画板。 画板中的测量功能, 能够迅速地测量出图形的长度、角度、面积等,并能进行各种计算,它为学生提 供恰当的形象材料,可以将抽象的数量关系具体化,把无形的解题思路形象化,不 仅有利于学生高效地学好数学知识,更有利于学生学习兴趣的培养、 智力的开发、 能力的提升,使教学收到事半功倍之效。利用图形的运动和显示出来的数据及计 算,能充分有效地把图形与数值结合起来,体现了几何画板在数形结合上的优势。 另外,动态几何问题也是初中几何中实现数形结合思想的重要载体。动态几 何问题就是用运动变化的观点,通过观察、分析、归纳、推理,动中窥静,变中 求静,以静制动,从中探求本质规律和方法,明确图形之间的内在联系。就其运 动对象而言,有点动、线动、面动;就运动形式而言,有平动、旋转、翻折、滚动 等。动态问题常常集几何、代数知识于一体,特别是二次函数与三角形、四边形 的综合,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中提高学生的空间 想象能力,综合分析能力,是近几年中考的热点,常常在中考中以压轴题的形式出 现,起到甄选作用。 2 数形结合在数学解题中的运用 2.1 代数问题几何解 代数问题几何解是给抽象的代数问题以形象化的几何图形,根据图形的直观 性使问题得到巧妙解决。 初中阶段代数问题几何解有解析法和构造几何图形法两
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种方法。 2.1.1 解析法 这种方法是利用数轴或坐标系来解决代数问题。一般来说有关点(指坐标)、 直线与二次曲线的代数问题用解析法都能解决。现举例如下: 例1
x 2 ? 4 x ? 4 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? x ? 1 的最小值是

.

解:原式=|x-2|+|x+2|+|x-1|, 联想绝对值的几何意义,题目即是在数轴上求一点 P,使 P 点到 2、-2、1 三点的距离之和最小,如图 1 不难看出最小值出现在 P 点与 x=1 重合,此时所求最小值为 4. 评注:这是一个与点有关的问题。

p -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
图1
2 2 例2.已知:x ? 0,y ? 0且x+2y=1,求x ? y 的最大值与最小值。

1

2

3

4

5

分析:本题可通过消元,转化为二次函数求解,但较麻烦,然而借助直角坐标 系,将数的问题用形来解决就方便多了。 解:如图2,x ? 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0)的图像表示线段AB,
而x 2 ? y 2就是线段上的点( x, y )到原点的距离 x 2 ? y 2 的平方,易知线段AB到原点的距离最大为OA=1,距离 最小为OQ= 5 . 5

图2 评注:代数问题中涉及直线、曲线等问题可利用直角坐标系,通过点的坐标, 架起数与形的桥梁, 从而将问题简便解决。 2.1.2 构造几何图形法 这种数形结合的方法是根据代数问题的特征,以及代数问题与图形间的内在 联系构造出相应的几何图形,研究图形的性质,从而找出问题的解法,初中阶段常 见的构造图形有直角三角形、矩形、圆等。一般地,与勾股定理相关的代数问题 可构造直角三角形来解决,与矩形相关的代数问题可构造矩形来解决。现举例如 下:

4

例3 已知:m、n均为正数,且m+n=12,求 m 2 ? 9 + n 2 ? 4 的最小值。 解:如图3,作线段AB=3,线段BC ? AB,且BC=12, 在线段BC上截取BE=m,CE=n,过C作DC ? CB,且DC=2, 由勾股定理:AE= m 2 ? 9 ,ED= n 2 ? 4,原题即求AE+DE 的最小值。 当点E在线段AD上时,AE+ED有最小值为线段AD的长。过点D作
DG ? AB交AB的延长线于点G,则四边形BCDG是矩形,在直角三角形 AGD中AD= AG 2 ? GD 2 ? 52 ? 122 ? 13. 即 m2 ? 9 + n 2 ? 4的最小值为13。 评注:此题由式子特点联想勾股定理,构造图形解决问题。

