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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课时作业1.3.7正弦定理与余弦定理 Word版含答案]


一、选择题 1.在△ABC 中,若 2cos BsinA =sinC,则△ABC 一定是( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:方法一:由已知结合正、余弦定理得 2 2 2 a + c -b a c 2· · = ,整理得 a2 =b2 ,∴a=b, 2ac 2R 2R ∴△ABC 一定是等腰三角形. 方法二:∵sinC=sin[π-(A +B )]=sin(A +B )=sinA cos B +cosA sinB , ∴由已知得 sinA cos B -cos AsinB =0, 即 sin(A -B)=0,又 A -B ∈(-π,π), ∴A -B =0,即 A =B. ∴△ABC 为等腰三角形. 答案:B 2.满足 A =45° ,c= 6,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 am 的值为( ) A.4 B.2 C.1 D.不确定 2 6× a c csinA 2 3 解析:由正弦定理 = ,得 sinC= = = . sinA sinC a 2 2 ∵c>a,∴C>A =45° ,∴C=60° 或 120° , ∴满足条件的三角形有 2 个,即 m=2. ∴am =4. 答案:A a b c 3.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cosA cosB cos C A.等腰三角形 B.等边三角形 C.顶角为 120° 的等腰三角形 D.以上均不正确 解析:由已知条件及正弦定理,得 tanA =tanB =tanC, 又 0<A <π,0<B <π,0<C<π,故 A =B =C, 所以△ABC 为等边三角形,故答案为 B. 答案:B sinB 4.在△ABC 中,A =120° ,AB =5,BC=7,则 的值为( ) sinC 8 5 5 3 A. B. C. D. 5 8 3 5 解析:由余弦定理得 BC2 =AB 2 +AC2 -2AB· AC· cos A ,即 72 =52 +AC2 -10AC· cos120° , sinB AC 3 ∴AC=3. 由正弦定理得 = = . sinC AB 5 答案:D 1 2 2 2 5.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= (b +c -a ),则 A 等于( ) 4 A.45° B.30° C.120° D.15° 1 1 解析:由 S△ ABC= (b2 +c2 -a2 )= bcsinA 4 2 2 2 2 b + c -a 得 sinA = =cos A ,∴A =45° . 2bc 答案:A 6.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A =60° ,则 BC 边的长是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

1 1 解析:依题意及面积公式 S= bcsinA ,得 10 3= bcsin60° ,得 bc=40. 又周长为 20, 2 2 故 a+b+ c=20,b +c=20 -a,由余弦定理得:a2 =b2 +c2 -2bccos A =b2 +c2 -2bccos60° =b2 +c2 -bc=(b+c)2 -3bc,故 a2 =(20-a)2 -120,解得 a=7. 故答案为 C. 答案:C 二、填空题 7.在△ABC 中,a2 -c2 +b2 =ab,则角 C=__________. 2 2 2 a +b -c ab 1 2 2 2 解析:∵a -c +b =ab,∴cos C= = = . 2ab 2ab 2 又∵0° <C<180° ,∴C=60° . 答案:60° π 3 8.在△ABC 中,BC=2,B = ,若△ABC 的面积为 ,则 tanC 为__________. 3 2 1 3 解 析 : 由 S △ ABC = BC· BAsinB = 得 BA = 1 , 由余 弦定 理得 AC2 = AB2 + BC2 - 2 2 2AB ×BCcosB , ∴AC= 3,∴△ABC 为直角三角形,其中 A 为直角, AB 3 ∴tanC= = . AC 3 3 答案: 3 1 2 2 9.在△ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= (a +b 4 2 -c ),则 C=__________. 1 1 1 解析:由 S= (a2 +b2 -c2 )得 absinC= · 2abcos C. 4 2 4 π ∴tanC=1. ∴C= . 4 π 答案: 4 三、解答题 10.在△ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 a2 =b(b+c). (1)求证:A =2B ; (2)若 a= 3b,判断△ABC 的形状. 2 2 2 解析:(1)证明:因为 a =b(b+c),即 a =b +bc, 所以在△ABC 中,由余弦定理可得, 2 2 2 2 a +c -b c +bc b+c a2 a sinA cosB = = = = = = , 2ac 2ac 2a 2ab 2b 2sinB 所以 sinA =sin2B ,故 A =2B. a (2)因为 a= 3b,所以 = 3, b 由 a2 =b(b+c)可得 c=2b, a2 +c2 -b2 3b2 +4b2 -b2 3 cosB = = = 2 2ac 2 4 3b 所以 B =30° ,A =2B =60° ,C=90° . 所以△ABC 为直角三角形. 11.在△ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a,b,c,tanC=3 7. (1)求 cos C; → → 5 (2)若CB · CA = ,且 a+b=9,求 c. 2

sinC =3 7, cos C 1 又∵sin2 C+cos 2 C=1 解得 cos C=± . 8 1 ∵tanC>0,∴C 是锐角.∴cos C= . 8 5 → → 5 (2)∵CB · CA = ,∴abcos C= ,∴ab=20. 2 2 2 2 2 2 又∵a+b=9,∴a +2ab+b =81. ∴a +b =41. 2 2 2 ∴c =a +b -2abcos C=36. ∴c=6. 解析:(1)∵tanC=3 7,∴ C 12.在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cos C=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; 2 2 (2)若 a +b =4(a+b)-8,求边 c 的值. C 解析:(1)由已知得 sinC+sin =1-cos C, 2 C? C ? C ∴sin 2cos +1 =2sin2 . ? 2? 2 2 C C C 由 sin ≠0,得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 ∴sin -cos = . 2 2 2 1 3 两边平方,得 1-sinC= ,∴sinC= . 4 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0,得 < < ,即 <C<π,则由 sinC= 得 cos C=- . 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2 +b2 =4(a+b)-8 得(a-2)2 +(b-2)2 =0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2 =a2 +b2 -2bccos C=8+2 7, 所以 c= 7+1.


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