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高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形


数学讲义之三角函数、解三角形
【主干内容】 1. 弧长公式: l

=| α | ?r .

扇形面积公式: s扇形 =

1 1 lr = |α | ? r 2 2 2

2. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) = sinx
f (x) = cosx f (x) = tanx f (x) = cotx f (x) = secx f (x) = cscx

{x | x ∈ R} {x | x ∈ R}
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z } 1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }

定义域

3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y = sin x y = cos x

y = tan x
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ k π + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

y = A sin (ωx + ? )

(A、 ω >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,+1]

R
[?1,+1]

R
π

[? A, A]






ω

奇函数

偶函数

奇函数

[?

π
2

+ 2kπ ,

[(2k ? 1)π , π ? π ? ; ? ? + kπ , + kπ ? 2 2 2kπ ] ? ?

当 ? ≠ 0, 非奇非偶 当 ? = 0, 奇函数
? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ? ? ? 2 ( A), ? ω ? ? 1 + π ?? ? 2 (? A)? ω ?

?

π

??

π
2

+ 2kπ ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2kπ , (2k + 1)π ] 上为减函 数 (k∈Z )

上 为 增 函 数 (k∈Z )

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

上为增函数; π ? ? 2kπ + ? ?

上为减函 数( k ∈ Z )

? ? 2 ( A), ? ? ω ? ? ? ? 3 ? ? 2kπ + 2 π ? ? (? A)? ? ω ? ?

上 为 减 函 数 (k∈Z )
1

4. 同角三角函数的基本关系式: 5. 诱导公式: 把

sin α = tan α cosα

sin 2 α + cos 2 α = 1

kπ ± α的三角函数化为α的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 。 重要公式: cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β tan(α + β ) = tan(α ? β ) = tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

sin α =

2 tan 1 + tan

α
2
2

α
2

cos α =

1 ? tan 2 1 + tan
2

α α
2 2

tan α =

2 tan

α
2

1 ? tan 2

α
2

6.三角函数图象的作法:描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) , 三点二线作图法(正切曲线). 【注意!! !】本专题主要思想方法 1.等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题; 2.数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; 3.分类讨论。

2

【题型分类】 题型一 题型一:三角运算,要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。 〖例 1〗 (10 全国卷Ⅰ文) cos 300° = A. ?

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2 1 2

C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300° = cos ( 360° ? 60° ) = cos 60° = 〖例 2〗 (10 全国卷Ⅱ文)已知 sin α = A. ?

2 ,则 cos( x ? 2α ) = 3
D.

5 3

B. ?

1 9

C.

1 9

5 3
1 9

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3, ∴
c o s ( π ? 2 α ) = ? c o s 2 α = ? (1 ? 2 s in 2 α ) = ?
o

〖例 3〗 (10 福建文)计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45 =
o

2 ,故选 B. 2
2

〖例 4〗 (10 浙江文)函数 f ( x ) = sin (2 x ?

π
4

) 的最小正周期是



解析:对解析式进行降幂扩角,转化为 f ( x ) = ? 最小正周期为

1 π? 1 ? cos? 4 x ? ? + ,可知其 2 2? 2 ?

π
2

,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题。

题型二 题型二:三角函数的图象:三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。 〖例 1〗 (10 重庆文)下列函数中,周期为 π ,且在 [ A. y = sin(2 x +

π π

π
2

, ] 上为减函数的是 4 2

)

B. y = cos(2 x +

π

2

)

3

C. y = sin( x + 【答案】A

π
2

)

D. y = cos( x +

π
2

)

〖例 2〗 (09 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x ) = 1 + a sin ax 的图象不可能 ... 是( )D 世纪教育网

〖例 3〗为得到函数 y = cos ? 2 x +

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y = sin 2 x 的图象 3? 5π 个长度单位学 12 5π D.向右平移 个长度单位学 6
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

分析:先统一函数名称,在根据平移的法则解决.学科网 解析:函数 y = cos ? 2x + ? = sin ? 2x +

? ?

π? 3?

? ?

π π?

