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广东省廉江市第三中学2014届高三数学专题复习 立体几何线面平行问题


广东省廉江市第三中学 2014 届高三数学专题复习 立体几何线面平行问题
一、知识点 1 空间两直线的位置关系(1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行—— 在同一平面内,没有 公共点 ; (3)异面——不在任何 一个平面内,没有公共点; ..
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2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c .
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3.等角定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相 同,则这两个角相等 4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线所成的锐角(或直 C1 D1 角)相等. b B1 a b A1 5.空间两条异面直线的画法 C D a b a 6. 异面直线定理: 连结平面内一点与平面外一点的直线, A B
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和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

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a
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推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线

b

O

b′

7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所成 的角的大小与点 O 的选择无关, 把 a?, b? 所成的锐角 (或直角) 叫异面直线 a , b 所成的角 (或夹角) . 为 了简便,点 O 通常取在异面 直线的一条上 异面直线所成的角的范围: (0,
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?
2

]

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8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线 a , b 垂直,记作 a ? b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求 10.两条异面直线的公垂线、距离:和两条异面直线都垂直相交 的直线,我们称之为 ....
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异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线 的定义要注意“相交”的含义.两条异面直线的公垂线有且只有一条 11.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公 垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离.
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D1

C1 B1

A1 D A B

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C

12.直线和平面的位置关系(1)直线在平面内(无数个公共 a 点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直 ? 线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分 类.它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? A , a // ? . 那么这条直线和这个平面平行.推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? .

a
A

a
?

?

13.线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,

14. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这

?
l m

个平面
1
?

相交,那么这条直线和交线平行.推理模式: l // ? , l ? ? , ?

? ? m ? l // m .

二、基本题型

4.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a,D?a,B?b,E?c 求证:BD 和 AE 是异面直线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、 E、B、D 都在平面__内
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?A?a,D?a,∴__?γ . ?P?a,∴P?__. ?P?b , B?b , P?c , E?c ∴ __?? , __?? , 这 与 ____ 矛 盾 AE__________
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∴ BD 、

5 已知 E , F , G, H 分别是空间四边形四条边 AB, BC, CD, DA 的中点, (1)求证四边形 EFGH 是
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平行四边形 (2)若 AC⊥BD 时,求证: EFGH 为矩形; (3)若 BD=2,AC=6,求 EG ? HF ; (4)
2 2
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若 AC、BD 成 30?角,AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积; (5)若 AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,求 AC 与 BD 间的距离. 6 空 间 四 边 形 A B C D中 , A D ? B C? 2 , E , F 分 别 是 AB, CD的 中 点 ,
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EF ? 3 ,求异面直线 AD, BC 所成的角

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7. 在正方体 AB CD-A1B1C1D1 中,求(1)A1B 与 B1D1 所成角;(2)AC 与 BD1 所 成角. 8.在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D 中,已知 AB=a,BC=b, AA? =c(a>b), 求异面直 线 D ?B 与 AC 所成角的余弦值 9.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别
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是 AB 、 PC 的中点 (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面
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直线 PA 与 MN 所成的角的大小 10 . 如 图 , 正 方 形 ABCD 与 ABEF 不 在 同 一 平 面
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C
T

P H N

M D B N A F
A
H

E

2
D B C

M

内, M 、 N 分别在 AC 、 BF 上,且 AM ? FN 求证: MN // 平面 CBE
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参考答案:

5. 证明(1) :连结 AC , BD ,∵ E , F 是 ?ABC 的边 AB, BC 上的中点,∴ EF // AC , 同理, HG // AC ,∴ EF // HG , 同理, EH // FG ,所以,四 边形 EFGH 是平行四边形 证明(2) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵ EF // AC , EH // BD ,∴由 AC⊥BD 得, EF ? EH ,∴ EFGH 为矩形. 解(3) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形
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∵BD=2,AC=6,∴ EF ?

1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 1 2 2
2 2 2 2

∴由平行四边形的对角线的性质 EG ? HF ? 2( EF ? EH ) ? 20 . 解(4) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=4,A C=6,∴ EF ?
E
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A H D F G C

1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 2 2 2 又∵ EF // AC , EH // BD ,AC、BD 成 30?角,∴EF、EH 成 30?角,
∴四边形 EFGH 的面积 S ? EF ? EH sin 30 ? 3 .
0

B

A

解(5) :分别取 AC 与 BD 的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC, ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,∴MB=MD=NA=NC= 3
B N C M D
3

∴ MN ? AC, MN ? BD ,∴MN 是 AC 与 BD 的公垂线段 且 MN ?

MB2 ? NB 2 ? 2

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∴AC 与 BD 间的距离为 2 .

6. 解:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点, ∴ EG // AD, FG // BC, 且 EG ?

1 1 AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2

A E

∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角, 在 ?EGF 中, cos ?EGF ?

EG ? FG ? EF 1 ?? , 2 EG ? FG 2
2 2 2

B

G

∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 .

C

F

D

9. 略证(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

? NH // DC , NH ?

1 DC 2
4

? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形

? MN // AH, MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD
解(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平行且等 于 PA 的一半,所以 ?ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的 角,由
C

MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3
0
0

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T

M

所以 ?ONM ? 30 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 的角

D
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B N A

H

E

10. 略证:作 MT // AB, NH // AB 分别交 BC、BE 于 T、H 点

AM ? FN ? ?CMT ≌ BNH ? MT ? NH 从而有 MNHT 为平行四边形 ? MN // TH ? MN // CBE

F

5



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