9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列考试题型分析及解题方法指导


数列考试题型分析及解题方法指导
一、考点回顾 1.数列的概念,数列的通项公式与递推关系式;等差等比数列的有关公式和性质。 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常用三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (

(2) 通项公式法: ①若 an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d ,则 ?an ? 为等差数列; ②若 an ? a1qn?1 ? amqn?m ,则 ?an ? 为等比数列。
2 ? (3)中项公式法:验证 2an ?1 ? an ? an ? 2 an ?1 ? anan ? 2 n ? N 都成立。

an ) 为同一常数。 an ?1

?

?

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加 累乘法、归纳猜想证明法等。 4.数列的综合应用: ⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、数列与解析几何的综合等内容。 5.知识网络

? ?数列的分类 ? 数列 ?数列的通项公式 ? 函数角度理解 ?的概念 ? ?数列的递推关系 ? ? ? ? ?等差数列的定义an ? an ?1 ? d (n ? 2) ? ? ?等差数列的通项公式a ? a ? ( n ? 1) d ? n 1 ? ? ? ? ?等差数列 ? n n( n ? 1) ? ? ?等差数列的求和公式S n ? 2 ( a1 ? an ) ? na1 ? 2 d ? ? ? ? ? ?等差数列的性质an ? am ? a p ? aq (m ? n ? p ? q ) ? ? ?两个基 ? ?等比数列的定义 an ?q ( n?2) ?本数列 ? an ?1 ? ? ? ?等比数列的通项公式a ?a q n ?1 ? ? n 1 数列 ? ? ? 等比数列 ? ? ? a1 ?an q ? a1 (1?q n ) ( q ?1) ? ? ? ?等比数列的求和公式Sn ?? 1?q ? 1?q ? ? ? ? na1 ( q ?1) ? ? ? ? 等比数列的性质an am ?a p aq ( m ? n ? p ? q ) ? ? ? ? ?公式法 ? ?分组求和 ? ?数列 ?错位相减求和 ? ? ?裂项求和 ?求和 ?倒序相加求和 ? ?累加累积 ? ? ?归纳猜想证明 ? ? ?
二、复习建议
-1-

1. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立 “目标意识”“需要什么,就求什么” , ,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标, 往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 2.归纳——猜想——证明体现由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证思想.学习 这部分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、 综合、抽象、概括等思维能力,都有重大意义. 3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、 化归转化思想等数学思想以及特 例分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分, 先利用解析几何的 知识以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解. 三、方法总结与 2013 年高考预测 (一)方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关 系式求通项。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有 化归等比数列和可裂项的形式;数学归纳法;有的还要用到条件不等式。 3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知 识点交融的题,这应是命题的一个方向。 (二)2013 年高考预测 1. 数列中 S n 与 an 的关系一直是高考的热点, 求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意

S n 与 an 的关系。从近两年各地高考试题来看,加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给 以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考。这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、 中等题,也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌 握,还应该掌握一些特殊数列的求和. 5.有关数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等问题既是考查的重点,也是考查的难点。 四、经典例题剖析 考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题 1.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2a ? 1 (a 是常数,且 a ? ?1 ) an ? 2an?1 ? n 2 ? 4n ? 2 , (n ? 2) ,数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? an ? n 2 ( n ? 2 ) 。 (1)证明: ?bn ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (2)设 S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值; (3)当 a>0 时,求数列 ?an ? 的最小项。 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由 a 的不同而要分类讨论。
-2-

解: (1)∵ bn ? an ? n 2 ∴ bn?1 ? an?1 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? 2n 2 ? 2bn (n≥2) 由 a1 ? 2a ? 1得 a2 ? 4a , b2 ? a2 ? 4 ? 4a ? 4 ,∵ a ? ?1 ,∴ b2 ? 0 , 即 {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。 (2) Sn ? a ?

