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(18)人教A版必修一同步训练2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)


2.1.2 指数函数及其性质(第二课时) 1 -1.5 0.9 0.48 1、设 y1=4 ,y2=8 ,y3=( ) ,则( ) 2 A.y3>y1>y2 B.y2 >y1>y3 C.y1>y2>y3

D.y1>y3>y2 1 -1.5 0.9 1.8 0.48 1.44 1.5 x 1、解析:选 D.y1=4 =2 ,y2=8 =2 ,y3=( ) =2 ,∵y=2 在定义域内为增函数 , 2 且 1.8>1.5>1.44,∴y1>y3>y2.

?a ,x>1 ? 2、若函数 f(x)=? a ?? 4-2? x+2,x≤1 ?
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8)

x

是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( D.[4,8)

)

?4-a>0 ? 2、解、选 D.因为 f(x)在 R 上是增函数,故结合图象(图略)知? 2 a ?4-2+2≤a ?
a>1

,解得 4≤a<8.

1 1-x 3、函数 y=( ) 的单调增区间为( ) 2 A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 1?t ? ?1?1-x 3、解、选 A.设 t=1-x,则 y=? ? ,则函数 t=1-x 的递减区间为(-∞,+∞),即为 y=? ? 的递增区间. ?2? ?2? 1 1 b 1 a 4、设 <( ) <( ) <1,则( ) 3 3 3 a b a a a b b a a b a a A.a <a <b B .a <b <a C.a <a <b D.a <b <a b a a a b a a 4、解、选 C.由已知条件得 0<a<b<1,∴a <a ,a <b ,∴a <a <b . 1 2a+1 1 3-2a 5、若( ) <( ) ,则实数 a 的取值范围是( ) 2 2 1 1 A.(1,+∞) B.( ,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞, ) 2 2 1 x 1 5、解、选 B.函数 y=( ) 在 R 上为减函数,∴2a+1>3-2a,∴a> . 2 2 6、下列三个实数的大小关系正确的是( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 A.( ) <22011<1 B.( ) <1<22011 C.1<( ) <22011 2011 2011 2011 6、解、选 B.∵
1 1 1 2 0 <1,∴( ) <1,22011>2 =1 2011 2011

1

D.1<22011<(

1 2 ) 2011

7、设函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1),f(2)=4,则( ) A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2) C.f(2)<f(-2) D.f(-3)>f(-2) 1 -2 |x| 7、解、选 D.由 f(2)=4 得 a =4,又 a>0,∴a= ,f(x)=2 ,∴函数 f(x)为偶函数,在(-∞,0)上单调递 2 减,在(0,+∞)上单调递增. 1 8、函数 f(x)= x 在(-∞,+∞)上( 2 +1 )
1

-|x|

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C .单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 1 1 x 8、解、选 A.u=2 +1 为 R 上的增函数且 u>0,∴y= 在(0,+∞)为减函数.即 f(x)= x 在(-∞,+∞)上 u 2 +1 为减函数,无最小值. 9、若 x<0 且 a >b >1,则下列不等式成立的是( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 1 1 9、解、选 B.取 x=-1,∴ > >1,∴0<a<b<1.
x x

a b

10、已知函数 y=f(x)的定义域为(1,2),则函数 y=f(2 )的定义域为________. x 10、解析:由函数的定义,得 1<2 <2? 0<x<1.所以应填(0,1).答案:(0,1) 11、已知函数 f(x)=a- 1 ,若 f(x)为奇函数,则 a=________. 2 +1
x
0

