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2014高考总复习(理数)-题库:2.3 函数的奇偶性与周期性

2.3 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)等 于( A.3 ). B.1 C.-1 D.-3 x 解析 由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1, f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案 D 2.已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 π ?π x,则有 f(x+2)=sin? ? 2 ?2 D.2 π x+2? ?=-sin x= ? ). 解析 (构造法)构造函数 f(x)=sin ? 2 -f(x),所以 f(x)=sin 答案 B π x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π =0,故选 B. 2 【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选择题的常用 方法,充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的任意不恒为零的函数,则下列判断:①f(|x|)为偶函 数; f(x)+f(-x)为非奇非偶函数; f(x)-f(-x)为奇函数; f(x)] 为偶函数. 中 ② ③ ④[ 其 正确判断的个数有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 解析 对于①,用-x 代替 x,得 f(|-x|)=f(|x|),所以①正确;对于②,用-x 代替 x, 得 f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x),所以②错误;对于③,用-x 代替 x,得 f(-x)-f(x) =-[f(x)-f(-x)],所以③正确;易知④错误. 答案 B [来源:Z*xx*k.Com] 4.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=4 -1,则 f(- x 5.5)的值为( A.2 ) B.-1 0.5 1 C.- 2 D.1 解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=4 -1=1. 答案 D 5.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数, 如图表示该函数在区间(-2,1] 上的图像,则 f(2 011)+f(2 012)=( A.3 C.1 D.0 ) B.2 解析:由于 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,所以 f(2 011)+f(2 012)=f(670×3+1)+f(671×3-1)=f(1)+f(-1),而由图像可知 f(1)=1,f(-1)=2, 所以 f(2 011)+f(2 012)=1+2=3. 答案:A 6.设偶函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- 4x,则 f(107.5)=( A.10 ) 1 B. 10 C.-10 1 D.- 10 1 ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)= f? x? 解析] 由 f(x+6)=- f? 1 =f(x)知该函数为周期函数,周期为 6,所以 f(107.5)= x+3? f?6×18- ?=f?- ?,又 f(x)为偶函数,则 f?- ?=f? ?=- =- = . 2? ? 2? -10 10 ? ? 2? ?2? ? 5? f?- ? ? 1? ? 1? ? 1? ?1? 1 1 1 ? 2? 答案:B 7. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1), 则 f(2009)+f(2011)的值为( A.-1 ) B.1 C.0 D.无法计算 解析 由题意得 g(-x)=f(-x-1),又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=- f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为 4, ∴f(2009)=f(1),f(2011)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴ f(2009)+f(2011)=0. 答案:C 二、填空题 8. f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数, 若 且满足 f(1)=1, (2)=2, f(3)-f(4)=________. f 则 解析 ∵f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,故 f(3)-f(4)= (-2)-(-1)=-1. 答案 -1 9.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则 使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________. 解析 由原函数是奇函数, 所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称, y=f(x) 由 在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的 取值集合为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 10. 设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? ________. 解析 ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ?x+1?的所有 x 之和为 ? ?x+4? ?x+1?, ? ?x+4? ∴f(|2x|)=f?? ??x+1??, ?? ??x+4?? 又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ∴|2x|=? ?x+1?, ? ?x+4? 即 2x= x+1 x+1 或 2x=- , x+4 x+4 2 2 整理得 2x +7x-1=0 或 2x +9x+1=0, 设方程 2x +7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x +9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 ? 9? 则(x1+


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