(4a ? 4)(2n?1 ? 1) ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2n 2 ?1

当 n≥2 时,

Sn (2a ? 2)2n ? 3a ? 4 3a ? 4 ? ? 2? n ?1 Sn?1 (2a ? 2)2 ? 3a ? 4 (a ? 1)2n?1 ? 3a ? 4

4 ∵ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数,∴3a+4=0,即 a ? ? 。 3 S n ?1
(3)由(1)知当 n ? 2 时, bn ? (4a ? 4)2n?2 ? (a ? 1)2n , 所以 an ? ?

? 2a ? 1

(n ? 1)

n 2 ?(a ? 1)2 ? n (n ? 2)

,所以数列 ?an ? 为 2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,??

显然最小项是前三项中的一项。

1 1 当 a ? 时,最小项为 4a 或 8a-1; 4 4 1 1 1 当 a ? ( , ) 时,最小项为 4a; 当 a ? 时,最小项为 4a 或 2a+1; 4 2 2 1 当 a ? ( , ??) 时,最小项为 2a+1。 2
当 a ? (0, ) 时,最小项为 8a-1; 点评:本题考查了用定义证明等比数列,分类讨论的数学思想,有一定的综合性。 考点二:求数列的通项与求和 例题 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 an?1 , an ? (n ? 2, n ? N ) . n 4 ?? 1? an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)设 bn ?

1 an
2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

(Ⅲ) c n ? a n sin 设

(2n ? 1)? 4 ? T , 数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn . 求证: 对任意的 n ? N , n ? . 2 7

分析:本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列,对数列中不等式的证明 通常是放缩通项以利于求和。

-3-

解: (Ⅰ)?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n?1 ] , an an?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,? 数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 . ? (?1) n ? 3(?2) n?1 , 即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1.

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) Sn ? 9 ? ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2
(Ⅲ)? sin

(2n ? 1)? (?1) n?1 1 ? (?1) n ?1 , ? cn ? . ? n ?1 n n ?1 2 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1 1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1
n ?2

当 n ? 3 时,则 Tn ?

1 1 1 1 1 1 11 12 [1 ? ( 1 ) 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 4 7 3? 2 28 1? 1 3? 2 3? 2 2

]

11 1 1 11 1 47 48 4 ? [1 ? ( ) n ? 2 ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ?T1 ? T2 ? T3 , ? 对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7 ?
点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 ?an ? 的通项 an ,第三问 不等式的证明要用到放缩的办法。 考点三:数列与不等式的联系 例题 3.已知 ? 为锐角,且 tan? ?
2

2 ?1 ,

函数 f ( x) ? x tan 2? ? x ? sin( 2? ? ⑴ 求函数 f (x) 的表达式; ⑶ 求证: 1 ?

?
4

) ,数列{an}的首项 a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) . 2

⑵ 求证: a n ?1 ? a n ;

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

分析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化 成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解:⑴ tan 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

又∵ ? 为锐角

-4-

∴ 2? ?

?
4

∴ sin( 2? ? ∵ a1 ?

?
4 1 2

) ?1

f ( x) ? x 2 ? x
∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0

2 ⑵ an?1 ? an ? an 2 ∴ an ? 0

∴ a n ?1 ? a n ∴



1 a n?1


?

1 1 1 1 ? ? ? a ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n
2 n

1 1 1 ? ? 1 ? an a n a n?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 1 1 1 ? ? 2? a1 a n?1 a n?1
1 2
2

?

∵ a2 ? ( ) ? ∴ an?1 ? a3 ? 1

1 3 3 3 ? , a3 ? ( ) 2 ? ? 1 , 又∵ n ? 2 an?1 ? an 2 4 4 4
∴1 ? 2 ?

1 a n ?1

?2

∴1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式的证 明更具有一般性。 例题 4. 已知函数 f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ? ,数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1,

1 1 an?1 ? f ? an ? ; 数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn , n ? N * .求证: 2 2
(Ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1; (Ⅱ) an ?1 ?

an 2 ; 2

(Ⅲ)若 a1 ?

2 , 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! . 2

分析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单 调性;第(3)问进行放缩。 解:(Ⅰ )先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? N .
*

(1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时, 因为 0<x<1 时, f ?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. x ?1 x ?1

所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1.
-5-

故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立. 又由 0 ? an ? 1 , 得 an?1 ? an ? an ? ln ?1 ? an ? ? an ? ? ln(1 ? an ) ? 0 ,从而 an?1 ? an . 综上可知 0 ? an?1 ? an ? 1.