x

1 1 =0.∴a= . 2 +1 2 1 1 1 1 法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 a- -x = x -a,解得 a= .答案: 2 +1 2 +1 2 2 11、解、法一:∵f(x)的定义域为 R,且 f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即 a- 12、当 x∈[ -1,1]时,f(x)=3 -2 的值域为________. 1 5 x ? 5 ? x 12、解、x∈[-1,1],则 ≤3 ≤3,即- ≤3 -2≤1.答案:?- ,1? 3 3 ? 3 ? 13、若函数 f(x)=e 的最大值为 m,且 f(x)是偶函数,则 m+u= ________. -(x+u)2 -(x-u)2 2 2 2 2 2 13、解、∵f(-x)=f(x),∴e =e ,∴(x+u) =(x-u) ,∴u=0,∴f(x)=e-x .∵x ≥0,∴-x ≤0, 2 ∴0<e-x ≤1,∴m=1,∴ m+u=1+0=1.答案:1 1 x2-2x 14、讨论 y=( ) 的单调性. 3 1 x2-2x 14、解:函数 y=( ) 的定义域为 R, 3 1 u 2 令 u=x -2x,则 y=( ) .列 表如下: 3
-(x-u)2

x

单 调

函 数

u=x2-2x 2 =(x-1) -1

y=( )u

1 3

y=( )x2-2x

1 3

间 x∈(-∞,1] ? ? x∈(1 ,∞) ? ? 由表可知,原函数在(-∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函 数. 1 x-3 1 x x 15、已知 2 ≤( ) ,求函数 y=( ) 的值域. 4 2 1 x-3 1 x 1 2 1 x x -2x+6 15、解:由 2 ≤( ) ,得 2 ≤2 ,∴x≤-2x+6,∴x≤2 .∴( ) ≥( ) = , 4 2 2 4 1 x 1 即 y=( ) 的值域为[ ,+∞). 2 4
2



性 ? ?

1 1 16、已知 f(x)=( x + )x. 2 -1 2 (1)求函数的定义域;(2)判断函数 f(x)的奇偶性;(3)求证:f(x)>0. x 16、解:(1)由 2 -1≠0,得 x≠0,∴函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}. x 1 1 2 1 (2)在定义域内任取 x,则-x 在定义域内,f(-x)=( -x + )(-x)=( x+ )(-x) 2 -1 2 1-2 2 x x x 1+2 2 +1 1 1 2 +1 =- ·x= ·x,而 f(x)=( x + )x= ·x,∴f(-x)=f(x),∴函数 f(x)为偶 x x x 2? 1-2 ? 2? 2 -1? 2 -1 2 2? 2 -1? 函数. 1 1 1 1 x x (3)证明:当 x<0 时,由指数函数性质知,0<2 <1,-1<2 -1<0,∴ x <-1,∴ x + <- . 2 -1 2 -1 2 2 1 1 又 x<0,∴f(x)=( x + )x>0.由 f(x)为偶函数,当 x>0 时,f(x)>0.综上,当 x∈R,且 x≠0 时,函数 f(x)>0 2 -1 2

17、 当 a>1 时,判断函数 y=
x

a a

x x

?1 ?1

是奇函数.

17、证明:由 a -1≠0,得 x≠0,故函数定义域为{x|x≠0},易判断其定义域关于原点对称.又 f(-x) =
a a
?x ?x

?1 ?1

=

(a (a

?x ?x

? 1) a ? 1) a

x x

=

1? a 1? a

x x

=-f(x) f(-x)=-f(x).∴函数 y= ,∴

a a

x x

?1 ?1

是奇函数.

18、 求函数 y=(

1 2

)x

2

?2x

的单调区间,并证明之.
( ( 1 1 2 ) )
x2 ? 2 x2
2

18、解:在 R 上任取 x1、x2,且 x1<x2,则

y2 y1

= 2

=(
x1 ? 2 x1
2

1 2

)x

2 1

? x1 ? 2 x 2 ? 2 x1

2

=(

1 2

) (x

2

? x1 )( x 2 ? x1 ? 2 )

.∵x1<x2,∴x2-

x1>0.
当 x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1) x2+x1-2)<0,即 ( ∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增. 当 x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1) x2+x1-2)>0,即 (
y2 y1 y2 y1

>1.

<1.

∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减. 综上,函数 y 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、 (用复合函数的单调性) :设: u ? x
2 ? 2x

则: y ? ?
u

?1? ? ?2?

u

?1? 对任意的 1 ? x 1 ? x 2 ,有 u 1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数 ?2?

