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2013年北京市东城区高三数学一模理科试题

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回。

第Ⅰ卷(选择题
项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一

(1)已知全集 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2} ,那么集合 ? A 为 U (A) {3} (B) {3, 4} (C) {1, 2} (D) {2,3}

(2)已知 ABCD 为平行四边形,若向量 AB ? a , AC ? b ,则向量 BC 为 (A) a ? b (C) b ? a
2

??? ?

????

??? ?

(B) a + b (D) ?a ? b
2

(3)已知圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,那么该圆圆心到直线 ?

? x ? t ? 3, ( t 为参数)的距离为 ? y ? t ?1

(A)

2 2

(B)

6 2

(C)

3 2 2

(D)

3 6 2

(4)某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于

1 ,则成绩为 2 1 1 1 及格;若飞标到圆心的距离小于 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则 4 4 2
成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为

(A)

3 16

(B)

1 4

(C)

3 4

(D)

1 16

(5)已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 0 , bn ? log 2 an ,那么数列 {bn } 的前 10 项和等于 (A) 130 (B) 120 (C) 55 (D) 50

(6)已知 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) 分别是双曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,双曲线 C1 a 2 b2

·1·

和圆 C2 : x ? y ? c 的一个交点为 P ,且 2?PF1F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线 C1 的离心率为
2 2 2

(A)

5 2

(B) 3

(C) 2

(D) 3 ? 1
x

(7) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?3 , 且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2 ? 3 .若函数 f ( x) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ?Z )上有零点,则 k 的值为 (B) 2 或 ?8 (C) 1 或 ?7 (D) 1 或 ?8 ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? (8)已知向量 OA , AB , O 是坐标原点,若 AB ? k OA ,且 AB 方向是沿 OA 的方向绕着 A 点 按逆时针方向旋转 ? 角得到的,则称 OA 经过一次 (? , k ) 变换得到 AB .现有向量 OA=(1,1) 经 过一次 (?1 , k1 ) 变换后得到 AA1 , AA1 经过一次 (? 2 , k2 ) 变换后得到 A1 A2 ,?,如此下去, (A) 2 或 ?7

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

?????

???????? ? ??????? ??????? 1 1 An ? 2 An ?1 经过一次 (?n , kn ) 变换后得到 An ?1 An .设 An ?1 An ? ( x, y ) , ? n ? n ?1 , kn ? , cos ? n 2
则 y ? x 等于

1 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2 (A) 1 1 sin1sin ? sin n ?1 2 2 1 2 cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 (C) 1 1 sin1sin ? sin n ?1 2 2

1 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2 (B) 1 1 cos1cos ? cos n ?1 2 2 1 2 cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 (D) 1 1 cos1cos ? cos n ?1 2 2

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
·2·

(9)复数 z ? (2 ? i)i 的虚部是

. .

(10) ( x 2 ? )6 的展开式中 x 的系数是
3

2 x

(11)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是 位数之差是 .
A

,乙 5 次测试成绩的平均数与中

(12)如图,已知 PA 与圆 O 相切于 A ,半径 OC ? OP , AC 交

PO 于 B ,若 OC ? 1 , OP ? 2 ,则 PA ?

, PB ?



O

B

P

(13)有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻, 丙不排在两头,则这样的排法共有 种. (14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一 行增加两项,若 an ? a (a ? 0) , 则位于第 10 行的第 8 列的项
n

C

等于

, a2013 在图中位于

. (填第几行的第几列)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b sin A ? 3a cos B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值. (16) (本小题共 14 分) 如 图 , 已 知 A C D E 直 角 梯 形 , 且 ED // AC , 平 面 A C D E 平 面 ABC , 是 ?

?BAC ? ?ACD ? 90? , AB ? AC ? AE ? 2 , ED ?
(Ⅰ)求证: DP // 平面 EAB ; (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ABC 所成锐二面角 的余弦值.

1 AB , P 是 BC 的中点. 2
大小

·3·

(17) (本小题共 13 分) 某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有 1,2,3,4,5,6 六个数字的形状相同的卡片, 其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规则如下:每人每 次不放回抽取一张,抽取两次. (Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率; (Ⅱ)记奖品个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e , a 为常数, e 为自然对数的底) ( .
2 ?x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?(2) ; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由 f ( x) 的极大值构成的函数为 g ( a ) ,将 a 换元为 x ,试判断曲线

y ? g ( x) 是否能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由.

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 ,F2 , 离心率为 , F1 的直线 l 与 过 2 a b 2

椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的 距离为定值,并求出这个定值.

·4·

(20) (本小题共 13 分) 设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组, 记作: ? (a1 , a2 ,?, ai ,?, an ) .其中 ai (i ? 1, 2,?, n) 称 A 为数组 A 的 “元” i 称为 ai 的下标. 如果数组 S 中的每个 , “元” 都是来自 数组 A 中不同下标的 “元” , 则 称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,? , bn ) 的 关 系 数 为

C ( A ,B )? a1b 1? a b ? ? ? anbn . 2 2
(Ⅰ)若 A ? (? , ) , B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 的 最大值; (Ⅱ)若 A ? (

1 1 2 2

3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , S 为 B 的含有三个“元”的 3 3 3

子数组,求 C ( A, S ) 的最大值; (Ⅲ)若数组 A ? (a1 , a2 , a3 ) 中的“元”满足 a1 ? a2 ? a3 ? 1.设数组 Bm (m ? 1,2,3,?, n) 含有
2 2 2

四个“元” bm1 , bm 2 , bm3 , bm 4 ,且 bm12 ? bm 2 2 ? bm32 ? bm 4 2 ? m ,求 A 与 Bm 的所有含有三个“元”的 子数组的关系数 C ( A, Bm ) (m ? 1,2,3,?, n) 的最大值.

