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高中数学必修五不等式过关测试题-及答案


不等式过关测试题答案 姓名_________
1.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式成立的是 A. a ? b
2 2

考号_________
( C )

B. ac ? bc
2

2

C. a ? c ? b ? c

D.

1 1 ? a b

2. 若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是

( D



A. a ? c ? b ? c
c2 ?0 C. a ?b
2 3.不等式 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集是

B. ac ? bc D. (a ? b)c 2 ? 0 ( C C. (1, 2) )

A. (??,1)
2

B (2, ??) B. a ? 0, ? ? 0

D. (??,1) ? (2, ??)
( A )

4.不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么

A. a ? 0, ? ? 0

C. a ? 0, ? ? 0

D. a ? 0, ? ? 0

5.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是 ( A
A、 ?0,0 ? B、 ?2,4 ? C、 ?? 1,4 ? D、 ?1,8?



6.不等式 3x-2y-6>0 表示的区域在直线 3x-2y-6=0 的

A.右上方

B.右下方

C.左上方

( B ) D.左下方
( B )

?x ? 0 ? 7.已知实数 x、y 满足 ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值等于 ?x ? 4 y ? 4 ?
A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 注意:直线的交点不一定是可行域的顶点。 8. 已知 0 ? x ? A、
1 3

1 2

1 1 , 则 y ? x(1 ? 2 x) 取最大值时的 x 值是 2 2 1 1 2 B、 C、 D、 3 4 3
1 3



C



9.若函数 y ? log2 (ax2 ? 2x ?1) 的定义域为 R ,则实数 a 的范围为

a ?1



注意:值域为 R ,即真数能取遍所有正数,则 a =0或 ?

?a ? 0 ?? ? 0

1

10. 若关于 x 的不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 的解集为 ? ,, 则实数 m 的取值范围为
2

0 ??4 , ?

11.已知 x ? 0, y ? 0 且x+4 y ?40 ?0 ,则 y ? lg x ? lg y 的最大值是

2

12.若正数 x、y 满足 x +y ? xy ,则的最小值等
注意:条件转为

9

1 1 1 1 x 4y 求 ? ? 1 再 ( x ? 4 y)( ? ) ? 5 ? ? y x y x y x

?x+y-2≥0, 13.若实数 x、y 满足?x≤4, ?y≤5,

则 s=x+y 的最大值为

9



14.不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 {x ? ? x ? } , 则 a+b=

1 2

1 3

-14

.

?y≤2x 14.(本小题满分 6 分)已知实数 x、y 满足?y≥-2x. ?x≤3
(1)(3 分) 求不等式组表示的平面区域的面积; (2)(3 分) 若目标函数为 z=x-2y,求 z 的最小值. 解:画出满足不等式组的可行域如图所示:

(1)易求点 A、B 的坐标为:A(3,6),B(3,-6), 所以三角形 OAB 的面积为: 1 S△OAB= ×12×3=18. 2 1 z 1 (2)目标函数化为:y= x- ,画直线 y= x 及其平行线,当此直线经过 A 2 2 2

2

z 时,- 的值最大,z 的值最小,易求 A 点坐标为(3,6),所以,z 的最小值为 3 2 -2×6=-9.
? 1 ? 15. (本小题 12 分) 若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? , ? 2 ?

(1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集.

解: (1)依题意可得: ax2 ? 5 x ? 2 =0 的两个实数根为

1 和 2, 2

1 5 由韦达定理得: ? 2 ? ? ,解得: a ? ?2 ;........6 分 2 a

(2) 则不等式 ax2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 ,可化为 ? 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 , 解得 {x| ?3 ? x ?
1 }, 2 1 }........... 12 分 2

故不等式 ax2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集{x| ?3 ? x ?

16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 6
2

(1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R,,求实数 a 的取值范围
17.①当 x ? 0 时,求 小值 ① ∵ x?0

y?

2x 的值域 x2 ?1

②当 x ? 2 时,求函数 y=

x2 ? 4 x ? 8 的最 x?2

1 ? ? x ? 0, ?0 ?x

? x?

1 1 ? ?( ? x ? ) ? ?2 x ?x
1 即x ? ?1时,取等号 ?x



当且仅当 ? x ?