(Ⅱ )构造函数 g(x)=

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x , 0<x<1, -f(x)= 2 2
又 g(x)在 ?0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0.

由 g ?( x) ?

x2 ? 0 ,知 g(x)在(0,1)上增函数. 1? x

an 2 an 2 ? f ? an ? >0,从而 an ?1 ? . 因为 0 ? an ? 1 ,所以 g ? an ? ? 0 ,即 2 2
(Ⅲ 因为 b1 ? )

1 1 n ?1 b , bn ?1 ? (n ? 1)bn ,所以 bn ? 0 , n?1 ? , 2 2 2 bn
————①,

所以 bn ?

bn bn?1 b2 1 ? ? ? b1 ? n ? n ! bn?1 bn?2 b1 2

由(Ⅱ an ?1 ? )

an 2 a a a a a a a a a , 知: n?1 ? n , 所以 n = 2 ? 3 ? n ? 1 2 ? n ?1 , 2 2 an 2 a1 a1 a2 an?1 2 2

因为 a1 ?

2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1. 2
a1 a2 an ?1 a n 2?a 2 1 ? ? a1 < n1?1 < n1 = n ————②. 2 2 2 2 2 2

所以 an ?

由① 两式可知: bn ? an ? n! . ② 点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。 考点四:数列与函数、向量等的联系 例题 5.已知函数 f(x)=

5 ? 2x ,设正项数列 ?an ? 满足 a1 =l, an?1 ? f ? an ? . 16 ? 8 x 5 (1)写出 a2 、 a3 的值; (2)试比较 an 与 的大小,并说明理由; 4

n 5 1 n (3)设数列 ?bn ? 满足 bn = - an ,记 Sn= ? bi .证明:当 n≥2 时,Sn< (2 -1). 4 4 i ?1

分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解:(1) an ?1 ?

5 ? 2an 7 3 ,因为 a1 ? 1, 所以 a2 ? , a3 ? . 16 ? 8an 8 4
-6-

(2)因为 an ? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2. 5 5 48(an ? ) a ? 5 5 ? 2an 5 3 n 4 5 5 4 ? ? , 因为 2 ? an ? 0, 所以 an?1 ? 与 an ? 同号, an ?1 ? ? ? ? 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an 4 4

5 1 5 5 5 5 ? ? ? 0 , a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, ?, an ? ? 0, 即 an ? . 4 4 4 4 4 4 5 3 1 5 3 1 3 1 ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 ? ? (3)当 n ? 2 时, bn ? ? an ? ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 , 4 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1 2 2? 5 4
因为 a1 ? 所以 bn ? 2 ? bn?1 ? 22 ? bn?2 ? ? ? 2n?1 b1 ? 2n?3 ,

所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 ?1? ? ? ??? ? ? ? 4 2 ?2?

3? n

1 (1 ? 2n ) 1 4 ? ? (2n ? 1) 1? 2 4

点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。 点评:本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养 的。
* 例题 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , nan ?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) n ? N .

?

?

(1)求 a2 , a3 , a4 ;

(2)求数列 ?an ? 的通项 an ;

(3)设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 1 2 , bn?1 ? bn ? bn ,求证: bn ? 1(n ? k ) 2 ak

分析:条件中有类似于前 n 项和的形式出现,提示我们应该考虑 an=Sn-Sn-1(n≥2) 解: (1) a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 (2) nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) ①

(n ?1)an ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an?1 )
①—②得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an



即: nan?1 ? (n ? 1)an ,

an?1 n ? 1 ? an n

所以 an ? a1

a2 a3 an 23 n ... ?1 ... ? n(n ? 2) a1 a2 an?1 1 2 n ?1

所以 an ? n(n ? N * )

(3)由(2)得: b1 ?

