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2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)word版(解析版)

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试卷类型:B

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,

, xn 的方差 s 2 = [( x1 - x )2 + ( x2 - x )2 +

1 n

+ ( xn - x )2 ] ,其中 x 表示样本均值.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M = {x | ( x + 4)( x +1) = 0} , N = {x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ,则 M A. ? [解析]: B. ??1, ?4? C. ?0?

N=
D. ?1, 4?

M ? {?1, ?4}, N ? {1, 4}. ? M

N ? ? ,故选(A)

2.若复数 z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 ),则 z = A.3-2i B.3+2i [解析]: z ? i(3 ? 2i) ? 2 ? 3i, ∴ z ? 2 ? 3i 故选(D) 3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? x ? e
x

C.2+3i

D.2-3i

B. y ? x ?

1 x

C. y ? 2 ?
x

1 2x

D. y ? 1 ? x 2

[解析]: y ? 1 ? x 2 是偶函数; y ? x ?

1 1 x x 是奇函数; y ? 2 ? x 是偶函数; y ? x ? e 既不是偶 x 2

函数又不是奇函数。故选(A) 4.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球。从袋中任取 2 个球,所 取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为

1 惠来县 方文湃

A.1 [解析]:所求的概率 p ?

B.

11 21

C.

10 21

D.

5 21

1 1 C10 C5 10 选(C) ? 2 C15 21

5.平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是 A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 [解析]:设所求切线方程为 2 x ? y ? m ? 0 . B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 则

|m| 22 ? 12

? 5

解得 m ? ?5

选(C)

?4 x ? 5 y ? 8 ? 6.若变量 x,y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?0 ? y ? 2 ?
A.

31 5

B. 6

C.

23 5

D. 4

?4 x ? 5 y ? 8 ? [解析]:1°画出约束条件 ?1 ? x ? 3 的可行域 ?0 ? y ? 2 ?
2°确定最优解:令 x ? 1 代人 4 x ? 5 y ? 8 ,得 y ?

4 5

?x ? 1 8 23 ? 3°代人求值:把 ? , 4 代人得 zmin ? 3 x ? 2 y ? 3 ? ? 5 5 y ? ? 5 ?
故选(C) 7.已知双曲线 C:

5 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率 e= ,且其右焦点 F2( 5 , 0 ),则双曲线 C 的方程为 2 4 a b
B.

A.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

?c ? 5 x2 y 2 ?c ? 5 ? 2 2 ? ?1 [解析]:由 ? ∴ ∴所求双曲线 C 的方程为 b ? c ? a ? 3 ? c 5 ? 16 9 a ? 4 e ? ? ? ? a 4 ?
故选(B) 8.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 A.大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4
2 惠来县 方文湃

D. 至多等于 3

[解析]:平面中有三个不同的点两两距离相等,为正三角形的三个顶点;空间中有四个不同的点两两 距离相等,为正四面体的四个顶点;故选(C) 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.在 ( x ? 1) 4 的展开式中,x 的系数为

6

。 10 。 1 。

10.在等差数列{ an }中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 11.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a = 3 ,sinB=

1 π ,C= ,则 b = 2 6

12.某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写 了 1560 条毕业留言。(用数字做答) 13.已知随机变量 X 服从二项分布 B ( n, p ) .若 E ( X ) = 30 , D( X ) = 20 ,则 p = (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

1 3

.

? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? )
A( 2 2 ,

π 4

2 ,点 A 的极坐标为
C B

7 π ),则点 A 到直线 l 的距离为 4

5 2 2



15. (几何证明选讲选作题) 如图 1, 已知 AB 是圆 O 的直径, AB=4, EC 是圆 O 的切线,切点为 C,BC=1,过圆心 O 做 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P,则 OD= 8 。 9. 解析: ( x ? 1)4 的展开式第 r ? 1 项 为 Tr ?1 ? C ( x )
r 4 4? r

D E A 图1

P

O

(?1) ? (?1) C x
r r r 4

4? r 2

4?r ? 1 ,得 r ? 2 . 令 2

∴ T3 ? (?1) C x
2 2 4

4?2 2

? 6x .

∴ ( x ? 1)4 的展开式中 x 的系数为 6. ∴ a2 ? a8 ? 2a5 ? 10

10. 解析:由 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 5a5 ? 25 得 a5 ? 5 11. 解析:由 sin B ?

