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1.2.2函数的表示法教案


§1.2.2 函数的表示法 一、教学目标:
1. 知识与技能 (1)明确函数的三种表示方法; (2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用. 2. 过程与方法 通过引导学生回答问题,培养学生的自主学习能力;通过画图像,培养学生的动手操 作能力; 3. 情感态度与价值观 通过一些实际生活应用题, 让学生感受到学习函数表示的必要性, 并体会数学源于生活用于 生活的价值;通过函数的解析式与图像的结合,渗透数形结合思想方法。

二、教学重难点:
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 难点:根据题目的已知条件,写出函数的解析式并画出图像

三、教学过程:
(一) 、复习引入: 1.函数的定义,函数的三要素(函数相同的条件) . 集合 A

?? ? ? ? ?? ? ? ?
对应关系 f 对应关系 f

对应关系 f

集合 B

当对应关系符合下面的条件之一时,则称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (1)1 1(集合 A 和 B 一一对应) 1(集合 A 多个对 B 一个)
对应关系 f

(2)2 或者更多 误区:1

?? ? ? ?

?? ? ? ?

2 或者更多 ×

构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 函数相同: 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字 母无关。 2.函数图象的基本方法画法(列表、描点、作图.) 本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法 (二) 、讲解新课: (1)解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达 式,简称解析式。 说明:①解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值, 便于用解析式来研究函数的性质; ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 以下是我国 1992 年-1998 年的国内生产总值(单位:亿元)

第 1 页 共 7 页

年份 生产总值

1992 26651.9

1993 34560.5

1994 4670.0

1995 57494.9

1996 66850.5

1997 73142.7

1998 76967.1

根据我们学习的函数的概念, 我们知道年份与生产总值之间构成了函数。 而我们仅仅是通过 一个图表就知道生产总值与年份之间的关系,像这种函数的表示法,我们称为列表法。 (2)列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如:数学用表中的平方表、平方 根表、三角函数表,以及银行里常用的“利息表” 。 说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 在初中我们还学习了一次函数,二次函数,反比例函数的图像。

像这种用图像来表示函数的方法叫做图像法。 (3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。例如:气象台应用自动记录器,描绘 温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。 (见课本 P53 页图 2-2 我国人口出生变化曲线) 说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。 (三) 、例题讲解 例 1、例 3 某种笔记本的单价是 5 元,买 x ( x ? ?1, 2, 3, 4, 5? ) 个笔记本需要 y 元,试用三种 表示法表示函数 y ? f ( x ) . (先学生独自做,老师做个别辅导) 首先此函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},那么由题意可知用解析法可将函数 y ? f ( x ) 表示为 y=5x, x ? ?1, 2, 3, 4, 5? 。通过计算,用列表法可将函数 y ? f ( x ) 表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

在直角坐标系上描出各点可得用图像法将函数 y ? f ( x ) 表示为

第 2 页 共 7 页

注意: ①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域; ③图象法:是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 例 2、国内投寄信函(外埠) ,邮资按下列规则计算: 1、信函质量不超过 100g 时,每 20g 付邮资 80 分,即信函质量不超过 20g 付邮资 80 分,信函质量超过 20g,但不超过 40g 付邮资 160 分,依次类推; 2、信函质量大于 100g 且不超过 200g 时,付邮资(A+200)分(A 为质量等于 100g 的 信函的邮资) ,信函质量超过 200g,但不超过 300g 付邮资(A+400)分,依此类推. 设一封 x g(0<x ? 200)的信函应付邮资为 y(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 200 ,函数 的解析式为
? 8 0, x ? (0, 2 0 ], ? 1 6 0, x ? ( 2 0, 4 0 ], ? ? 2 4 0, x ? ( 4 0, 6 0 ], y ? ? ? 3 2 0, x ? (6 0, 8 0 ], ? 4 0 0, x ? (8 0,1 0 0 ] ? ? 6 0 0, x ? (1 0 0, 2 0 0 ].