1 1 2 , bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? bn ?1 ? ... ? b1 ? 0 , 2 k

所以 {bn } 是单调递增数列,故要证: bn ? 1(n ? k ) 只需证 bk ? 1

-7-

若 k ? 1 ,则 b1 ?

1 ? 1 显然成立 2

若 k ? 2 ,则 bn ?1 ?

1 2 1 1 1 1 bn ? bn ? bnbn ?1 ? bn ,所以 ? ?? k k bn?1 bn k

因此:

1 1 1 1 1 1 k ?1 k ?1 ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? ? ?2? bk bk bk ?1 b2 b1 b1 k k
k ? 1 , 所以 bn ? 1(n ? k ) k ?1

所以 bk ?

点评:与数列相关的不等式证明通常需要“放缩” ,而放缩的“度”尤为关键,本题中

1 1 1 1 1 1 , 这种拆分方法是数学中较高要求的变形. ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? bk bk bk ?1 b2 b1 b1
考点五:数列与解析几何的联系 例题 7. 过曲线 C : y ? x 3 上的点 P ( x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于 P2 ( x2 , y 2 ) ,过点 P2 1 作曲线 C 的切线 l2 与曲线 C 交于点 P3 ( x3 , y3 ) ,依此类推,可得到点列: P ( x1 , y1 ) , 1

P2 ( x2 , y2 ), P ( x3 , y3 ),?, Pn ( xn , yn ),?, 已知x1 ? 1 3
(1)求点 P2、P3 的坐标; (2)求数列 {xn } 的通项公式. (3)记点 Pn 到直线 l n?1 (即直线Pn?1 Pn?2 ) 的距离为 d n ,求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 4 . d1 d 2 dn 9 解: (1) P2 (?2,?8), P3 (4,64)
2 (2)曲线 C 上点 Pn ( xn , y n ) 处的切线 l n 的斜率为 kn ? y? ? xn ? 3xn , x
2 故得到的方程为 y ? yn ? 3xn ? ( x ? xn )

? y ? x3 ? 2 2 3 联立方程 ? y ? yn ? 3xn ? ( x ? xn ) 消去 y 得: x 3 ? 3xn ? x ? 2 xn ? 0 ? 3 ? yn ? xn
化简得: ( x ? xn ) 2 ? ( x ? 2xn ) ? 0 所以: x ? xn或x ? ?2 xn

由 x ? xn 得到点 Pn 的坐标 ( xn , y n ), 由 x ? ?2 xn 就得到点 Pn ?1 的坐标 (?2 xn , (?2 xn ) 3 ) 所以:

xn?1 ? ?2 xn

故数列 {xn } 为首项为 1,公比为-2 的等比数列所以: xn ? (?2) n?1

(3)由(2)知: Pn?1 ((?2) n , (?8) n ), Pn?2 ((?2) n?1 , (?8) n?1 ),
-8-

所以直线 l n 的方程为: y ? (?8) n ? 化简得: 3 ? 4 n x ? y ? 2 ? (?8) n ? 0

(?8) n ? (?8) n?1 ( x ? (?2) n ) n n ?1 (?2) ? (?2)

dn ?

| 3 ? 4 n ? (?2) n ?1 ? (?8) n ?1 ? 2 ? (?8) n | (3 ? 4 n ) 2 ? (?1) 2


?

27 ? 8 n ?1 9 ? 4n ? 1

?

27 ? 8 n ?1 ? 9.2 n ?3 2n 3? 2

所以

1 1 1 n ?3 ? ?( ) dn 9 2

8 1 4 1 1 1 8 1 ? ??? ? (1 ? n ) ≥ (1 ? ) ? 9 2 9 d1 d 2 dn 9 2
( (D)以上都不对 )

五、强化训练 1.在等差数列 {an } 中, a6 ? a3 ? a8 ,则 S 9 ? (A) 0 【答案】A 2.在等比数列 {an } 中, a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a 2 a 4 a6
2

(B) 1

(C) ? 1

的值为 (A) ? 5 5 【答案】A (B) 5 5 (C) ? 5 5 (D) 25





3.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和。已知 S 6 ? 36, S n ? 324 S n?6 ? 144(n ? 6) 。则 n , 等于 (A) 16 (B) ( )

