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【人教A版】高中数学:必修2全集第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 1.3

空间几何体

空间几何体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
A级 一、选择题 1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面 积是底面积的( A.4 倍 C. 2倍 ) B.3 倍 D.2 倍 基础巩固

解析:设轴截面正三角形的边长为 2a,

所以 S 底=πa2, S 侧=πa·2a=2πa2,因此 S 侧=2S 底. 答案:D 2.如图所示, ABC? A′ B′ C′是体积为 1 的棱柱,则四棱锥 CAA′B′B 的体积是( )

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

1 1 1 2 解析:因为 VC?A′B′C′= V 柱= ,所以 VC?AA′B′B=1- = . 3 3 3 3 答案:C 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,则这个圆 锥的全面积为( A.3π C.6π ) B.3 3π D.9π

解析:由于圆锥的轴截面是等边三角形,所以 2r=l, 1 3 又 S 轴= ×l2×sin 60°= l2= 3,所以 l=2,r=1. 2 4 所以 S 圆锥表=πr2+πrl=π+2π=3π.故选 A. 答案:A 4.(2015· 课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富 的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依恒内角,下周八尺,高 五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图所示,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米 堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的 体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放米约有( )

A.14 斛

B.22 斛 C.36 斛

D.66 斛

1 16 16 解析:由 l= ×2πr=8 得圆锥底面的半径 r= ≈ ,所以米堆 4 π 3

1 1 1 256 320 320 的体积 V= × πr2h= × ×5= (立方尺), 所以堆放的米有 4 3 4 9 9 9 ÷1.62≈22(斛). 答案:B 5.已知正方体的 8 个顶点中,有 4 个为侧面是等边三角形的一三 棱锥的顶点,则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )

A.1∶ 2 C.2∶ 2

B.1∶ 3 D.3∶ 6

解析: 棱锥 B′ ?ACD′为适合条件的棱锥, 四个面为全等的等边三 角形,设正方体的边长为 1,则 B′C= 2,S△B′AC= 三棱锥的表面积 S 锥=4× 又正方体的表面积 S 正=6. 因此 S 锥∶S 正=2 3∶6=1∶ 3. 答案:B 二、填空题 6.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积为________. 3 =2 3, 2 3 . 2

解析:由正视图可知,该圆台的上、下底面圆的半径分别为 1, 2,其高为 2,

所以其母线长 l=

?4-2?2 ? ? 2 ? ? +2 = 5, ? 2 ?

所以 S 侧=π(1+2)× 5=3 5π. 答案:3 5π 7 .下图是一个空间几何体的三视图,这个几何体的体积是 ________.

解析: 由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何 1 体,V=V 圆柱-V 圆锥=π×22×3- π×22×3=8π. 3 答案:8π 8.(2015· 福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表 面积等于________.

解析:由三视图知,该几何体是直四棱柱,底面是直角梯形,且 底面梯形的周长为 4+ 2. 则 S 侧=8+2 2,S 底=2× (1+2) ×1=3. 2

故 S 表=S 侧+S 底=11+2 2. 答案:11+2 2 三、解答题 9.已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为 2π 和 4π 的矩形,求 这个圆柱的体积. 解:设圆柱的底面半径为 R,高为 h, 当圆柱的底面周长为 2π时,h=4π, 由 2πR=2π,得 R=1, 所以 V 圆柱=πR2h=4π2. 当圆柱的底面周长为 4π时,h=2π, 由 2πR=4π,得 R=2, 所以 V 圆柱=πR2h=4π·2π=8π2. 所以圆柱的体积为 4π2 或 8π2. 10.一个正三棱柱的三视图如图所示(单位:cm),求这个正三棱 柱的表面积与体积.

解:由三视图知直观图如图所示,则高 AA′=2 cm,底面高 B′D′ =2 3cm,所以底面边长 A′B′=2 3× 2 =4(cm). 3

1 一个底面的面积为 ×2 3×4=4 3(cm2). 2 所以表面积 S=2×4 3+4×2×3=24+8 3(cm2), V=4 3×2=8 3(cm3). 所以表面积为(24+8 3)cm2,体积为 8 3(cm3). B级 能力提升

1.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆与其直径组 成的图形,则此几何体的体积是( )

20 A. π 3 C.6π

10 B. π 3 16 D. π 3

解析:该几何体的上方是以 2 为底面圆的半径,高为 2 的圆锥的 一半,下方是以 2 为底面圆的半径,高为 1 的圆柱的一半,其体积为 π×22×1 1 1 4 10 V= + × π×22×2=2π+ π= π. 2 2 3 3 3 答案:B 2.(2015· 江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆

锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体 积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个, 则新 的底面半径为__________. 解析:底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的 196π 1 2 2 圆柱的总体积为 π×5 ×4+π×2 ×8= . 3 3 28π 2 1 设新的圆锥和圆柱的底面半径为 r,则 π·r2×4+π·r2×8= r 3 3 196π = ,解得 r= 7. 3 答案: 7 3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),求该几何体的体积.

解: 由三视图知, 该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体. 1 8 V 四棱柱=23=8,V 四棱锥= ×22×2= . 3 3 8 32 故几何体的体积 V=V 四棱柱+V 四棱锥=8+ = (cm3). 3 3



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