·5·

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)A (4)A (8)B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (12) 3 (10) 160 (11) 84 (14) a
89

2
第 45 行的第 77 列

3

(13) 144

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0? B ? ?, 所以 B ?

? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 . (16) (共 14 分) 证明(Ⅰ)取 AB 的中点 F ,连结 PF , EF . 因为 P 是 BC 的中点,
·6·

1 AC . 2 1 1 因为 ED // AC ,且 ED ? AB ? AC , 2 2 所以 ED // FP ,且 ED ? FP , 所以四边形 EFPD 是平行四边形.
所以 FP // AC , FP ? 所以 DP // EF . 因为 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB , 所以 DP // 平面 EAB . (Ⅱ)因为 ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , 所以以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系

A ? xyz ,则 z 轴在平面 EACD 内.
由已知可得 A(0,0,0) , B(2 , 0 , 0) , E (0 , 1, 3) , D(0 , 2 , 3) . 所以 EB ? (2 , ? 1, ? 3) , ED ? (0 , 1, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EB ? 0 , ? 由 ? ??? ? ?n ? ED ? 0 . ? ? ?2 x ? y ? 3z ? 0 , 所以 ? ?y ? 0. ? 取z ? 2, 所以 n ? ( 3 , 0 , 2) .

设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) .

又因为平面 ABC 的一个法向量为

m ? (0 , 0 ,1) .
所以 cos ? n , m ??

n?m 2 7 ? . n m 7
2 7 . 7

即平面 EBD 与平面 ABC 所成锐二面角大小的余弦值为 (17) (共 13 分) (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:
2 A2 1 p? 2 ? . A6 15

(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4,6,8,10 .
·7·

1 1 1 4 5 5 5 15 1 1 1 4 1 1 所以 EX ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? ? 4. 5 5 5 15 15 15
(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x e .
2 ?x

X p

0

2

4

6

8

10

1 15

1 15

f ?( x) ? 2 xe? x ? x 2e? x ? xe? x (2 ? x) . 所以 f ?(2) ? 0 .
(Ⅱ) f ?( x) ? (2 x ? a)e
?x

? e? x ( x 2 ? ax ? a) ? e? x [? x 2 ? (2 ? a) x]

? ?e? x ? x[ x ? (2 ? a)] .
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,

f ?( x) ? ? x 2e? x ≤ 0 恒成立,
此时 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递减,没有极小值; 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 0 ? x ? 2 ? a ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 x ? 0 是函数 f ( x) 的极小值点. 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 2 ? a ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 此时 x ? 0 是函数 f ( x) 的极大值点. 综上所述,使函数 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a ? 2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 2 ,且 x ? 2 ? a 时, f ?( x) ? 0 , 因此 x ? 2 ? a 是 f ( x) 的极大值点,极大值为 f (2 ? a) ? (4 ? a)e 所以 g ( x) ? (4 ? x)e 令 h( x) ? (3 ? x)e
x?2 x?2 x?2 a ?2



( x ? 2) .

g ?( x) ? ?e x ?2 ? e x ?2 (4 ? x) ? (3 ? x)e x ?2 . ( x ? 2) . ? 0 恒成立,即 h( x) 在区间 (??, 2) 上是增函数.
2? 2

则 h?( x) ? (2 ? x)e

所以当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? (3 ? 2)e 又直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的斜率为

? 1 ,即恒有 g ?( x) ? 1 .

3 , 2

所以曲线 y ? g ( x) 不能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 相切.
·8·

(19) (共 13 分) 解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 . 因为 e ?

1 2

所以

b2 a 2 ? c 2 3 ? ? 1 ? e2 ? , 2 2 a a 4

所以 b2 ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 4 3 7
12 2 21 ? . 7 7

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ?1 ? ? 3 ?4
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 12 8km , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 .
2 2

·9·

所以 (k ? 1)
2

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 . 3 ? 4k 2 3 ? 4 k 2
2

整理得 7m ? 12(k ? 1) ,满足 ? ? 0 .
2

所以点 O 到直线 AB 的距离

d?

|m| k 2 ?1

?

12 2 21 ? 为定值. 7 7

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等及 B 中 a, b, c 三个“元”的对称性, 可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1. 3

由 (a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? 2(a 2 ? b2 ) ? 2(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3
3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ? 由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? (a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1.

·10·

(Ⅲ)因为 Bm ? (bm1 , bm 2 , bm3 , bm 4 ) 满足 bm12 ? bm 2 2 ? bm32 ? bm 4 2 ? m . 由 bm1 , bm 2 , bm3 , bm 4 关系的对称性,只需考虑 (bm 2 , bm3 , bm 4 ) 与 (a1 , a2 , a3 ) 的关系数的情况. 当 bm1 ? 0 时,有 (

bm 2 m

)2 ? (

bm3 m

)2 ? (
2 m2

bm 4 m

)2 ? 1 .

a1

bm 2 m

? a2

bm3 m

? a3

bm 4 m

?

a12 ?

b b2 b2 2 2 a2 ? m3 a3 ? m 4 m ? m ? m 2 2 2

?

2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 bm 2 ? bm3 ? bm 4 ? 2 2m

?
即 bm1 ? 0 ,且 a1 ?

1 1 ? ? 1. 2 2
bm 3 m
, a3 ?

bm 2 m

, a2 ?

bm 4 m

时,

a1bm 2 ? a2bm3 ? a3bm 4 的最大值为 m .
当 bm1 ? 0 时, bm 2 2 ? bm32 ? bm 42 ? m , 得 a1bm 2 ? a2bm3 ? a3bm 4 最大值小于 m . 所以 C ( A, Bm ) 的最大值为 m (m ? 1,2,3,?, n) .

·11·



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