A 3 B m E n C 2 G 图3 D
图4

例4



1 1 1 1 ? ? ? .... ? 的值。 2 4 8 2n 如图4:在边长为1的正方形纸板上,依次贴上 计算

1 1 1 1 , ,,..., n 的长方形彩色纸片(n为大于 2 4 8 2 1的整数),则贴纸面积就等于原正方形面积减去未 面积为 1 1 1 1 1 ? ? ? .... ? n ? 1 ? n . 2 4 8 2 2 想一想:还可以怎样构造图形解决这个问题。 2.2 几何问题代数解 这种方法是根据形与数的内在联系,对形的问题进行数的描述,把形的问题 转化为数的问题,再有效地利用代数工具[代数式的恒等变形、方程(组)、函数、 不等式、行列式]求得数的结果,通过对数的结果进行几何解释,得到形的结论。 几何问题代数解的方法有:方程法,函数法,向量法,复数法。 但初中阶段仅涉及前 两种方法。 2.2.1 方程法 这种数形结合的方法是把对几何问题认识归结为对方程或方程组的认识, 通过对方程(组)的解决提供有关问题的思考方法。一般地,与线段长度、面积等 有关问题可用方程法。 贴纸图的面积即
5

例5 已知三角形ABC的三边a,b,c,满足 ?b ? c ? 8 ? 2 ?bc ? a ? 12a ? 52 试确定三角形ABC的形状(按边分类)。 解:构造b,c为根的一元二次方程 x 2 ? 8 x ? (a 2 ? 12a ? 52) ? 0 由于a,b,c为实数, 故有b 2 ? 4ac ? (?8) 2 ? 4(a 2 ? 12a ? 52) ? ?4(a ? 6) 2 ? 0 从而得到a ? 6, 代入一元二次可解得, b ? c ? 4(二重根x1 ? x2 ? 4) 故三角形ABC为等腰三角形. 2.1.2 函数法 函数法的具体思维过程是:建立或构造研究对象的辅助函数,把所要研究的 几何问题转化为函数的形式,利用适当的方法研究函数的性质(如图象极值、单 调性等),得到相应的结论。 例6 在直角三角形ABC的内部作一个矩形ADEF,其中AF和AD分 别在两直角边上,且AB=30m,AC=40m. (1)如果设矩形的一边AD=xm,那么AF边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为y m 2 ,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 解:(1) 四边形ADEF 是矩形

? EF / / DA, EF ? DA, ? EF / / CA EF BF ? ? CA BA 设DA ? xm x 30 ? AF ? ? 40 30 3 ? AF ? (30 ? x)m 4 (2)由(1)知: S矩形ADEF ? AD ? AF

B

F

E

3 ? y ? x(30 ? x) 4 3 A C ? ? ( x ? 20) 2 ? 300 D 4 图5 3 ? ?0 4 ?当x ? 20时,ymax ? 300m 2 总之,数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽
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象思维与形象思维结合起来,发挥“数”与“形”两种信息的转换及其优势互补 与整合,中学阶段数形结合思想在解决问题时确实起到了举足轻重的作用。数形 结合不仅能使概念形化、解题过程具体化、计算方法简单化、学生学习主动化, 而且能帮助学生理解各种公式,发展学生的空间观念,更好地展现知识的建构过 程。 由此可见数形结合思想在数学中有着重要的地位,它是数学思想方法的核心。 我们每个教师在平时的教学中都应有机地渗透数形结合思想,耐心细致引导学 生,学会运用数形结合思想,要不断研究渗透的策略。 同时数形结合思想也是数学中重要的思想方法,把握、运用好数形结合,能 激发学生兴趣,提高学生的数学思维能力和数学素养,促进学生情感、态度、价 值观的发展,还可以提高课堂教学效果,有利于数学知识的应用与推广。 参 考 文 献 张桂峰.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].教学研究,2003. 陆建雄.数形结合在初中数学解题中的应用[J].池州师专学报,2004, 18 (3) . 罗 洪 信 . 在 初 中 数 学 中 蕴 涵 着 数 形 结 合 思 想 [J]. 桂 林 市 教 育 学 院 学 报,2001,15(2). 赵国兴.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].教学实践,2012,6. 黄忠顺. “数形结合思想” 在初中数学教学中的应用[J].学科教学实践,2006, 5:45. 陈士统. 浅析数形结合思想在初中数学教学中的应用 [J].数学教学研究, 2011,6. 姚军林.新课标下浅析初中数学思想和数学方法的教学[J].甘肃联合大学学 报(自然科学版),2010,24. 李明振.数学方法与解题研究[M].上海:上海科技教育出版社,2003. 马复,凌晓枚.新版课程标准解析与教学指导——初中数学[M].北京:北京 师范大学出版社,2012.

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