17

(C) 18

(D) 19

【答案】B 解析: S 6 ? (S n ? S n?6 ) ? 6(a1 ? an ) ? 36 ? (324? 144) ? 216, a1 ? an ? 36 ,

Sn ?

n(a1 ? a n ) ? 324 2


4.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) ,则 a2008 等于( (A) ? 4 (B) ? 5 (C) 4 (D) ?1

【答案】D 解析:? an?3 ? an?2 ? an?1 ? ?an ,? an?6 ? ?an?3 ? an , a2008 ? a4 ? 5 。 5. 已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m
2

等于( A. 38 【答案】C

) B. 20 C. 10 D. 9

am ? am ? am2 ? 0, am (am ? 2) ? 0, am ? 2,
2m ? 1 (a1 ? a2 m?1 ) ? (2m ? 1)a2 m ? 38, 2m ? 1 ? 19 2
2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( 2
-9-

S2 m?1 ?

6. 设函数 f(x)满足 f(n+1)=



A.95 【答案】B

B.97

C.105

D.192

1 ? ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f (2) ? 1 ? 2 n ? f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? ? f (20) ? f (19) ? 1 ? 19 ? 2 ?
相加得 f(20)-f(1)=

1 (1+2+?+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2

7. 由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3?重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6?是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 考查等差数列的性质. 【答案】B (a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. a3+a6)-(a2+a5)=(a3-a2)+(a6 ( -a5)=2d.依次类推. 8. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是( ) A. (0,

1? 5 ) 2

B. (

1? 5 ,1] 2

C. [1,

1? 5 ) 2

D. (

?1? 5 1? 5 , ) 2 2

【答案】D

?a ? aq ? aq 2 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a ? aq 2 ? aq ,即 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ?aq ? aq 2 ? a ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ?

?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 ? 2 ?1 ? 5 1? 5 ? 得 ?q ? R ,即 ?q? 2 2 ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?q ? , 或q ? ? 2 2 ?
9. 在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差,

1 tan B 是以 为第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( 3
A.钝角三角形 C.等腰直角三角形 【答案】B B.锐角三角形 D.以上都不对



1 a3 ? ?4, a7 ? 4, d ? 2, tan A ? 2, b3 ? , b6 ? 9, q ? 3, tan B ? 3 3

tan C ? ? tan( A ? B) ? 1 , A, B, C 都是锐角
10.弹子跳棋共有 60 颗大小相同球形弹子,现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛,使剩下的弹 子尽可能的少,那么剩余的弹子共有 (A) 0 颗 (B)4 颗 (C) 5 颗
- 10 -

( (D)11 颗



【答案】B 解析:最上面一层放 1 个,设最上一层是第一层,由上而下共有 n 层,第 k 层弹子数为

1 1 1 1 k (k ? 1) ,总弹子数为 (12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? n(n ? 1)( n ? 2) , 2 2 2 6


1 n(n ? 1)( n ? 2) ? 60 得 n ? 6 ,故 n ? 6 时剩余最小,且剩余 4 颗。 6


11.三个数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m(m ? 0) ,则 b 的取值范围是 ( (A) [0,

m ] 3

(B) [? m,?

m ] 3

(C) (0,

m ) 3

(D) [ ? m,0) ? (0,

m ] 3

【答案】D 解析:设 a ?

b b 1 m , c ? bq ,则有 ? b ? bq ? m,? b ? 0,? ? q ? 1 ? 。当 q ? 0 时, q q b q

m m m 1 m 1 ? ? q ? 1 ? 3 ,而 b ? 0 ,? 0 ? b ? ;当 q ? 0 时, ? ? q ? 1 ? ?1 ,即 ? ?1 , 3 b b q b q
而 m ? 0 ?b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,故 b ? [ ? m,0) ? (0,

m ]。 3

12. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________。 【答案】 ?

