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2015年高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时跟踪检测新人教A版必修4

【优化指导】2015 年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及 其含义课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4 难易度及题号 基础 3、5 1、2、6 4 8、11 7、9、10 12 中档 稍难 考查知识点及角度 向量的数量积的基本运算 向量的夹角与垂直问题 向量的模 1.若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是( ) ? π? A.?0, ? 2? ? C.? B.? D.? ?π ,π ? ? ?2 ? ?π ,π ? ? ?2 ? ?π ,π ? ? ?2 ? ?π ,π ?. ? ?2 ? 解析:∵a·b=|a||b|cos θ <0,∴cos θ <0.又 θ ∈[0,π ], ∴θ ∈? 答案:C 2.已知|a|=9,|b|=6 2,a·b=-54,则 a 与 b 的夹角 θ 为( A.45° C.120° 解析:cos θ = 答案:B 3.已知两个不共线的单位向量 e1,e2 的夹角为 θ ,则下列结论不正确的是( A.e1 在 e2 方向上的投影为 cos θ B.e1·e2=1 C.e1=e2 D.(e1+e2)⊥(e1-e2) 解析: 由于 e1·e2=|e1|·|e2|cos θ =cos θ , 当 θ =0 时, 有 e1·e2=1, 否则 e1·e2≠1. 故 B 不正确. 答案:B 4.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量 a 的模为 2 2 ) B.135° D.150° a·b -54 2 = =- ,又 θ ∈[0°,180°],所以 θ =135°. |a||b| 9×6 2 2 ) 1 ( ) A.2 C.6 B.4 D.12 2 2 解析:a·b=|a|×4cos 60°=2|a|,(a+2b)·(a-3b)=-72,即|a| -a·b-6|b| =-72,故|a| -2|a|-96=-72,解得|a|=6. 答案:C 2 5.已知|a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为______. 解析:∵a·b=|a||b|cos θ =12,又|b|=5, 12 12 ∴|a|cos θ = ,即 a 在 b 方向上的投影为 . 5 5 12 答案: 5 6.若|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为______. 解析:由 c⊥a 得,a· c=0,所以 a·c=a·(a+b)=0,即 a +a·b=0.设向量 a 与 2 a·b -a 1 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = =- ,所以向量 a 与 b 的夹角 θ =120°. |a||b| |a||b| 2 2 答案:120° 7.若向量|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=________. 解析:∵|a|=1,|b|=2,|a-b|=2, ∴a -2a·b+b =4. 即|a| -2a·b+|b| =4, 得 1-2a·b+4=4,∴2a·b=1. 于是|a+b|= ?a+b? 2 2 2 2 2 2 2 = a +2a·b+b = 1+1+4= 6. 答案: 6 π 8.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 ,若向量 2a+kb 与 a+b 垂直,求 k. 3 解:a·b=|a||b|cos π 1 =2×1× =1. 3 2 因为 2a+kb 与 a+b 垂直, 所以(2a+kb)·(a+b)=0. 所以 2a +2a·b+ka·b+kb =0. 所以 2×2 +2+k+k=0.所以 k=-5. 2 2 2 2 |a | 9. 已知非零向量 a, b, 满足 a⊥b, 且 a+2b 与 a-2b 的夹角为 120°, 则 =________. |b| 解析:(a+2b)·(a-2b)=a -4b ,∵a⊥b, ∴|a+2b|= a +4b ,|a-2b|= a +4b . ?a+2b?·?a-2b? a -4b a -4b 1 ∴cos 120°= = = 2 2=- . 2 2 2 |a+2b||a-2b| 2 ? a +4b ? a +4b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2 4 ∴ 2= . b 3 ∴ |a| 2 3 = . |b| 3 2 3 答案: 3 10.若向量 a 与向量 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72.求: (1)|a|; (2)|a+b|. 解:(1)(a+2b)·(a-3b)=|a| -|a||b|cos 60°-6|b| =|a| -2|a|-96=-72, 即|a| -2|a|-24=0,得|a|=6. (2)|a+b| =a +2a·b+b 2 2 2 2 2 2 2 1 =36+2×6×4× +16=76. 2 ∴|a+b|=2 19. 11. 设向量 a, b 满足|a|=1,|b|=1,且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3|a-kb|(k>0). (1)a 与 b 能垂直吗? (2)若 a 与 b 夹角为 60°,求 k 的值. 解:(1)∵|ka+b|= 3|a-kb|, ∴(ka+b) =3(a-kb) , 且|a|=|b|=1. 即 k +1+2ka·b=3(1+k -2ka·b), 2 2 2 2 k2+1 ∴a·b= . 4k ∵k +1≠0, ∴a·b≠0,即 a 与 b 不垂直. (2)∵a 与 b 夹角为 60°,且|a|=|b|=1, 1 ∴a·b=|a||b|cos 60°= . 2 2 3 ∴ k2+1 1 = .∴k=1. 4k 2 12.如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M,动点 C,D 分别在 OA,OB 上,且 OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. → → (1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点,用OA,OB


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