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宁夏石嘴山市第三中学2018届高三数学下学期第四次模拟考试试题文2 精品

宁夏石嘴山市第三中学 2018 届高三数学下学期第四次模拟考试试题


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超 出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?0,1,3?, B ? ?x (x ?1)(x ? 2) ? 0?, 则 A? B ?

A. ?0?

B. ?0,1,3?

C. ?0,1?

2.若复数 z ? ? 3 ? i (是虚数单位),则 z ? 4i ? 1 ? 2i

A. 10

B. 26

C. 2

D. ?0,1,2?
D. 4

3.“xy ? 0”是“x ? 0且y ? 0”成立的

A. 充分非必要条件 C. 充要条件

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

?x ?1

4.已知实数

x,

y

满足不等式组

? ?

x

?

2

y

?

1

?

0



z

?

3x

?

2

y

的最大值为

??x ? y ? 5

A. 5

B. 10

C. 11

D. 13

5.已知等比数列?an ?中, a2a3a4 ? 1, a6a7a8 ? 64 ,则 a5 ?

1

A. ? 2

B. -2

C. 2

D. 4

6.按如下的程序框图,若输出结果为 273,则判断框“?”处应补充的条件为

开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 3i 否

i?i?2 是
?

结束 输出S

A. i ? 7

B. i ? 7

C. i ? 9

D. i ? 9

7.已知向量 a ? ( 3,1),b ? (0,?1),c ? (k, 3) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 k 等于

A. 2 3

B.2

C. ? 3

D.1

8.把函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位后得到函数 g(x) 的图象,则 6

g(x)

A. 在 ??0, ? ?? 上单调递增 ? 4?

B. 在 ??0, ? ?? 上单调递减 ? 4?

C. 图象关于点 ?? ? ? ,0?? 对称 ? 12 ?

D. 图象关于直线 x ? ? 对称 6

9.已知函数 f ( x) ? ?x3 ? 7x ? sin x ,若 f (a2 ) ? f (a ? 2) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

A. (??,1)

B. (??,3)

C. (?1,2)

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体

的体积为
A. 6 C. 20
3

B. 19 3
D. 22 3

D. (?2,1)

11.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,以线段 F1F2 为直径

的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4) ,则双曲线的方程为

2

A. x2 ? y2 ? 1

B. x2 ? y2 ? 1

C. x2 ? y2 ? 1

D.

9 16

34

43

x2 ? y2 ? 1 16 9

12.定义在 R 上的偶函数 f ? x? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x? ,当 x??0,1 ? 时, f ?x? ? ?2x ?1,

设函数

g ? x?

?

? ??

1 2

x?1
? ??

??1 ?

x

?

3? ,则函数

f

?x?与

g ? x? 的图像所有交点的横坐标之和为

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知函数

f

(x)

?

??log ???3x (

x 2
x

(x ? ? 0)

0)

,则

f

? ??

f

(

1 2

)???

的值为__________.

14.已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点的距离为 5,则该抛物线的准线

方程为__________.

15.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“今有中试举人壹百名,第一名官

给银一百两,自第二名以下挨次各减五钱,问:该银若干?”其大意是:现有 100 名中试举

人,朝廷发银子奖励他们,第 1 名发银子 100 两,自第 2 名起,依次比前一名少发 5 钱(每

10 钱为 1 两),问:朝廷总共发了多少银子?经计算得,朝廷共发银子______

两.

16.设直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积是 40π ,AB=AC=AA1,

∠BAC=120°,则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的高是________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
已知锐.角.?ABC 中内角 A 、B 、C 所对边的边长分别为 a 、b 、c ,满足 a2 ? b2 ? 6ab cos C , 且 sin2 C ? 2 3 sin Asin B . (1)求角 C 的值;

3

(2)设函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) ? cos?x (? ? 0) , 且f (x) 图像上相邻两最高点间的距离为 6
? ,求 f ( A) 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分) 《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市大约 10 万 名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况,发现被 测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间,将测试结果按如下方式分成六组:第
一组 ?160,164 ? ,第二组 ?164,168 ? ,…,第六组 ?180,184 ? ,如图是按上述分组方法得到的
频率分布直方图.
(1)若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 1 组或第 4 组 的概率; (2)已知第 5,6 两组市民中有 3 名女性,组织方要从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民组 成弘扬传统文化宣传队,求至少有 1 名女性市民的概率.
19.(本小题满分 12 分)
4