1 n

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ?1, ? ? ? 1 , ? ? , ? 是以 为首项,以 ?1 为 1 a1 an an?1 a? 1 an a ? ?n a n 1 1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n, an ? ? an n

公差的等差数列,

13. 数列 7,77,777,7777 ?的一个通项公式是______________________。 【答案】 a n ?

7 (10 n ? 1) 9

1 9 , 9 9 , 9 9 9 , 9 9 9 9 . . . 120? 1 , 3 ? ? 10

7 14, ? 0 ?1 , 1 0 1 ? 9

1, 7

9

2 n 14. 等比数列 ?an ? 前 n 项的和为 2 ? 1 ,则数列 an 前 n 项的和为______________。

? ?

【答案】

4n ? 1 3

Sn ? 2n ? 1, Sn ?1 ? 2n ?1 ? 1, an ? 2n ? 1, an 2? 4n ? , 1 1 ? 1, q ? 4, Sn ? a 2
4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

1 ? 4n 1? 4

15 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

n 3 2n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

4 1 2 a1 ? S1 ? a1 ? ? 22 ? 3 3 3 ,解得: a1 ? 2 15 解 (I) 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 n n an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1 ?an ? 2 ?
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

所以数列

是公比为 4 的等比数列, 所以:
- 11 -

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

4 1 2 4 1 2 2 Sn ? an ? ? 2n?1 ? ? ? 4n ? 2n ? ? ? 2n?1 ? ? ? 2n?1 ? 1?? 2n ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 (II)
Tn ? 2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n?1 ? ?? n ? n?1 ? n Sn 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以:

?T ? 2 ? ? 2 ?
i ?1 i

n

3 ? 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? 1 ?1 2 ?1 ? 2
2

16. 设点 An ( xn , P ( xn , 2n?1 ) 和抛物线 Cn : 0), n y=x +an x+bn(n∈N*), 其中 an=-2-4n-
2

1 2 n?1



xn 由以下方法得到:x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距
离是 A1 到 C1 上点的最短距离,?,点 P ?1 ( xn?1 ,2n ) 在抛物线 Cn :y=x +anx+bn 上,点 An ( xn , n 0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离. (Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列.
2

16.解:(Ⅰ)由题意,得 A(1,0),C1:y=x2-7x+b1. 设点 P(x,y)是 C1 上任意一点,则|A1P|= ( x ? 1) ? y ?
2 2

( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? 7 x ? b1 ) 2 .

令 f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则 f ?( x) ? 2( x ?1) ? 2( x2 ? 7 x ? b1 )(2x ? 7). 由题意得, f ?( x2 ) ? 0 , 即 2( x2 ?1) ? 2( x22 ? 7 x2 ? b1 )(2x2 ? 7) ? 0. 又 P2(x2,0)在 C1 上,∴2=x22 -7x2+b1 解得 x2=3,b1=14.故 C1 方程为 y=x2-7x+14. (Ⅱ)设 P(x,y)是 C1 上任意一点,则|AnP|= ( x ? xn ) ? y ?
2 2

( x ? xn )2 ? ( xn 2 ? an x ? bn )2 .

令 g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则 g?( x) ? 2( x ? xn ) ? 2( x 2 ? an x ? bn )(2x ? an ) , 由题意得, g ?( xn?1 ) ? 0 , 即 2( xn?1 ? xn ) ? 2( xn?12 ? an xn?1 ? bn )(2xn?1 ? an ) =0,
2 又∵ 2n ? xn?1 ? an xn?1 ? bn ,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1), 即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0,

(*)

下面用数学归纳法证明 xn=2n-1. ① 当 n=1 时,x1=1,等式成立. ② 假设当 n=k 时,等式成立,即 xk=2k-1. 则 当 n=k+1 时 , 由 (*) 知 (1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又 ak=-2-4k-

1 2 k ?1

, ∴

xk ? 2k ak xk ?1 ? ? 2k ? 1 . 1 ? 2k ?1
即当 n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对 n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. 17. 已知 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足 a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0。 (1) 用 an 表示 an+1; (2)求证: n-1}是等比数列; {a (3)若 bn=3f(an)-g(an+1),求{bn}的最大
- 12 -

