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人教A版高中数学选修2-1《3.1.3空间向量的数量积运算》课件_图文

第三章 §3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算

学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹 角和判断向量的共线与垂直.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 空间向量数量积的概念
思考1
如图所示,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4, BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,类比平面向量有关运算, 如何求向量O→A与B→C的数量积?并总结求两个向量数量积的方法.
答案

思考2
等边△ABC 中,A→B与B→C的夹角是多少? 答案
120°.

梳理
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积, 记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b=_λ_(_a_·b_)_

交换律

a·b=_b_·_a_

分配律

a·(b+c)=_a_·b_+__a_·_c_

(3)空间向量的夹角 ①定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作O→A=a,O→B=
b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉. π
②范围:〈a,b〉∈ [0,π] .特别地:当〈a,b〉= 2 时,a⊥b.

知识点二 空间向量的数量积的性质

①若a,b是非零向量,则a⊥b?_a_·b_=__0_

两个向量 数量积的 性质

②若a与b同向,则a·b= |a|·|b| ;若反向,则a·b=-|a|·|b| .
特别地,a·a= |a|2 或|a|= a·a a·b
③若θ为a,b的夹角,则cos θ=_|a_|_|b_|_

④|a·b|≤|a|·|b|

题型探究

类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算 例1 (1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明. ①p2·q2=(p·q)2; 解答
此命题不正确. ∵p2·q2=|p|2·|q|2, 而(p·q)2=(|p|·|q|·cos〈p,q〉)2=|p|2·|q|2·cos2〈p,q〉, ∴当且仅当p∥q时,p2·q2=(p·q)2.

②|p+q|·|p-q|=|p2-q2|; 解答
此命题不正确. ∵|p2-q2|=|(p+q)·(p-q)|=|p+q|·|p-q|·|cos〈p+q,p-q〉|, ∴当且仅当(p+q)∥(p-q)时,|p2-q2|=|p+q|·|p-q|. ③若a与(a·b)·c-(a·c)·b均不为0,则它们垂直. 解答
此命题正确. ∵a·[(a·b)·c-(a·c)·b]=a·(a·b)·c-a·(a·c)·b=(a·b)(a·c)-(a·b)(a·c)=0, 且a与(a·b)·c-(a·c)·b均为非零向量, ∴a与(a·b)·c-(a·c)·b垂直.

(2)设θ=〈a,b〉=120°,|a|=3,|b|=4,求: ①a·b; 解答
∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉, ∴a·b=3×4×cos 120°=-6. ②(3a-2b)·(a+2b). 解答
∵(3a-2b)·(a+2b)=3|a|2+4a·b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos 120°-4|b|2, ∴(3a-2b)·(a+2b)=3×9+4×3×4×(-12 )-4×16=27-24-64=-61.

反思与感悟
(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的 运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.

跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于

A. 7

B. 10

C. 13

D.4

答案 解析

∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×cos 60°+9=13, ∴|a+3b|= 13 .

命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面 AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算: (1)B→C·E→D1; 解答 如图,设A→B=a,A→D=b,A→A1=c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. B→C·E→D1=b·[12(c-a)+b]=|b|2=42=16.

(2)B→F·A→B1; 解答 B→F·A→B1=????c-a+12b????·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
→→ (3)EF·FC1. 解答 E→F·F→C1=????12?c-a?+21b????·????12b+a????=12(-a+b+c)·????12b+a????=-12|a|2+14|b|2=2.

反思与感悟
两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的 数量积为0.向量的数量积不满足结合律.

跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求: (1)(O→A+O→B )·(C→A+C→B); 解答
(O→A+O→B)·(C→A+C→B)=(O→A+O→B)·(O→A-O→C+O→B-O→C)=(O→A+O→B)·(O→A +O→B-2O→C)=12+1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+1×1×cos 60°+ 12-2×1×1×cos 60°=1.

(2)|O→A+O→B+O→C|. 解答 |O→A+O→B+O→C|= ?O→A+O→B+O→C?2 = O→A2+O→B2+O→C2+2?O→A·O→B+O→B·O→C+O→A·O→C? = 12+12+12+2?1×1×cos 60°×3?= 6.