在三棱锥 P ? ABE中, 底面 ,AB ? AE, AB ? AP ? 1 AE ? 2 ,D 是 AE 的中点, 2
C 是线段 BE上的一点,且 AC ? 5 ,连接 PC, PD,CD , (1)求证: CD // 平面PAB; (2)求点 E 到平面 PCD的距离.

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

3 ,直线 y ? x 交椭圆 C 于 A 、 B 两 2

点,椭圆 C 的右顶点为 P ,且满足 PA ? PB ? 4 .

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若直线 y ? kx ? m ( k ? 0 , m ? 0 )与椭圆 C 交于不同两点 M 、 N ,且定点

Q

? ??

0,

?

1 2

? ??

满足

MQ

?

NQ

,求实数 m

的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)
5

已知函数 f ? x? ? lnx .
x
(1)求函数 f ? x? 的极值点;

(2)设 g ?x ? ?xf x? ?a?x 2? ln2a ( ? 0) ,若 g ? x? 的最大值大于 a ?1,求 a 的取值范围.

2

2

请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系

xoy

中,圆

C

的参数方程为

?x ?? y

? ?

2 2

? 2cos?(?为参数),以 sin ?

O

为极点,

x



的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ?(sin? ? 3 cos? ) ? 3 .

(1)求 的极坐标方程;

(2)射线 射线OM

:?

?

?1(

? 6

? ?1

?

?) 3

与圆 C

的交点为 O, P

,与直线的交点为 Q

,求

OP ? OQ 的范围.

6

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲.

已知函数

f(x)

?

x?m

? 2 x ?1(m ? 0) ,不等式

f

(x)

? 1的解集为 ??x ?

x

?

1 或x 3

? 3?? ?

.

(1)求实数 的值;

(2)若不等式 f (x) ? ax ? 3a 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

7

2018 届高三第四次模拟文科数学试题答案及评分标准 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

选项

C

A

B

D

C

B

C

A

9 10 11 12

D

D

A

B

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分,)

1

13.

14.

3

15. 7525

16. 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(Ⅰ)因为 a 2 ? b2 ? 6ab cos C ,由余弦定理知 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C 所以 cos C ? c 2 ............. .......2 分
4ab 又因为 sin2 C ? 2 3 sin Asin B ,则由正弦定理得: c2 ? 2 3ab ,.........4 分

? ? 所以 cos C ? c2 ? 2 3ab ? 3 ,且C ? 0,? ,所以 C ? ? .............6 分

4ab 4ab 2

6

(Ⅱ) f (x) ? sin(?x ? ? ) ? cos?x ? 3 sin(?x ? ? )

6

3

由已知 2? ? ? ,? ? 2 ,则 f (x) ? 3 sin(2x ? ? ) .............9 分

?

3

因为 C ? ? , B ? 5? ? A ,由于 0 ? A ? ? , 0 ? B ? ? ,所以 ? ? A ? ? .

6

6

2

2

3

2

19.所以 ? ? 2 A ? ? ? 4? ,所以 ? 3 ? f ( A) ? 0 ......12 分解:(1)被采访人恰好

33

2

在第 1 组或第 4 组的频率为



∴估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.28………………………4 分

(2)第 5,6 两组

的人数为(0.02+0.01)*4*50=6,

∴第 5,6 两组中共有 6 名市民,其中女性市民共 3 名,………………6 分

记第 5,6 两组中的 3 名男性市民分别为 , , ,3 名女性市民分别为 , ,,

从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传队,共有 15 个基本事件, 列举如下: , , , , , , , , , , , , , , ,……………… 8分 至少有 1 名女性 , , , , , , , , , , , ,共 12 个基本事件,……… 10 分

∴从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传务队,至少有 1 名女性的概率为

8

…………12 分 .