项和最小项。 17.解: (1)∵(an+1-an)g(an)+f(an)=0,f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1) ,

3 1 an ? 。 4 4 3 3 (2)∵ a n ?1 ? 1 ? ( a n ? 1) ,∴{an-1}是以 a1-1=1 为首项, 为公比的等比数列。 4 4 3 n ?1 3 n ?1 (3)由(2)可知:an-1= ( ) ,∴an= ( ) +1。 4 4 3 2n?2 3 3 3 ? 4( ) n = 3 ? ( ) n ?1 [( ) n ?1 ? 1] 从而 bn= 3f(an)-g(an+1)= 3( ) 4 4 4 4 3 n 3 n ?1 1 3 3 因为 y= ( ) 为减函数,所以 bn 中的最大项为 b1 =0, 又 bn= 3[( ) ? ] ? ? ? , 4 2 4 4 4 3 n ?1 1 3 n ?1 1 ? ,所以只须考虑 ( ) 接近于 。 当 n 为整数时, ( ) 4 2 4 2 3 n ?1 9 1 1 3 n ?1 27 1 5 当 n=3 时, ( ) = 与 相差 ,当 n=4 时, ( ) = 与 相差 4 16 2 16 4 64 2 64 5 1 189 而 > ,所以 bn 中最小项为 b3 ? ? . 64 16 256 x?3 ( x ? ?1) .设数列 { a n } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ,数列 {bn } 满足 18. 已知函数 f ( x) ? x ?1
∴(an-1) n+1-3an-1)=0, 又 a1=2,∴ a n ?1 ? (4a

bn ?| an ? 3 | , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,
(Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ?

( 3 ? 1) n 2? 3 ;(Ⅱ)证明 S n ? . n ?1 2 3
2 ? 1. 因为 a1=1,所以 a n ? 1(n ? N*). x ?1
下面

18、解(Ⅰ)证明:当 x ? 0时, f ( x ) ? 1 ? 用数学归纳法证明不等式 bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立,

( 3 ? 1) k (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ? . 2 k ?1
那么

bk ?1 ?| ak ?1 ? 3 |?

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 ? bk ? . 2 2k 1 ? ak

所以,当 n=k+1 时,不等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1)2 ( 3 ? 1)n ?? ? 2 2n?1

- 13 -

3 ?1 n ) 1 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (
? 故对任意 n ? N , S n ?

2 3. 3

19.已知抛物线 x2 ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作斜

1 1 的直线交抛物线于点 P ,再过 P 作斜率为 的直线交抛物线于点 P ,? ,如此继续,一 2 2 3 2 4 1 般地,过点 P 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P ( xn , yn ) . n n 2 (Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列. 3 1 (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n ? 1 与 的大小. 4 3n ? 10 2 2 19、解: (1)因为 P ( xn , yn ) 、 P ?1 ( xn?1 , yn?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 yn , ① xn?1 ? 4 yn?1 ②,又 n n
率为 因为直线 P P ?1 的斜率为 n n

y ? yn 1 1 ,即 n ?1 ? ,①②代入可得 n 2 xn ?1 ? xn 2

1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 ?bn ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) 4 xn?1 ? xn 2 2 b 1 1 1 1 1 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?3 ? ? 2 n ?2 ,故 n ?1 ? ? {bn } 是以 为公比的等比数列; 4 2 2 2 bn 4 4 1 3 1 n (2) S n ? ? (1 ? n ) ? S n ? 1 ? n ,故只要比较 4 与 3n ? 10 的大小. 3 4 4 4 n(n ? 1) 2 n n 1 2 2 3 ? 1 ? 3n ? 9 ? 3n ? 10( n ? 3) , 方法(一) 4 ? (1 ? 3) ? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ? ? 1 ? 3n ? 2 3 1 3 1 当 n ? 1 时, Sn ? 1 ? ; 当 n ? 2 时 Sn ? 1 ? ; 4 3n ? 10 4 3n ? 10 3 1 * 当 n ? 3, n ? N 时, S n ? 1 ? . 4 3n ? 10 k 方法(二)用数学归纳法证明,其中假设 n ? k (k ? 3, k ? N ) 时有 4 ? 3k ? 10 , k ?1 k 则当 n ? k ? 1 时, 4 ? 4 ? 4 ? 4(3k ? 10) ? [3(k ? 1) ? 10] ? 9k ? 27 ? 3(k ? 1) ? 10 .