5π ? ? ? 5π ? + ? = sin ? 2x + ? = sin 2 ? x + ? , 3 2? 6? ? ? 12 ? 5π 个长度单位,选择答案 A.学科 12

故要将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

〖例 4〗 (10 江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间, 各自作出三个函数 y = sin 2 x ,

y = sin( x +

π

), y = sin( x ? ) 6 3 的图像如下,

π

结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是

4

【答案】C 【命题意图】考查三角函数的图像与性质. 【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 C。

〖例 5〗 (09 重庆文)设函数 f ( x) = (sin ω x + cos ω x) 2 + 2 cos 2 ω x(ω > 0) 的 最小正周期为

(Ⅰ)求 ω 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y = g ( x ) 的图像是由 y = f ( x) 的图像向右平移 到,求 y = g ( x ) 的单调增区间. 解: (Ⅰ)

2π . 3

π
2

个单位长度得

f ( x) = (sin ω x + cos ω x)2 + 2 cos 2 ω x = sin 2 ω x + cos 2 ω x + sin 2ω x + 1 + 2 cos 2ω x

= sin 2ω x + cos 2ω x + 2 = 2 sin(2ω x + ) + 2 4
依题意得

π

2π 2π 3 = ,故 ω 的最小正周期为 . 2ω 3 2

5

(Ⅱ)依题意得:

π π? 5π ? g ( x) = 2 sin ?3( x ? ) + ? + 2 = 2 sin(3 x ? ) + 2 2 4? 4 ?
由 2 kπ ?

5π π ≤ 2k π + (k ∈ Z ) 2 4 2 2 π 2 7π 解得 kπ + ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z ) \ 3 4 3 12 ≤ 3x ?
故 y = g ( x ) 的单调增区间为: [ kπ +

π

2 3

π 2

7π , kπ + ] (k ∈ Z ) 4 3 12

〖例 6〗 (11 浙江文)已知函数 f ( x ) = A sin (

π
3

x +?) , x ∈ R , A > 0 ,

0 <? <

π
2

. y = f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点

和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ∠PRQ =

2π ,求 A 的值. 3

6

题型三 题型三:三角函数的最值:最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法 是利用正余弦函数的有界性, 通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。 〖例 1〗若 x 是三角形的最小内角,则函数 y = sin x + cos x + sin x cos x 的最 大值是( A. ?1 解析:由 0 < x ≤ 得 1< t ≤ )学科网 B. 2 C. ?

1 + 2 2
π
4

D.

1 + 2 2 学科
π
4 ≤ 7 π, 12

π
3

,令 t = sin x + cos x = 2 sin( x +

), 而

π
4

< x+

2 . 又 t 2 = 1 + 2sin x cos x , 得 sin x cos x =

t 2 ?1 , 得 2

y =t+

t 2 ?1 1 ( 2) 2 ? 1 1 = (t + 1)2 ? 1 ,有 1 + 0 < y ≤ 2 + = 2 + .∴ D. 2 2 2 2

点评:涉及到 sin x ± cos x 与 sin x cos x 的问题时,通常用换元解决.学科网 〖例 2〗 (09 上海文)函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + sin 2 x 的最小值是 。

解析: 2 cos2 x + sin 2 x = 1 + cos 2x + sin 2x = 1 + 2 sin(2 x + ) , y min = 1 ? 2 ∴ 4 〖例 3〗(10 江西文)函数 y = sin 2 x + sin x ? 1 的值域为 A. [ ?1,1] 〖例 4〗 已知函数 B. ? ?

π

? 5 ? , ?1? ? 4 ?

C. ? ?

? 5 ? ,1? ? 4 ?

D. ? ?1,

? ?

5 ? , 4 ? ?
6

f (x) = 2a sin x cos x + 2b cos2 x , f (0) = 8, f ( π ) = 12 .学 且

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时 x 的值.学科网 分析:待定系数求 a , b ;然后用倍角公式和降幂公式转化问题.学科网 解析:函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = a sin 2 x + b cos 2 x + b . (1)由 f (0) = 8 , f ( ) = 12 可得 学科网

π

6

π 3 3 a + b = 12 ,所以 b = 4 , a = 4 3 .学 f (0) = 2b = 8 , f ( ) = 6 2 2
7

(2) f ( x ) = 4 3 sin 2 x + 4 cos 2 x + 4 = 8 sin(2 x +

π
6

) + 4 ,故当

2x +

π
6

= 2 kπ +

π
2

即 x = kπ +

π
6

函数 f ( x ) 取得最大值 12. (k ∈ Z ) 时,

点评: a sin θ + b cos θ = 题型四:正余弦定理的应用 题型四

a 2 + b 2 sin (θ + ? )

〖 例 1 〗 11 浙 江 文 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B , C 所 对 的 边 分 a , b, c . 若 (

a cos A = b sin B ,则 sin A cos A + cos 2 B =
A.