1 ,得 2

B?

?
6

或B ?

5? 2? (舍去) ∴ A ? 6 3

a b ? 由 ,得 sin A sin B

1 sin B b? ?a ? 2 ? 3 ?1 sin A 3 2

2 12. 解析: A40 ? 40 ? 39 ? 1560

13. 解析:由 ?

? E ( x) ? np ? 30 2 得 1? p ? 3 ? D( x) ? np(1 ? p) ? 20

∴p?

1 3

3 惠来县 方文湃

14. 解析:1°化极坐标为直角坐标:由 2 ? sin(? ? 由 A(2 2,

?
4

) ? 2 得直线 l 的直角坐标方程为 y ? x ? 1

7? ) 得 A 的直角坐标 A(2, ?2) 4

2°求值:点 A 到直线 l 的距离为 d ? 15. 解析:连结 OC,则 OC⊥CE ∵OC=OA ∴∠A=∠ACO ∵∠ACB=90°, BC∥OD ∴CP⊥OD 在 Rt△OCD 与 Rt△CPO 中 ∠ACO=90°-∠COD=∠CDO ∴Rt△ACB∽Rt△DCO

| 2 ? 2 ? 1| 5 ? 2 2 2

BC AB ? OC DO OC ? AB ? 8 ∴ OD ? BC
∴ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=( (1)若 m⊥n,求 tan x 的值 (2)若 m 与 n 的夹角为 16.解:(1)∵ m ? n

? 2 2 ,? ),n=(sin x,cos x),x∈(0, )。 2 2 2

? ,求 x 的值。 3
2 2 sin x ? cos x ? 0 , ∴ tan x ? 1 2 2

∴ m?n ?

(2)∵ m 与 n 的夹角为

? 2 2 , m?n ? sin x ? cos x 3 2 2

2 2 sin x ? cos x 2 2 ? 1 2 2 cos ? m ? n ?? ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) ? ∴ 1? 1 2 2 4 2
∴x?

?
4

? 2 k? ?

?
6

,或 x ?

?
4

? 2 k? ?

∵ x ? (0,

?
2

), ∴x ?

5? 12

5? 6

(k ? Z )

17.(本小题满分 12 分) 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 1 40
惠来县 方文湃

工人编号 年龄 10 36
4

工人编号 年龄 19 27

工人编号 年龄 28 34

2 3 4 5 6 7 8 9

44 40 41 33 40 45 42 43

11 12 13 14 15 16 17 18

31 38 39 43 45 39 38 36

20 21 22 23 24 25 26 27

43 41 37 34 42 37 44 42

29 30 31 32 33 34 35 36

39 43 38 42 53 37 49 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄 数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的平均值 x 和方差 s ; (3)36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 17.解(1)由题意知,通过系统抽样所抽到的样本的编号分别为 2,6,10,14,18,22,26,30,34,样本的 年龄数据对应为 44,40,36,43,36,37,44,43,37。 (2)(1)中样本的均值 x ?
2 (1)中样本的方差 s ?

2

1 (44 ? 40 ? 36 ? 40 ? 36 ? 37 ? 44 ? 43 ? 37) ? 40 9

1 [(44 ? 40) 2 ? (40 ? 40) 2 ? (36 ? 40) 2 ? (43 ? 40) 2 ? (36 ? 40) 2 9 100 ?(37 ? 40)2 ? (44 ? 40)2 ? (43 ? 40)2 ? (37 ? 40)2 ] ? 9

(3)由(2)得 s ?

10 10 10 ,年龄在 [40 ? , 40 ? ] 之间,即为年龄在 [37, 43] 之间, 3 3 3
20 ?100%≈55.56% 。 36

由表得 36 人中年龄在 [37, 43] 之间的人数为 20,所占的百分比为 18. (本小题满分 14 分)

如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD = PC = 4 , AB = 6 ,

BC = 3 .点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF = 2FB , CG = 2GB .
(1)证明: PE ? FG ; (2)求二面角 P - AD - C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 18. 解:(1)∵PD=PC,E 是 CD 的中点 ∴PE⊥DC ∵平面 PDC⊥平面 ABCD, 平面 PDC∩平面 ABCD=DC ∴PE⊥平面 ABCD ∵FG ? 平面 ABCD ∴PE⊥FG (2)∵CD⊥AD PE⊥平面 ABCD ∴PD⊥AD,∴∠PDC 为二面角 P-AD-C 的平面角
5 惠来县 方文湃

H

D

E

C G

A

图2

F

B

P

D

E G F B

C

A

在 Rt△PED 中,∵ DE ?

