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【人教版】2020学年高二数学上学期期中试题新人教版新版

2020 学年高二数学上学期期中试题

※ -精 品 人教 试 卷- ※

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

一:选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的。)

1.若 a ? b ? 1,则下列结论不一定成立的是( )

A. 1 ? 1 ab

B. a ? b C. ab ? ba D. logb a ? loga b

2.已知数列 1, , , ,…,

,…,则 3 是它的( )

A.第 22 项 B.第 23 项 C.第 24 项 D.第 28 项

3.已知 ?9, a1, a2 , ?1成等差数列, ?9, b1, b2 , b3, ?1 成等比数列,则 b2(a2-a1)= ( )

A.8

B.-8

C.±8

D. 9

8

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 ? S9 ,且 a1 ? 0 ,则 S n 中最大的是 ( )

A.S6

B.S7

C.S8

D.S9

5.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

()

A. 17 B. 3 2

C. 5

D. 9 2

6.设 a ? 0 , b ? 0 ,若 5 是 5a 与 5b 的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为 ( ) ab

A.8

B.4

C.1

D. 1

4

7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一

女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题

的已知条件,可求得该女子第 3 天所织布的尺数为( )

A.

B.

C. D.

8.若关于 x 的不等式 ax ?1 ? 0的解集是 (1,? ?) ,则关于 x 的不等式 (ax ?1)(x ? 2) ? 0 的解集是( )

A.??2, +?? B. ??2,1? C. (??, ? 2) ? (1, +?) D. ???, ? 2???1, +??
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9.设定点 F1(0,-3)、F2(0,3),动点 P 满足条件

PF1

? PF2

? a ? 9 (a ? 0) a

则点 P 的轨迹是( )

※ -精 品 人教 试 卷- ※

A.椭圆

B.线段

C.不存在 D.椭圆或线段

10.已知方程 ax2 ? by2 ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0) ,它们所表示的曲线可能是 ( )

A

B

C

D

11.

已知

F1、F2分别是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0)的左、右焦点,以



标原点

O

为圆心,

OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限 的交点为 P,则当△PF1F2 的面积为 a2 时,双曲线的离心率为( )

A. 6

B. 2

C. 3

D.2

2

12.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线

相交,则 y0 的取值范围是( )

A.(0,2)

B.[0,2]

C.(2,+ ? )

D.[2,+ ? )

第 II 卷(非选择题)(共 90 分)

二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。)
13.命题“? x<3,x2>9”的否定是_____.
14.已知 0< x <2,求函数 y ? x(8 ? 3x) 的最大值

15.设双曲线 C 经过点(2,2),且与 y2 ? x2 ? 1具有相同渐进线,则双曲线 C 的标准方程为

;

4

16.若椭圆

和双曲线

有相同的焦点 F1,F2,点 P 是两条曲线的一个交点,则 PF1?PF2 的值是_____.

三.解答题(本大题共 6 个小题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.(本小题 10 分)已知 p:x2﹣2x﹣8≤0,q:x2+mx﹣6m2≤0,m>0. 若 q 是 p 的必要不充分条件,求 m 的取值范围;

? ? 18. (本小题 12 分)已知等比数列 an 中, a1 ? a3 ? 10 , a2 ? a4 ? 20 .
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(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

※ -精 品 人教 试 卷- ※

(Ⅱ)若 bn

?

log2

an

?

0 ,求数列{ 1 } 的前 n bnbn?1

项和 Sn

.

19.(本小题 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 ,且双

曲线 C 与斜率为 2 的直线 L 相交,且其中一个交点为 P(﹣3,0).

(1)求双曲线 C 的方程及它的渐近线方程;

(2)求以直线 L 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.

20.(本小题 12 分)共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场

分析,每辆单车的营运累计收入 (单位:元)与营运天数

满足

.

(1)要使营运累计收入高于 800 元,求营运天数的取值范围; (2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?

21.

(本小题 12 分)已知数列{an}的首项 a1= 2 , an?1 3

? 2an ,n=1,2,3,…. an ?1

1 (1)证明:数列{
an

n ? 1}是等比数列;(2)求数列{
an

}的前 n 项和 Sn.

22.(本小题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆 S 过定点

,且与定圆 Q:

相切,

记动圆圆心 S 的轨迹为曲线 C.

(1)求曲线 C 的方程;

(2)设曲线 C 与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,点 M,N 为椭圆 C 上相异的两点,其中点 M 在第一象

限,且直线 AM 与直线 BN 的斜率互为相反数,试判断直线 MN 的斜率是否为定值.如果是定值,求出这个值;如果

不是定值,说明理由;

(3)在(2)条件下,求四边形 AMBN 面积的取值范围.

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鱼台一中高二数学第一学期期中试卷答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.C

13.