〖例 2〗 (10 上海文) 若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C = 5:11:13 则△ ABC A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. C.一定是钝角三角形. 解析:由 sin A : sin B : sin C = 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

5 2 + 112 ? 13 2 由余弦定理得 cos c = < 0 ,所以角 C 为钝角 2 × 5 × 11
〖例 3〗 (2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满

足 cos

r A 2 5 uuu uuur = , AB ? AC = 3 . 2 5
(II)若 c = 1 ,求 a 的值.
2

(I)求 ?ABC 的面积; 解 析 : Ⅰ ) cos A = 2 cos (

A 2 5 2 3 ?1 = 2 × ( ) ?1 = 2 5 5

w.w

又 A ∈ (0, π ) ,

sin A = 1 ? cos 2 A =

4 3 , 而 AB. AC = AB . AC . cos A = bc = 3 , 所 以 5 5

1 1 4 bc = 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A = × 5 × = 2 2 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc = 5 ,而 c = 1 ,所以 b = 5 所以 a =

b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 25 + 1 ? 2 × 3 = 2 5

〖例 4〗 (2011 届稽阳联考)如右图,在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点,
8

A

∠BAD = α ,   ∠CAD = β , cos α =
(1)求 ∠BAC 的大小; (2)当 D为BC中点 时,求

2 5 3 10 , cos β = . 5 10

AC 的值. AD
2

B

D

C

解: (1) 由已知, sin α = 1 ? cos α =

5 …………………1 分 5 10 …………………2 分 10

sin β = 1 ? cos 2 β =

cos ∠BAC = cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β …………3 分
=

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? = …………………5 分 5 10 5 10 2

∵ ∠BAC ∈ (0, π ) ∴ ∠BAC = (2) ?ABD中,

π
4

.………………………… 7 分

BD AD = (1)…………………9 分 sin α sin B

BC AC ?ABC中, = (2)………………11 分 sin(α + β ) sin B
Q BD =

1 BC 2 14 分 (2) AC BC sin α 2 sin α 2 5 2 10 ∴ = = × = = × 2= (1) AD sin(α + β ) BD sin(α + β ) 5 5
〖例 5〗 (2010 山东文)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=

2, b = 2 , sin B + cos B = 2 ,则角 A 的大小为

.

【解析】由 sin B + cos B =

2 得 1 + 2 sin B cos B = 2 ,即 sin 2B = 1 ,因为

0<B<π ,所以 B=45o ,又因为 a = 2 , b = 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦
定理得:

1 2 2 o , 解得 sin A = , a <b , 又 所以 A<B=45o , 所以 A=30 。 = o sin A sin 45 2

9

【好题速递】 1.(2010 年 高 考 宁 夏 卷 文 科 16) 在

ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 ,

BC = 3BD , AD = 2 , ∠ADB = 135ο .若 AC = 2 AB ,则 BD=_____
【答案】 2 + 5 2.( 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 14)已知 α 为第二象限的角, sin a =

tan 2α = . 24 ? 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关 7
系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【 解 析 】 因 为 α 为 第 二 象 限 的 角 , 又 sin α =

3 ,则 5

3 4 , 所 以 cos α = ? , 5 5 sin α 3 2 tan α 24 tan α = = ? ,所 tan(2α ) = =? 2 cos α 4 1 ? tan α 7

3. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 13) 已知α是第二象限的角,tanα=1/2, cos 则 α=__________

2 5 5 【解析】 ? tan α = ?

:本题考查了同角三角函数的基础知识



1 2 5 cos α = ? 2 ,∴ 5

10


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