1 DC ? 3 ,PD=4 2

∴ PE ? 7 ,tan∠PDC=

7 7 , ∴二面角 P-AD-C 的正切值为 3 3
AF CG ? ? 2 ∴FG∥AC FB GB
在 Rt△AEP 中, AP ?

(3)连结 AC、AE,∵AF=2FB,CG=2GB,∴ ∠PAC 为异面直线 PA 与 FG 所成的角 在 Rt△ADE 中, AE ? 在 Rt△ABC 中, AC ?

AD2 ? DC 2 ? 3 2 AB2 ? BC2 ? 3 5

AE 2 ? PE 2 ? 5

在△PAC 中, cos ?PAC ?

AP 2 ? AC 2 ? PC 2 25 ? 45 ?16 9 ? ? 5 2 AP ? AC 2 ? 5 ? 3 5 25
9 5。 25

∴直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 19. (本小题满分 14 分)

设 a>1,函数 f ( x) ? (1 ? x2 )e x ? a 。 (1) 求 f ( x) 的单调区间 ; (2) 证明: f ( x) 在( ? ? ,+∞)上仅有一个零点; (3) 若曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点),证明: m ? 3 a ?

2 ?1 e

19.解:(1) f '( x) ? (1 ? x2 ? 2x)ex ? (1 ? x)2 e x ? 0 ∴ f ( x ) 在(-∞,+∞)为增函数。 (2)∵ f (0) ? 1 ? a ? 0, f (ln a) ? (1 ? ln 2 a)a ? a ? a ln 2 a ? 0 ∴ f ( x ) 在 (0,ln a) 上至少有一个零点,∵ f ( x ) 在(-∞,+∞)为增函数 ∴ f ( x ) 在(-∞,+∞)有唯一一个零点

(3)令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,∴ P ( ?1,

2 ? a ) ,直线 OP 的斜率 kOP e

2 ?a 2 e ? ?a? ?1 e

∵曲线 y ? f ( x) 在 M (m, n) 处的切线平行于 OP

6 惠来县 方文湃

∴ f '( m) ? a ?

2 2 2 m 即 (1 ? m) e ? a ? e e

以下先证明 1 ? m ? em ,即 em ? m ? 1 ? 0 ,令 g (m) ? em ? m ? 1 , 由 g '(m) ? em ? 1 ? 0 得 m ? 0 ∴ g '(0) ? 0 ,且 g ( m) 在 ( ??, 0) 为减函数,在 (0, ??) 为增函数。∴ [ g (m)]min ? 0 即 em ? m ? 1 ? 0 ,∴ 1 ? m ? em ,∵ (1 ? m)2 ? 0
3 2 m ∴ (1 ? m) ? (1 ? m) e ? a ?

2 2 ,∴ m ? 3 e ? ? 1 e e

20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在,求出 k 的取值 范围;若不存在,说明理由. 20. 解:(1)配方得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ∴圆 C1 的圆心坐标为 C1 (3,0) 。 (2)【几何法】连结 C1M ,设 OC1 为 D, 连结 MD,显然 D ( , 0) ∵M 是 AB 的中点,∴ C1M ? AB
A O y B M x

3 2

D

C1

1 3 OC1 ? , 2 2 3 3 ∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 为圆心为 D ( , 0) ,半径为 的圆 x2 ? y 2 ? 3x ? 0 的一部分。 2 2
在直角三角形 Rt OMC1 中, DM ? 由?

? x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 5 ? 消去 y ,解得 x ? 2 2 3 ? ? x ? y ? 3x ? 0
3 2 9 5 (x ? ) 4 3

2 2 所以,线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为 ( x ? ) ? y ?

本高考题为人教版 2-2 的课本的习题。其他方法可以在百度中参照《从课本的一道习题谈轨迹方程 的求法》——方文湃 (3)令 x ?

5 5 2 5 5 2 5 2 2 代人 x ? y ? 3x ? 0 ,得 E1 ( , ? ) 、 E2 ( , ) 3 3 3 3 3
7

惠来县

方文湃

直线 y ? k ( x ? 4) 过定点 N(4,0), NE1 、 NE2 的斜率分别为

k1 ?