- 14 -



更多相关文章:
数列考试题型分析及解题方法指导.doc
数列考试题型分析及解题方法指导 - 数列考试题型分析及解题方法指导 一、考点回顾
数学数列题型归纳解题方法.doc
数学数列题型归纳解题方法数列题型归纳。 数列 等差数列与等比数列 1.基本量的...也可用“归纳猜想证明”法来求,这也是近年高考考得 很多的一种题型. 12 ...
数列考试题型分析及解题方法指导.doc
数列考试题型分析及解题方法指导 - 数列考试题型分析及解题方法指导 浠水一中 一
PEC 数列考试题型分析及解题方法指导.doc
PEC 数列考试题型分析及解题方法指导 - 数列考试题型分析及解题方法指导 一、
教师资格备考:数列常见题型及解题技巧.doc
教师资格备考:数列常见题型及解题技巧海南教师资格考试网针对数学学科笔试中相对比较重要的一个部分数列进行简单的讲 解,着重分析一下数列常考的题型以及解题技巧。 ...
浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法.doc
浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法高考对数列的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.特别是求递推数 列通项公式更是数列知识的一个...
高中数学数列试题解题方法与技巧.doc
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学数列试题解题方法与技巧 作者...从整体上分析,这种类型的题目考查了学生对等差数列的掌握情况,也对是否灵 活...
高考数学数列问题的题型与方法.doc
高考数学数列问题的题型与方法_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第 11 讲...深化数学思想方法解题实践中的指导作用,灵活地运用 数列知识和方法解决数学和...
高考数学 数列问题的题型与方法.doc
本 章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数方程、转化化归、...深化数学思想方法解题实践中的指导作用, 灵活地运用数列知识和方法解决数学...
数列问题的题型与方法.doc
高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 第2讲一、考试内容 数列问题的...解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法解题实 践中的指导作用,...
高考数学复习之数列题型及解题方法.doc
高考数学复习之数列题型及解题方法 数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面, 等差数列,等比数列的考...
高三复习数列知识点和经典试题解题方法归纳(非常全).doc
高三复习数列知识点和经典试题解题方法归纳(非常全)_高三数学_数学_高中教育_...___. (四川卷第 16 题) 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,...
数字推理题型的7种类型28种形式解题方法.doc
数字推理题型的7种类型28种形式解题方法_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。...[例 6] 68 [解析] 此数列表面上看没有规律, 但它们后一项与前一项的差...
高三数学重点知识解析 数列题型与分析教案.doc
解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法解题实践中 的指导作用,...的精神科学理性的思维方 法. 二.考试要求: 1.理解数列的概念,了解数列通项...
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略.doc
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 - 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【考试要求】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列...
数列求通项公式的常见题型与解题方法(已打).doc
数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每 年都不会遗漏.有关...
2011年高考数学考点解析练习之数列问题的题型与方法.doc
七彩教育网 教学资源免费共享平台 分享资源价值 数列问题的题型与方法一、考试...解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法解题实 践中的指导作用,...
数量关系测验题型及解题技巧数字推理题(上).doc
数量关系测验题型及解题技巧数字推理题(上) - 公务员考试数量关系测验题型及解题技巧数字推理题(上) 数字推理题主要有以下几种题型: 1.等差数列及其变式 例题...
公务员考试数量关系测验题型及解题技巧.doc
公务员考试数量关系测验题型及解题技巧 - 公务员考试数量关系测验题型及解题技巧数字推理题 数字推理题主要有以下几种题型: 1.等差数列及其变式 例题:1,4,7,10...
高考数学大题必考题型及解题技巧分析.doc
高考数学大题必考题型及解题技巧分析_高考_高中教育_教育专区。快戳!数学 6 大...高考对 本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗 漏。 有...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图