14.. 16

15. x2 ? y2 ? 1 16.15

3

3 12

※ -精 品 人教 试 卷- ※

16.因为椭圆

和双曲线

有相同的焦点



设 在双曲线的右支上,利用椭圆以及双曲线的定义可得: ②由①②得

① 故答案为:15.

17.【答案】(1)

;(2)

试题解析:若命题 为真,则

(2 分),若命题 为真,则

(4 分),

若 q 是 p 的必要不充分条件,则



解得 ,

故 的取值范围为

.(10 分)

18.(Ⅰ)设等比数列?an? 公比为

q

,由

a1

?

a3

? 10,

a2

?

a4

?

20

,得

??? aa11q??aa11qq23

? 10, ? 20.

? ? 解得 a1 ? q ? 2 ;所以 an ? a1qn?1 ? 2n ,因此数列 an 的通项公式 an ? 2n (6 分)

(Ⅱ)因为 bn ? log2 an ? 0 ,所以 bn ? log2 2n ? 0 , bn ? ?n (8 分),

∴ 1 ? 1 ? 1 ? 1 (10 分) bnbn?1 n(n ?1) n n ?1



Sn

?

(1?

1) 2

? (1 2

?

1) 3

?

? (1 ? 1 ) ? 1? 1 ? n (12 分)

n n ?1

n ?1 n ?1

19.试题解析:(1)由题意,设双曲线的方程为

,∵点 P(﹣3,0)在双曲线上,∴a=3.∵双

曲线 C 的离心率为: ,∴

,∵c2=a2+b2,∴b=3,∴双曲线的方程为:

(4 分),其渐近线方程为:

y=±x.(6 分) (2)由题意,直线 l 的方程为 y=2(x+3),即 y=2x+6,直线 l 与坐标轴交点分别为 F1(﹣3,0),F2(0,6), ∴以 F1(﹣2,0)为焦点的抛物线的标准方程为 y2=﹣12x;以 F2(0,4)为焦点的抛物线的标准方程为 x2=24y.(12 分) 20.(1)要使营运累计收入高于 800 元,则

所以要使营运累计收入高于 800 元,营运天数应该在
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内取值(6 分)

(2)每辆单车每天的平均营运收入为

※ -精 品 人教 试 卷- ※

当且仅当

时等号成立,解得



即每辆单车营运 40 天,可使每天的平均营运收入最大.(12 分)

21.(1)

? , an?1

?

2an an ?1

1 ? an ?1 ? 1 ? 1 ? 1 , ? an?1 2an 2 2 an

1 an?1

?1 ?

11 (
2 an

?1) ,又 a1

?

2 3

,?

1 a1

?1 ?

1 2



?

数列{ 1 ?1}是以为 1 首项, 1 为公比的等比数列…………4 分

an

2

2

1
(2)由(Ⅰ)知
an?1

?1 ?

1 2

?

1 2n?1

?

1 2n

1
,即
an

?

1 2n

?1 ,…………6 分

nn ? an ? 2n ? n .(7 分)

设 Tn

?

1 2

?

2 22

?

3 23

?



?

n 2n







1 2

Tn

?

1 22

?

2 23

?

…?

n ?1? 2n

n 2n?1

,②

由① ? ②得

1 2

Tn

?

1 2

?

1 22

?

…?

1 2n

?

n 2n?1

?

1 2

(1

?

1 2n

1? 1

)

?

n 2n?1

?1?

1 2n

?

n 2n?1



2

? Tn

?

2?

1 2n?1

?

n 2n

.又1? 2 ? 3? … ?n

?

n(n ?1) 2



Sn

?

2

?

2?n 2n

?

n

?n ?1?
2

?

n2

?n 2

?

4

?

n?2 2n

…………12 分

22.试题分析:(1)设出圆的半径,利用两个圆的位置关系,判断 S 的轨迹是椭圆,然后求解即可.

(2)求出直线方程,利用直线与椭圆的位置关系求出交点坐标,然后求解斜率即可.

(3)利用弦长公式以及点到直线的距离公式,表示三角形的面积,然后求解范围即可.

试题解析:(1)设圆 S 的半径为 R,∵点

在圆

内,且两圆相切,∴设 PS=R,QS=6﹣R,



,∴圆心 S 的轨迹为以 P,Q 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,∴2a=6,

,∴a=3,



∴b2=1,∴曲线 C 的方程为

.(3 分)

(2)由(1)可知 A(3,0),B(0,1),设 AM 的斜率为 k,则直线 AM 方程为 y=k(x﹣3),直线 BN 方程为 y=

﹣kx+1,由

,得 M 点坐标为

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(5 分)由



(6 分),所以 MN 的斜率

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(8 分)

…………12 分

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