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专题1.6 极值点偏移第四招--含指数式的极值点偏移问题-玩转压轴题,突破140之高三数学解答题高端精品解析版

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型:在给定区间内研究两函数之 间的不等关系. 要解决这类问题,往往是直接构造某个新函数,或者分离变量之后构造新的函数,通过研 这一类问题多数 与指数函数有关,解 究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 题时除了直接构造一元函数求解,还可将问题转 化为对数问题,再用 对数平均不等式求解,本文对此类问 题做一探究. ★(2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a ( x ? 1) 有两个零点 x1 , x2 .证明: x 2 x1 ? x2 ? 2 . 法二:参变分离再构造差量函数 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ? ? x1 ? 2 ? e x 2 ? x1 ? 1? 1 ? ? x2 ? 2 ? e x 2 ? x2 ? 1? 2 设 g ? x? ? ? x ? 2? ex ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1? 2 ? x ? 2 ? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 那么 g ' ? x ? ? e ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? x ? 1? 单调递增. 设 m ? 0 ,构造代数式: g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? 设 h ? m? ? 则 h '? m? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ? [来源:学#科#网 Z#X#X#K] m ? 1 2m e ?1, m ? 0 m ?1 2m 2 ? m ? 1? 2 e2 m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m ? ? h ? 0 ? ? 0 . 因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 、 x2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上, 不妨设 x1 ? x2 ,则必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ? ? ?? g? ?1 ? ?1 ? x1 ? ? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 而 2 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此: g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 整理得: x1 ? x2 ? 2 . 法三:参变分离再构造对称函数 由法二,得 g ? x ? ? ? x ? 2? ex 2 ? x ? 1? ,构造 G ( x) ? g ( x) ? g (2 ? x), ( x ? ( ??,1)) , 利用单调性可证,此处略. 法五:利用“对数平均”不等式 (2 ? x1 )e x1 (2 ? x2 )e x2 参变分离得: a ? ,由 a ? 0 得, x1 ? 1 ? x2 ? 2 , ? ( x1 ? 1) 2 ( x2 ? 1) 2 将上述等式两边取以 e 为底的对数,得 ln (2 ? x1 ) ( 2 ? x2 ) ? x1 ? ln ? x2 , 2 ( x1 ? 1) ( x2 ? 1) 2 化简得: [ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) ] ? [ln(2 ? x1 ) ? ln(2 ? x2 )] ? x1 ? x2 , 2 2 故1 ? [ln( x1 ? 1) 2 ? ln( x2 ? 1) 2 ] [ln(2 ? x1 ) ? ln(2 ? x2 )] ? x1 ? x2 x1 ? x2 [ln( x1 ? 1) 2 ? ln( x2 ? 1) 2 ] [ln(2 ? x1 ) ? ln(2 ? x2 )] ? ( x1 ? 1) 2 ? ( x2 ? 1) 2 (2 ? x1 ) ? (2 ? x2 ) ? [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] 由对数平均不等式得: [ln( x1 -1) 2 - ln( x2 -1) 2 ] 2 , ? 2 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 2 [ln(2 - x1 ) - ln(2 - x2 )] 2 , ? ()()()() 2 ? x1 ? 2 ? x2 2 ? x1 ? 2 ? x2 从而 1 ? 2( x1 ? x2 ? 2) 2 ? 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ()() 2 ? x1 ? 2 ? x2 2( x1 ? x2 ? 2) [4 ? ( x1 ? x2 )] ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 4 ? ( x1 ? x2 ) 2( x1 ? x2 ? 2) x ? x ?2 ?1? 1 2 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 4 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 等价于: 0 ? 2( x1 ? x2 ? 2) x ? x ?2 ? 1 2 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 4 ? ( x1 ? x2 ) 2 1 ? ] 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 4 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ? 2)[ 2 2 由 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, 4 ? ( x1 ?


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