3

∴ y1 ? y 2

?1? ∴y ?? ? ?2?
u

x ?2 x

2

在 [1, ?? ) 是减函数对任意的 x 1 ? x 2 ? 1 ,有 u 1 ? u 2 ,
x ?2 x
2

?1? 又∵ y ? ? ? 是减函数∴ y 1 ? y 2 ?2?
[1, ?? ) 是增函数

?1? ∴y ? ? ? ?2?



小结:在讨论比较复杂的函数的单调性时,首先根据函数关系确定函数的定义域,进而分析研究函数解析式的结 构特征,将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数 (u ? x
2
?1? ? 2 x )和外层函数( y ? ? ? )的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性. ?2?
u

19、 求函数 y=3 ? x

2

?2 x?3

的单调区间和值域.
2

19、解:由题意可知,函数 y=3 ? x
2

?2 x?3

的定义域为实数 R.设 u=-x +2x+3(x∈R) ,
u u

2

则 f(u)=3u,故原函数由 u=-x +2x+3 与 f(u)=3 复合而成.∵f(u)=3 在 R 上是增函数, 2 2 而 u=-x +2x+3=-(x-1) +4 在 x∈(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数. ∴y=f(x)在 x∈(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.又知 u≤4,此时 x=1, ∴当 x=1 时,ymax=f(1)=81,而 3 ? x
2

?2 x?3

>0,∴函数 y=f(x)的值域为(0,81].

20、 设 a 是实数, f ( x ) ? a ?

2 2 ?1
x

( x ? R ) 试证明对于任意 a, f ( x ) 为增函数;

20、分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解 答方法 (1)证明:设 x 1 , x 2 ∈R,且 x 1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 )
? (a ? 2 2
x 1

?1

) ? (a ? 2

2
x 2

?1

)

? 2

2
x 2

?1

?

2 2
x 1

? (2

2(2
x 1

x 1

?2
x

x 2 2

)

? 1)( 2

? 1)

由 于 指 数 函 数 y= 2 在 R 上 是 增 函 数 , 且

x

x1 ? x 2 ,

所以 2 x 1 ? 2 x 2 即 2 x 1 ? 2 x 2 <0, 又由 2 >0 得 2 +1>0, 2
x x1 x2

+1>0

所以 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) <0 即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x ) 为增函数 小结:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性
4

21、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,讨论 f ( x ) ? a

? x ?3x?2

2

的单调性.

21、 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题, 指数 ? x ? 3 x ? 2 ? ? ( x ?
2

3 2

) ?
2

17 4

,当 x ≥

3 2

时是减函数, x ≤

3 2

时是增函数,

而 f ( x ) 的单调性又与 0 ? a ? 1 和 a ? 1 两种范围有关,应分类讨论. 【解析】设 u ? ? x ? 3 x ? 2 ? ? ( x ?
2

3 2

) ?
2

17 4

,则当 x ≥
u

3 2

时, u 是减函数,
u

当x ≤

3 2

时, u 是增函数,又当 a ? 1 时, y ? a 是增函数,当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数,所以当 a ? 1 时,原
? x ?3x?2
2

函数 f ( x ) ? a
[ 3 2

在 [ , ?? ) 上是减函数,在 ( ?? , ] 上是增函数.当 0 ? a ? 1 时,原函数 f ( x ) ? a
2 2 3 2 ] 上是减函数.

3

3

? x ?3x?2

2



, ?? ) 上是增函数,在 ( ?? ,

【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减, 则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.

22、已知函数 y ?

2 ?2
x

?x

求函数的定义域、值域

2

22、解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理.
6 5

4

3

2

1

-4

-2

2

4

定义域为 R 由y ?
2 ?2
x ?x



2

2x

? 2y?2

x

?1? 0

2

∵x?R, ∴△ ? 0, 即 4 y ? 4 ? 0 , ∴ y ? 1 , 又∵ y ? 0 ,∴ y ? 1
2

2

∴值域为 { y | y ? 1} .

5


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