(江苏专用)版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算习题 理 新人教A版

【创新设计】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第三章 导数及 其应用 第 1 讲 导数的概念及运算习题 理 新人教 A 版 一、填空题 1.设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 的值为________. 解析 由 f(x)＝xln x，得 f′(x)＝ln x＋1.根据题意知 ln x0＋1＝2，所以 ln x0＝1， 因此 x0＝e. 答案 e 2.设 y＝x e ，则 y′＝________. 解析 y′＝2xe ＋x e ＝(2x＋x )e . x 2 x 2 2 x x 答案 (2x＋x )e 2 x 3.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则 f′(1)等于 ________. 1 解析 由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(1)＋ ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则 x f′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线 y＝ax 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a ＝________. 解析 由 y′＝2ax，又点(1，a)在曲线 y＝ax 上，依题意得 k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得 a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线 y＝e 的面积为________. 解析 y′|x＝0＝(－2e －2x －2x 2 2 ＋1 在点(0， 2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形 )|x＝0＝－2，故曲线 y＝e －2x ＋1 在点(0，2)处的切线方程为 y＝－ ?2 2? 2x＋2，易得切线与直线 y＝0 和 y＝x 的交点分别为(1，0)，? ， ?，故围成的三角形的 ?3 3? 1 2 1 面积为 ×1× ＝ . 2 3 3 答案 1 3 ln x 6.(2015·长春质量检测)若函数 f(x)＝ ，则 f′(2)＝________. x 1 1－ln x 1－ln 2 解析 ∵f′(x)＝ ，∴f′(2)＝ . x2 4 答案 1－ln 2 4 7.(2016·南师附中调研)如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线， 令 g(x)＝xf(x)， 其中 g′(x)是 g(x) 的导函数，则 g′(3)＝________. 解析 1 由图形可知： f(3) ＝ 1 ， f ′ (3) ＝－ ，∵ g ′ (x) ＝ f(x) ＋ 3 xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案 0 8.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax ＋ (a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是______. 解析 2 b x b b 7 y＝ ax2＋ 的导数为 y′＝2ax－ 2 ，直线 7x＋ 2y ＋ 3＝ 0 的斜率为－ . 由题意得 x x 2 b 4a＋ ＝－5， ? ? 2 ?a＝－1， ? 则 a＋b＝－3. ? b 7 解得? ? ?b＝－2， ? ?4a－4＝－2， 答案 －3 二、解答题 9.已知曲线 y＝x ＋x－2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x－y－1＝0，且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标； (2)若直线 l⊥l1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程. 解 (1)由 y＝x ＋x－2，得 y′＝3x ＋1， 2 3 2 3 由已知令 3x ＋1＝4，解之得 x＝±1. 当 x＝1 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝－4. 又∵点 P0 在第三象限，∴切点 P0 的坐标为(－1，－4). 1 (2)∵直线 l⊥l1，l1 的斜率为 4，∴直线 l 的斜率为－ . 4 ∵l 过切点 P0，点 P0 的坐标为(－1，－4)， 1 ∴直线 l 的方程为 y＋4＝－ (x＋1)，即 x＋4y＋17＝0. 4 2 10.已知直线 l1 为曲线 y＝x ＋x－2 在点(1，0)处的切线，l2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ⊥l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解 (1)y′＝2x＋1，f′(1)＝3，所以直线 l1 的方程为 y＝3(x－1)，即 y＝3x－3. 2 2 2 2 设直线 l2 过曲线 y＝x ＋x－2 上的点 B(b，b ＋b－2)，则直线 l2 的方程为 y－(b ＋b－2) ＝(2b＋1)(x－b)， 即 y＝(2b＋1)x－b －2. 2 因为 l1⊥l2，所以 3(2b＋1)＝－1，b＝－ . 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－ x－ . 3 9 2 y＝3x－3， ? ? ?x＝6， ? (2)解方程组? 1 22 得? 5 y＝－ x－ ， ? 3 9 ? ? ?y＝－ . 1 2 ? 22 ? 又直线 l1，l2 与 x 轴交点坐标分别为(1，0)，?－ ，0?， ? 3 ? S＝ ×?－ ?×?1＋ ?＝ 2 3 1 2 ? 5? ? ? ? ? 22? ? 125 . 12 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 1 x 11.(2015·陕西卷)设曲线 y＝e 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂 x 直，则 P 的坐标为________. 1 x x 0 解析 y′＝e ，曲线 y＝e 在点(0，1)处的切线的斜率 k1＝e ＝1，设 P(m，n)，y＝ (x>0) x 的导数为 y′＝－ － 1 1 2 x 1 (x>0)，曲线 y＝ (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝ x m2 (m>0)，因为两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则点 P 的坐标为(1， 1)