类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角 例3 已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形, ?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面 直线BA1与AC所成的角. 解答

利用向量求异面直线夹角的方法

反思与感悟

跟踪训练3 已知:PO、PA分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在平面 α内的射影,l?α,且l⊥OA. 求证:l⊥PA. 证明 如图,取直线 l 的方向向量 a,同时取向量P→O,O→A. 因为 l⊥OA,所以 a·O→A=0.
因为PO⊥α,且l?α,所以l⊥PO, 因此 a·P→O=0. 又因为 a·P→A=a·(P→O+O→A)=a·P→O+a·O→A=0,所以 l⊥PA.

命题角度2 利用数量积求模(或距离) 例4 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2, AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. 解答

反思与感悟
利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其 基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量 的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利 用公式|a|= a·a 求解即可.

跟踪训练4 如图,已知线段AB⊥平面α,BC?α, CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A

在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间

的距离. 解答

∵A→D=A→B+B→C+C→D,

∴|A→D|2



(

A→B+

→ BC



C→D)2=

|

A→B|2



|B→C|2+

|

C→D|2

+2

A→B·B→C+

2

A→B·C→D+

2B→C·C→D=12+2(2·2·cos 90°+2·2·cos 120°+2·2·cos 90°)=8,

∴|A→D|=2 2,即 A,D 两点间的距离为 2 2.

类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC, AB=AC,求证:OA⊥BC. 证明
因为OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以△OAC≌△OAB, 所以∠AOC=∠AOB. 又O→A·B→C=O→A·(O→C-O→B)=O→A·O→C-O→A·O→B =|O→A|·|O→C|cos∠AOC-|O→A|·|O→B|cos∠AOB=0, 所以O→A⊥B→C,即 OA⊥BC.

反思与感悟
(1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否 为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法 先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.

跟踪训练5 已知向量a,b满足:|a|=2,|b|= 2,且a与2b-a互相垂直, 则a与b的夹角为_4_5_°__. 答案 解析
∵a与2b-a垂直,∴a·(2b-a)=0, 即2a·b-|a|2=0. ∴2|a||b|·cos〈a,b〉-|a|2=0, ∴4 2cos〈a,b〉-4=0,∴cos〈a,b〉= 22, 又〈a,b〉∈[0°,180°],∴a与b的夹角为45°.

当堂训练

1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|等于 答案 解析

A.14

√B. 14

C.4

D.2

|a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14.

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2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是

→→ A.AD1·B1C

→→ B.BD1·AC

√ → →

→→

C.AB·AD1 D.BD1·BC

答案 解析

选项 A,当四边形 ADD1A1 为正方形时,可得 AD1⊥A1D,而 A1D∥B1C, 所以 AD1⊥B1C,此时有A→D1·B→1C=0;

选项 B,当四边形 ABCD 为正方形时,易得 AC⊥BD,可得 AC⊥平面 BB1D1D,故有 AC⊥BD1,此时B→D1·A→C=0;
选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1, 所以 AB⊥AD1,所以A→B·A→D1=0.故选 D.

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3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: ①(A→A1+A→D+A→B)2=3A→B2;②A→1C·(A—1→B1-A→1A)=0;③A→D1与A→1B的夹角为 60°.

其中真命题的个数为 答案 解析

A.1

√B.2

C.3

D.0

易知①②正确; A→D1与A→1B的夹角为 120°,∴③不正确.故选 B.

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4.已知 a,b 为两个非零空间向量,若|a|=2 2,|b|= 22,a·b=- 2,则 3π
〈a,b〉=__4__. 答案 解析 cos〈a,b〉=|aa|·|bb|=- 22,∴〈a,b〉=34π.
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5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的 长为__2__. 答案 解析 |E→F|2=E→F2=(E→C+C→D+D→F)2 =E→C2+C→D2+D→F2+2(E→C·C→D+E→C·D→F+C→D·D→F) =12+22+12+2×(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2, ∴|E→F|= 2,∴EF 的长为 2.
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规律与方法
1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个数量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利 用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解.



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