3

又∵

y?

2x 2 ? x ?1 x ? 1 x
2

? y ? [?1,0)


18.已知 x ? 0, y ? 0且

2 1 ? ? 1,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,求实数 m 的取值范围 x y

19.在等差数列 ?an ? 中,已知 a 2 ? 2 , a 4 ? 4 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 前 5 项的和 S 5 .
a

解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d 则

?a1 ? d ? 2 ? ?a1 ? 3d ? 4

解得 ?

?a1 ? 1 ?d ? 1

? an ? a1 ? (n ?1)d ? n
(2)∵ bn ? 2
an

? 2n
n

? 数列 ?b ?是以首项为 2 公比为 2 的等比数列
? S5 ?

b1 (1 ? q 5 ) ? 62 . 1? q

20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? n . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

4

(2)若 bn ? 1

?2?

an

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

解:(1)当 n 又当 n (2) 由 bn

? 1 , an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)] ? 2n ,
所以 an ,公比为

? 1 , a1 ? S1 ? 12 ? 1 ? 2 也满足上式,

? 2n 。
1 4
的等比数列,

1 1 1 1 ? ( ) an ? ( ) 2 n ? ( ) n ,知其为首项为 2 2 4 4 1 1 ( )[1 ? ( ) n ] 4 = 1 [1 ? ( 1 ) n ] 故 Sn ? 4 1 3 4 1? 4

21.数列 ?an ? 满足 a1 ? 4, a n ? 4 ?

4 a n ?1

(n ? 2), ,设 bn ?

1 an ? 2

(1)判断数列 ?bn ? 是等差数列吗?试证明。 (2)求数列 ?an ? 的通项公式 解: (1) bn ?1 ?

an 1 1 ? ? an ?1 ? 2 4 ? 4 ? 2 2an ? 4 an

bn?1 ? bn ??

an 1 1 ? ? 2an ? 4 an ? 2 2

1 ? 数列 ?bn ? 是公差为 的等差数列。 2
(2) b1 ?

1 1 n 1 1 ? , bn ? ? ?n ? 1? ? ? 2 2 2 a1 ? 2 2 ? an ? 2?n ? 1? n

?

n 1 ? 2 an ? 2

22. ⑴已知数列 an ? 6n ? 5, b n ? ⑵已知 an ? (n ? 5) ? 3
n?1

3 .求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an an ?1

, .求数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .

5

23.已知数列 ?an ? 中,其前 n 项和 Sn ? 2an ? 2 . (1)求证:数列 ?an ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? (n ? 1) ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

20. (本小题 12 分)已知数列{an}的前 n 项的和为 S n ? (1)求 a1 , a 2 , a3 ;

n(n ? 1) 2

(2)记 y=- ? +4 ? -m,不等式 y≤Sn 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立,求实
2

数 m 的取值范围. 解: (1) a1 ? S1 ? 1, 由 S 2 ? a1 ? a2 ,得 a 2 ? 2 , 由 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ,得 a3 ? 3 ;
(2)解法 1:∵ Sn

……………………1 分 ……………3 分 …………5 分

?

n2 ? n , 2

当 n=1 时, Sn 取得最小值 S min

?1

………8 分

要使对一切正整数 n 及任意实数 ? 有 即 ??
2

y ? Sn 恒成立,

? 4? ? m ? 1
2

对任意实数 ? , m ? ??

? 4? ? 1 恒成立,

? ?? 2 ? 4? ?1 ? ?(? ? 2)2 ? 3 ? 3 ,
所以 m ? 3 , 故 m 得取值范围是 [3, ?? ). ……………12 分 解法 2:由题意得: m ?

1 1 ?? 2 ? 4? ? n 2 ? n 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立, 2 2 1 1 33 2 2 , 即 m ? ?(? ? 2) ? ( n ? ) ? 2 2 8 1 1 2 33 2 因为 ? ? 2 ,n ? 1 时, ?(? ? 2) ? ( n ? ) ? 有最小值 3, 2 2 8 所以 m ? 3 ,

6

故 m 得取值范围是 [ 3 , …………… 12 分 ?? ) .

7



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