0 ? (?

2 5 2 5 ) 0? 2 5 3 ? 3 ??2 5 、 k1 ? 5 5 7 7 4? 4? 3 3
3 | k ( ? 4) | 2 k 2 ?1

3 圆心 D ( , 0) 到直线 y ? k ( x ? 4) 的距离 d ? 2

3 | k ( ? 4) | 3 3 3 2 ? 解 得 k ? ? , 当 k ? ? 时 , 直 线 y ? k( x? 4 )与 弧 x2 ? y 2 ? 3x ? 0 令d? 2 2 4 4 k ?1
5 12 5 ( x ? ) 相切,切点的横坐标都为 ? 3 5 3
∴当 ?

3 2 5 2 5 或 k ? ? 时,直线 L : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点。 ?k? 4 7 7

21. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn; (3) 令 b1 ? a1 ,bn ? 满足 Sn ? 2 ? 2 ln n 21.解:(1)令 n ? 1 ,得 a1 ? 4 ? 3 ? 1 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ?

n?2 , n ? N *. 2n ?1

Tn ?1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )an( n ? 2 ) , 证明: 数列{ bn }的前 n 项和 S n n 2 3 n

? (n ? 1)an ?1 ? 4 ?

n ?1 ……………………① 2n ? 2

a1 ? 2a2 ?

? (n ? 1)an ?1 ? nan ? 4 ? 1 2

n?2 …………………………② 2n ?1

1 (n ? N *) 2n ?1 1 1 1 1 (2)数列 {an } 的前 n 项和 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 2 2 2 2
n ?1 ②-①得 nan ? n( ) ,∴ an ?

(3)当 n ? 1 时, S1 ? b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 2ln1 ? 2 , ∴当 n ? 1 时, Sn ? 2 ? 2ln n 成立

8 惠来县 方文湃

当 n ? 2 时, bn ?

Tn ?1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? )an ? ? ? (1 ? ? ? ? ) n ?1 n?2 n 2 3 n n n?2 2 3 n 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ? ? ) n ?1 ? ? (1 ? ? ? ? ? ) n 2 3 n n 2 n 2 3 n ? 1 n 2n ?1 2 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ? ) n ?1 ? ? n ?1 n 2 3 n ?1 2 n 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? [ ? 1] ? [ ? 1? 1 ? ? 1 ] ? [ ? (1 ? ) 2 ? ? 2 ] 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 ? [ ? (1 ? ? ) 3 ? ? 3 ] ? 4 2 3 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 ?[ ? (1 ? ? ? ? ) n ?1 ? ? n ?1 ] n 2 3 n ?1 2 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? ? ? ? ) ? 1? 1 ? ? 1 ? (1 ? ) 2 ? ? 2 ? (1 ? ? ) 3 ? ? 3 ? 1 2 3 n 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 2 ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ? (?1 ? ? 2 ? ? n ?1 ) ? (? ? 2 ? ? n ?1 ) 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (? 2 ? 3 ? ? n ?1 ) ? ? (? 3 ? 4 ? ? n ?1 ) ? ? ? ( ?1? n ?1 ) 3 2 2 2 4 2 2 2 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? ? ? ? ) ? (? n ?1 )(1 ? ? ? ? ? ) 2 3 n 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 ? (2 ? n ?1 )(1 ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? ? ) 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 要证明 Sn ? 2 ? 2ln n ,只需要证明 ? ? ? ? ln n (n ? N , n ? 2) 2 3 n 1 n 1 1 只需要证明 ? ln n ? ln(n ? 1) ? ln ? ln( ) ? ? ln(1 ? ) (n ? N , n ? 2) 1 n n ?1 n 1? n 1 1 即证明 ? ln(1 ? ) ? 0 ( n ? N , n ? 2) n n 1 令 f ( x) ? 1 ? x ? ln x ,则当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? ?1 ? ? 0 x
∴ f ( x) ? 1 ? x ? ln x 在 (0,1] 为增函数,而 f (1) ? 0 ∴当 0 ? x ? 1时, f ( x) ? 1 ? x ? ln x? 0 ,令 x ? 1 ? ∴ Sn ? 2 ? 2ln n 成立。 (n ? N * )

1 1 1 ,则 ? ln(1 ? ) ? 0 ( n ? N , n ? 2) 成立 n n n

9 惠来县 方文湃

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