19.解:(1)因为

,所以

.又





所以在

中,由勾股定理,得

.

因为

,所以 是

点. ………………2 分

的斜边 上的中线.所以 是 的中

又因为 是 的中点,所以直线 是

的中位线,所以

.………………………

4分 又因为 平面 ,

平面 ,所以 平面 .………………………6 分

(2)由(1)得,

.又因为



.

所以

.又因为

,………………………7 分

所以 8分

.易知

,且

,…………………

所以 设点 到平面 的距离为 ,

.………………………9 分

则由 分 解得

,得

,即

,……………………11

.即点 到平面 的距离为 .………………………12 分

20 解:(1)∵ PA ? PB ? 2 PO ? 2a ? 4 ,∴ a ? 2 ,…………………2 分

又 c ? 3 ,∴ c ? 3 ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 1,……………………3 分 a2
∴椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .……………………4 分 4
y ? kx ? m
? ? (2)由{ x2 ? y2 ? 1 消去 y 整理得: 4k2 ?1 x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,………………… 4
5分
∵直线与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,
? ?? ? ∴ ? ? 64k2m2 ? 4 4k2 ?1 4m2 ? 4 ? 0,整理得 4k 2 ? m2 ?1 . ……………………6


9

设 M ? x1, y1? ,

N

? x2,

y2

?

,则

x1

?

x2

?

?8km , 4k 2 ?1

又设 MN 中点 D 的坐标为 ? xD, yD ? ,

……………………7 分

∴ xD

?

x1 ? x2 2

?

?4km , 4k 2 ?1

yD

?

kxD

?m

?

?4k 2m 4k 2 ?1 ? m

?

m 4k 2 ?1



……………………9





MQ

?

NQ

,∴ DQ ? MN

,即

yD

?1 2

??1



∴ 6m ?1 ? 4k 2 ,

xD

k

6m ?1 ? 0 ∴{6m ?1 ? m2 ?1

,解得

1 6

?

m

?

6

.∴实数

m

的取值范围

? ??

1 6

,

6

? ??

.…………12



21 解:(1) 定义域为(0,? ?)

f

??

x?

?

1? lnx x2

,令

f

??

x?

?

0



x

?

e

?x??0,e?, f ??x? ? 0, f ?x?单调递增;x??e,???, f ??x? ? 0, f ?x?单调递减

? f ?x?的极大值点为x ? e,无极小值点…………………4 分

(2) g ? x? ? lnx ? ax2 ? ln2 ?a ? 0? , g?? x? ? 1 ? 2ax ? 1? 2ax2 (x ? 0, a ? 0)

2

x

x

令 g?? x? ? 0,得 x ? 1 ……………………6 分
2a

x

?

? ?

0,

?

1 2a

? ? ?

,

g?

?

x?

?

0,

g

?

x?

单调递增;x

?

? ? ?

1 2a

,

??

? ? ?

,

g?

?

x?

?

0,

g

?

x

?

单调递减

?g ? x? max

?

g

? ? ?

1 2a

? ? ?

?

ln

? ?

?

1 2a

? ? ?

?

a

?

1 2a

?

ln2 2

?

?

1 2

?lna

?1?

………………8



由 g ? x? ? ? 1 ?lna ?1? ? a ?1,得 lna ? a ?1? 0 ……………………10 分

max

2

2

令 h?a? ? lna ? a ?1, h??a? ? 1 ?1 ? 0, h?a?单调递增,
a

而 h?1? ? 0 ?h?a? ? 0时,a??0,1? ……………………12 分

22 解:(1)圆 的普通方程是

,又



所以圆 的极坐标方程为

;……………………5 分

(2)设

,则有



10



,且直线的方程是

,则有

所以 所以

……………………10 分

23 解析:(1)由题意,得

作出 的大致图象如图所示,……………………2 分

由不等式

的解集为

及图象,

, ,

可知 (2)直线 且在函数

解得 .……………………5 分

过点



图象的上方,

且 可看作直线



时,若直线

的斜率,而过点

和点 的斜率为 .



上方,则 ;…………………8 分



时,

10 分

恒成立,只需 ,所以实数 的取值范围为 .……………

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