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1.2独立性检验的基本思想及其初步应用--适合上课用


1.2 独立性检验的基本思想 及其初步应用

1.两种变量及研究相关关系的方法:

( 1 )定量变量:取值是实数 ,如身高、体重等 (回归分析)

( 2 )分类变量:变量的不同“值”表示个体的不 同类别,如性别、是否吸烟等(等高条形图、 独立性检验法) 2.列联表(

2 ? 2 列联表):

列出两个分类变量的频数表

例题:为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿 瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下结果 (单位:人) 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 不吸烟 7775 42 吸烟 2099 49 总计 9874 91 总计 7817 2148 9965 2×2列联表

吸烟是否对患肺癌有影响?

方法1.用频率估计概率 患 病 2.28% 0.54% 未患病 合 计(n) 97.72% 100%(2148) 99.46% 100%(7817)

吸 烟 不吸烟

由上表可看出,在不吸烟者中患肺癌的比重是

0.54%

在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%

根据统计分析的思想,用频率估计概率可知, 吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异, 吸烟者患肺癌的可能性大

方法2.通过图形直观判断
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟

等高条形图

患肺癌比例
患肺癌 不患肺癌

不患肺癌比例

由上述图形显然可以得到结论是:吸烟与患肺癌有关 注意:与表格相比,图形能更直观地反映出相关数据 的总体状况 思考:这种判断可靠吗?你能有多大把握认为“患 病与吸烟有关”呢?

假设结论不成立,即记H0:吸烟和患肺癌之间没有关系 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 a b a+b c d c+d a+c b+d a+b+c+d

若 H 0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟 者中不患肺癌的比例应该与不吸烟中不患肺癌的比例差 不多,即

a 不吸烟的人中不患肺癌的比例: a?b

c 吸烟的人中不患肺癌的比例: c?d

不吸烟 吸烟 总计

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上 2 面的分析,我们引入一个随机变量 n(ad - bc) 2

(其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量)
2

K =

(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

K 作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的
标准 K 2 越小,|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; K 2 越大, |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.

在假设 H 0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系”成立的前提下, 则 K 2应该很小.故当 K 2 很小时,说明在一定可信程度上假设成立, 即“吸烟与患肺癌没有关系”成立 当 K 2 很大时,说明没有充分的证据说明假设 H 0 成立,即 没有充分的证据说明“吸烟与患肺癌没有关系”成立,即“吸烟 与患肺癌没有关系”不成立,也就是说“吸烟与患肺癌有关系”

K 2 大小的标准是什么呢? 临界值表
P( K 2 ? k ) 0.50

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

例如:对于两个分类变量X与Y

(1)如果k>10.828,就有99.9%的把握认为“X与Y有关系;

(2)如果k>6.635,就有99%的把握认为“X与Y有关系”;

(3)如果k>2.706,就有90%的把握认为“X与Y有关系”;

(4)若 k ? 2.706 就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系” 但也不能作出结论“ H 0成立”,即X与Y没有关系.

解:假设H 0 : 吸烟与患肺癌没有关系 K 2的观测值为 9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099) 2 k? ? 56.632 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91 根据临界值表可知P ( K 2 ? 10.828) ? 0.001 56.631远大于10.828,所以有理由判断H 0不成立, 所以吸烟与患癌症有关系。

注:这种判断可能会犯错误,但是犯错误的不会超过 0.001,这是个小概率事件,即我们有99.9%的把握认 为“吸 烟与患癌症有关系”
2 k 用 统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变

量有关系”的方法称为这两个分类变量的独立性检验

在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是

( C )
A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关 系,那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病

B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说
某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病 C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有

5%的可能性使得推理出现错误
D、以上三种说法都不对

独立性检验的基本思想:(类似于数学上的反证法,对“两个分类 变量有关系”这一结论成立可信程度的判断):
(1)假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.

(2)在假设 H 0 成立的条件下,计算构造的随机变量K2, 由于在此假设下随机变量 K 2应该很小,故如果由观测数据计算得到的K2 很大,则在一定程度上说明假设 “两个分类变量没有关系”不合理,即 说明两个分类变量之间有关系. (3)根据随机变量K2的含义,可以通过(2)式评价假设不合理的程度, 如由实际计算出的k>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个 分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.

注意:反证法原理与假设检验原理区别: 反证法原理
在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立。

假设检验原理
在一个已知假设下,如果推出一个小概率事件发生,则推断这个假设不 成立的可能性很大。

例1.秃头与患心脏病
在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人 秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系?

解:根据题目所给数据得到如下列联表1-13:
秃顶 不秃顶 总计 患心脏病 214 451 665 不患心脏病 175 597 772 总计 389 1048 1437

根据联表1-13中的数据,得到
2 1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451) K2 ? ? 16.373 ? 6.635. 389 ? 1048 ? 665 ? 772

所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。

例2.性别与喜欢数学课
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某 城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:

女 总计 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300

由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。能否有95%的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系?

? 解:在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系” 的前提下K2应该很小, 并且 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05, ? 而我们所得到的K2的观测值 k≈4.513超过了3.841,

这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系” 这一结论错误的可能性约为 0.05,即有95%的把握认为 “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。

1、能够通过等高条形图粗略估计两个分类变量之间是否有关系 2、利用 K 2 判断两个分类变量之间是否有关系

3、了解独立性检验的思想


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