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(江苏专用)版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算习题 理 新人教A版

【创新设计】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第三章 导数及 其应用 第 1 讲 导数的概念及运算习题 理 新人教 A 版 一、填空题 1.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为________. 解析 由 f(x)=xln x,得 f′(x)=ln x+1.根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1, 因此 x0=e. 答案 e 2.设 y=x e ,则 y′=________. 解析 y′=2xe +x e =(2x+x )e . x 2 x 2 2 x x 答案 (2x+x )e 2 x 3.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2x·f′(1)+ln x,则 f′(1)等于 ________. 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,∴f′(1)=2f′(1)+1,则 x f′(1)=-1. 答案 -1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a =________. 解析 由 y′=2ax,又点(1,a)在曲线 y=ax 上,依题意得 k=y′|x=1=2a=2,解得 a =1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线 y=e 的面积为________. 解析 y′|x=0=(-2e -2x -2x 2 2 +1 在点(0, 2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形 )|x=0=-2,故曲线 y=e -2x +1 在点(0,2)处的切线方程为 y=- ?2 2? 2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别为(1,0),? , ?,故围成的三角形的 ?3 3? 1 2 1 面积为 ×1× = . 2 3 3 答案 1 3 ln x 6.(2015·长春质量检测)若函数 f(x)= ,则 f′(2)=________. x 1 1-ln x 1-ln 2 解析 ∵f′(x)= ,∴f′(2)= . x2 4 答案 1-ln 2 4 7.(2016·南师附中调研)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, 令 g(x)=xf(x), 其中 g′(x)是 g(x) 的导函数,则 g′(3)=________. 解析 1 由图形可知: f(3) = 1 , f ′ (3) =- ,∵ g ′ (x) = f(x) + 3 xf′(x), ∴g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0. 答案 0 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 解析 2 b x b b 7 y= ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2 ,直线 7x+ 2y + 3= 0 的斜率为- . 由题意得 x x 2 b 4a+ =-5, ? ? 2 ?a=-1, ? 则 a+b=-3. ? b 7 解得? ? ?b=-2, ? ?4a-4=-2, 答案 -3 二、解答题 9.已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 2 3 2 3 由已知令 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). 1 (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1),即 x+4y+17=0. 4 2 10.已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解 (1)y′=2x+1,f′(1)=3,所以直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 2 2 2 2 设直线 l2 过曲线 y=x +x-2 上的点 B(b,b +b-2),则直线 l2 的方程为 y-(b +b-2) =(2b+1)(x-b), 即 y=(2b+1)x-b -2. 2 因为 l1⊥l2,所以 3(2b+1)=-1,b=- . 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 2 y=3x-3, ? ? ?x=6, ? (2)解方程组? 1 22 得? 5 y=- x- , ? 3 9 ? ? ?y=- . 1 2 ? 22 ? 又直线 l1,l2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0),?- ,0?, ? 3 ? S= ×?- ?×?1+ ?= 2 3 1 2 ? 5? ? ? ? ? 22? ? 125 . 12 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 1 x 11.(2015·陕西卷)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂 x 直,则 P 的坐标为________. 1 x x 0 解析 y′=e ,曲线 y=e 在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e =1,设 P(m,n),y= (x>0) x 的导数为 y′=- - 1 1 2 x 1 (x>0),曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2= x m2 (m>0),因为两切线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1, 1)


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