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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第二章 函数2.9


第 9 讲 函数的应用

基础巩固 1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家预 测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

【答案】D 【解析】设原有荒漠化土地面积为 b,由题意可得 by=b(1+10.4%)x,即 y=(1+10.4%)x.由此可知应选 D. 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( A.36 万件 C.22 万件 B.18 万件 D.9 万件 )

【答案】B 【解析】由题意可知利润 L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当 x=18 时,L(x)有最大值,因此该企业一个月应生产 18 万件该商品. 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的 函数,其图象可能是( 【答案】A 【解析】根据汽车加速行驶 s=at2(a>0),匀速行驶 s=vt,减速行驶 s=at2(a<0),结合函数图象可知选 A. 4.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价 每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( ) A.100 元B.110 元C.15 0 元 【答案】C 【解析】设售价在 100 元基础上提高 x 元,则依题意 y=(100+x)(1 000-5x)-80×1 000=-5x2+500x+20 000,故 当 x=50 元时,y 取最大值 32 500 元,此时售价为 150 元. 5.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分 的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元,这个人应得稿费(扣 税前)为( A.2800 元 【答案】C 【解析】设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额 y 为分段函数,由题意,得 y= 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4 000 元之间. 于是可知(x-800)×14%=420,即 x=3 800.故选 C. 6.(2013 届·河南郑州监测)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y=aent.若 5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,又过了 m min 后甲桶中的水只有 L,则 m 的值为( A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【解析】令 a=aent,即=ent,因为=e5n,故=e15n,比较知 t=15,m=15-5=10. 7.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速 上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过 【答案】 5 【解析】设 x 小时后,血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL,则有 0.3·≤0.09,即≤0.3,估算或取对数计算得 x>4,即至少经过 5 小时后,可以开车. 小时,才能开车.(精确到 1 小时) ) ) B.3000 元 C.3800 元 D.3 818 元 D.190 元 )

8.有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中 间用同样的材料 隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为 【答案】 2 500 m2 【解析】设矩形的长为 x m,宽为 m, 则 S=x·(-x2+200x). 当 x=100 时,Smax=2500 m2. 9.现有含盐 7%的食盐水 200 g,需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐 水,设需要加入 4%的食盐水 x g,则 x 的取值范围是 【答案】(100,400) 【解析】根据已知条件,设 y=, 令 5%<y<6%,即(200+x)5%<200×7%+x·4%<(200+x)6%,解得 100<x<400. 10.某厂有许多形 状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁 片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为 【答案】 180 【解析】依题意知,即 x=(24-y) , 故阴影部分的面积 S=xy=(24-y)y=(-y2+24y), 当 y=12 时,S 有最大值为 180. 11.某市原来的民用电价为 0.52 元/千瓦时,换装分时电表后,峰时段(早上 8 点至晚上 21 点)的电价为 0.55 元/千瓦时,谷时段(晚上 21 点至 次日早上 8 点)的电价为 0.35 元/千瓦时,对于一个平均每月用电量为 200 千 瓦时的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的 10%,求这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为多少? 【解】设每月峰时段用电量为 x 千瓦时,则有 (0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x) ≥200×0.52×10%, 解得 x≤118. 故这个家庭每月峰时段的平均用电量至 多为 118 千瓦时. 12.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函 数: R(x)= 其中 x 是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 【解】(1)设每月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, 从而 f(x)= (2)∵当 0≤x≤400 时,f(x)=-(x-300)2+25 000, ∴当 x=300 时,f(x)有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. 因此当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000. 故每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元. 13.现有某种细胞 100 个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按这种规律发 展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 1010 个?(精确到小时)(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301) 【解】现有细胞 100 个,先考虑经过 1,2,3,4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100; 2 小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100; 3 小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100; . . .(围墙厚度不计)

4 小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100; … 可见,细胞总数 y 与时间 x(小时) 之间的函数关系为 y=100×,x∈N. 由 100×>1010, 得>108, 两边取以 10 为底的对数,得 xlg>8, 从而可知 x>. ∵≈45.45, ∴经过 46 小时,细胞总数超过 1010 个. 拓展延伸 14.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数 据显示,从上午 6 点至中午 12 点, 车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出: y= 求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 【解】(1)当 6≤t<9 时, y'=-t2-t+36=-(t2+4t-96) =-(t+12)(t-8). 令 y'=0,得 t=-12 或 t=8. 故当 t=8 时,y 有最大值. ymax=18.75(分钟). (2)当 9≤t≤10 时,y=t+是增函数, 故当 t=10 时,ymax=15(分钟). (3)当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, 故当 t=11 时,ymax=18(分钟). 综上所述,上午 8 时,通过该路段用时最多,为 18.75 分钟.



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