它的图象是 6 条线段(不包括左端点) ,都平行于 x 轴,如图所示. 新概念教学:在上例中,函数对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则也不同,这样的 函数通常称为分段函数。 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数. 例 3、作出分段函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的图像 解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即: o x y

第 3 页 共 7 页

? ? ( 2 x ? 1) ? 3 y ? x ?1 ? x ? 2 =? ? 2x ?1 ?

x ? ?2 ?2 ? x ?1 x ?1

作出图像如右图 作函数 y ? 2 x ? 4 x ? 3, (0 ? x ? 3) 的图象.
2

解:∵

0? x?3
2

∴ 这个函数的图象是抛物线 y ? 2 x ? 4 x ? 3 介于 0 ? x ? 3 之间的一段弧(如图). (四) 、课堂练习:
? x-1 -2 ? 1、 设 f ? x ? = ? 1 ? 2 ? 1+x x ?1 ? ? 1 ?? , 则 f ?f ? ? ? 等 于 x >1 ? ? 2 ??

A)

1 2

B)

4 13

C) -

9 5

D)

25 41

2、一个面积为 100cm2 的等腰梯形,上底长为 xcm,下底长为上底长的 3 倍,则把它的高表 示成 x 的函数为
A) y=50x x>0 C) y= 50 x x>0 B) y=100x x>0 D) y= 100 x x>0

?2x+1 6、 已 知 函 数 f ? x ? = ? ?-2x+1

x? 0 x<0

, 则 f ?1 ? = _ _ _

例 1:1)设 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,求 f(x)
解 1)? f ? x ? 是 一 次 函 数 , 设 f ? x ? =kx+b
f ?f ? x ?? =k ? kx+b ? +b=4x+3 ? ?

k =4,kb+b=3

2

k=2,b=1 或 k=-2,b=-3 f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3

(六) 、课后作业: 1、作出函数 y ? | x ? 2 x ? 3 | 的函数图像
2

解: y ? ?

?x2 ? 2x ? 3 ? ? ( x ? 2 x ? 3)
2
2

x ? 2x ? 3 ? 0
2

x ? 2x ? 3 ? 0
2

6

5

4

步骤: (1)作出函数 y= x ?2x?3 的图象 (2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上 翻折(上方部分不变) ,即得 y=| x ?2x?3|的图象
2
王新敞
奎屯 新疆

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

8

-1

-2

-3

-4

第 4 页 共 7 页

2)设 f

?

x +1 =x+2 x ,求 f ?x+1?

?

解 2)令 t= x +1, x =t-1,f
2 2

?

x +1 =f ?t ? = ?t-1 ? +2t

?

2

f(x+1)=x +2(x+1)=x +2x+2
课后练习与提高 1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x)(实线表示),另一种 是平均价格曲线 y=g(x)(虚线表示)〔如 f(2)=3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元;g(2)=3 表示两个小时内的平均价格为 3 元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是 ( )

2.函数 f(x+1)为偶函数,且 x<1 时,f(x)=x2+1,则 x>1 时,f(x)的解析式为( ) 2 A.f(x)=x -4x+4 B.f(x)=x2-4x+5 C.f(x)=x2-4x-5 D.f(x)=x2+4x+5 3.函数 f ( x ) ?
x |x| · ( a ? 1) 的图象的大致形状是( a
x

)

4 .如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

5.用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户 通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_________. 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式.

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解答: 1 解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为 C. 答案:C 2 解析:因为 f(x+1)为偶函数, 所以 f(-x+1)=f(x+1),即 f(x)=f(2-x). 当 x>1 时,2-x<1,此时,f(2-x)=(2-x)2+1,即 f(x)=x2-4x+5. 答案:B
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

3

?a x , x ? 0, ? a ( a ? 1) ? ? 解析:该函数为一个分段函数,即为 f ( x ) ? 当 x>0 时函数 |x| ?? a x , x ? 0, ? x
x

f(x)=ax 的图象单调递增;当 x<0 时,函数 f( x)=-ax 的图象单调递减.故选 B. 答案:B 4 解析:函数在[0,π]上的解析式为
d ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? cos l ?
2 2

2 ? 2 cos l ?

4 sin

2

l 2

? 2 sin

l 2

.

在[π,2π]上的解析式为 d ?

2 ? 2 cos( 2 ? ? l ) ? 2 sin l 2

l 2

,

故函数 d=f(l)的解析式为 d ? 2 sin 答案:C

,l∈[0,2π].

5 解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为 xm,则宽为( 3 ? ∴ S ? x (3 ?
1 2 x) ? ? 1 2 9 2 x ? 3 x ( 0 ? x ? 6 ),
2

1 2

x )m,

解得当 x=3 时 , S max ? ∴长为 3m,宽为 1.5m. 答案:3m,1.5m

.

第 6 页 共 7 页

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