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用主元法解竞赛题


主元 法 , 即在 解 多变 元 问 题 时 , 选择 其 中某个 变 元 为 主要 元 素 , 视  其他 变元 为 常量 ,将 原 式重 新整 理 成关 于这 个字 母 的按 降幂排 列 的形 

式 , 样 能排 除字 母 间 的干 扰 , 这 简化 问题 的结 构 。在 解题 时 , 用 “ 运 主元 
法 ” 以将一 个 非基 本 问题, 归 为一个 简 单 的 、 于解 决 的基本 问题 。 可 化 易   例 1 f0 0年 全 国初 中数 学 联 赛题 )若 实数 0 b c   21 、 、 ,满 足 等 式 2  

、  +  = ,、  一 } =c / 3 bI64 / 9b}6 。则 c I 可能取的最大值为( )   。  
A.   O. B. . 1  C.   2. D-. 3 

解析 已知条件中含有 ab C ,、 三个变元 , 、  、bI 把 / l 视为主元 ,   则 

N " 知 式 视 二 次 程 解 、 ÷(3,    A已 等 可 为 元一 方 组, 得 /  : c ) b= + Il
(一 )而 l l 所 以 c 。 2c , b >   10, ≤2 
当 c 2时 , = 可得 a 9 b O 满 足 已知等 式 。 = ,= ,  

所 以 c可 能取 的最 大值 为 2  。 例 2 (0 0年 全 国初 中数 学 联赛 题) 知二 次 函数 y x+ x C的 图  21 已 = 2b — 像 经 过两 点 P( ,) Q( ,O ) 1口 、 2 la 。如 果 口 b c都是 整数 , c b 8 , 。  、、 且 < < a求 、 b c的值 。 、   解 析 点 P( ,) Q( ,O ) 二 次 函 数 y + x c的 图像 上 , 10 、 2 l a 在   b— 故 
f+ - =     bca 1
L +  一 :1 0. 42 c 0  

把 b c视 为 主 元 , 得 b 9 - ,= a 2  、 解 = a 3c 8- 。

由 c6 8 < < 口知 【a 9 8





2<9 -3 a 3<8 n


解 得 1 n 3  << 。

因为 Ⅱ为 整数 , 以 a 2 b 9 一 = 5 c 8 - = 4  所 = ,= a 3 1 ,= a 2 1 。
例 3 ( 0 5年 全 国 初 中 数 学 联 赛 题 ) 实 数 x y满 足  20 若 , +  

l , +331则斛  。 南 上6= 5 一 。 Y一   +
解 析  本 题 直接解 方程 组难 度较 大 , 把 常数 3、  若  5 看作 某个 一元  二次 方程 的两个 根 , “ 角 ” “ 角 ” 通 过构 造方 程求 解 , 问题 便  变 配 为 主 , 则
可迎刃 而解 。  

视35 主 , 3 看 是 于 的 程 +    元 将35 作 关   方 寺   、为 .  
根 , 简 得 :_  一 36) (3+ 3-  6) 0  化  - 2( 4-  £ 6 4y 4x  = 。 一 x
由 根 与 系 数 得 3+   + 一 36 ,  5 y 4- 。  
? .


1两 的 

x y=     5 +6 = 2。 + 3 +4 +     43  

例 4 设 、 b为实数 , 求代 数式  + +  0 2   6一 — b的最小 值 。   解 析 直 接求 难 以人 手 , 注意 到 0 b的指数 是 2 若是 一个 等式 , 、 , 则  易于构 造关 于 0或 6的一元二 次方 程 。  
设   + + 2a 2 = 视 0为 主 元 , 理 得 :   6- - b S, 整   +( — )+( 2 2 — ) 0, 6 1 n b- b S =  
? .

‘ 0为 实数 , 有 △: 6 1 4 b- b  ≥0  则 ( — ) (22 一 一 ,


整理得 : S b  b 1 即 4 ≥3b 1 4  4 ≥3 26 一 , S (一 ) 。
?


3b 1  0  (— )/ , >

. .

4  ≥ ~ S≥ -1。 4.  


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