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数学:2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》第一课时PPT课件


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-2

2.1.1《合情推理与 演绎推理-合情推理》

教学目标
? 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了

解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进 行简单的推理,体会并认识合情推理在数学 发现中的作用 ? 教学重点: ? 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,体会并认识合情推理在数 学发现中的作用

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1《合情推理-归纳推理》

歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和” 即:偶数=奇质数+奇质数

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3 +3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质 数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说 ,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家 都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明 尚待数学家的努力。 从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才 有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛 选法证明,得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为 (99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9 十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最 后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的,称为陈氏定理(Chen?s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年,意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”,其中c是一很大的自然 数 。 1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年,中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”, 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢?现在还没法预测。

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程:



这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

an = 1 + an

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10

欧拉公式
6 8 9 10 12 12

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

7 7
9

15 15
16

10 9

1 1 1 * 练习:f(n)=1+ + + L + (n ? N )计算得 2 3 n 3 5 7 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f (32) > 2 2 2 L , 推测当n ? 2时,有-----------------.

例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

2

1

3

作业:P93 1. 3. 4

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1《合情推理-类比推理》

1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.

科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.

地球

火星

行星,围绕太阳运行,绕 轴自传 有大气层 一年中有季节的变化 温度适合生物的生存
有生命存在

行星,围绕太阳运行,绕 轴自传 有大气层 一年中有季节的变化 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存 可能有生命存在

利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理, 称为类比推理.(简 称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.

例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A B

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC

C
S2

P

a a B cc

b A E

D
S3

S1

F

?C ? 90?
3条边的长度a,b,c

?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 90?
4个面的面积S , S , S 和 S
1 2 3

2条直角边a,b和1条斜边c

S1 , S2 , S3 3个“直角面” 一个“斜面” S



? 例2

类比实数的加法和乘法,列出它们相 似的运算性质。
实数的加法 实数的乘法 若 a, b ? R 则 a ? b ? R 若 a, b ? R 则 ab ? R
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (ab)c=a(bc)

类比角度 运算结果 运算律(交 换律和结合 律) 逆运算

加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法 使得方程a+x=0 使得ax=1有唯一解 1 x ? 有唯一解x=-a a a+0=a a.1=a

单位元

例3:(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢16进1的计算制,采用数字09和字母A-F共16个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表;
十六进位 十进位

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

十六进位
十进位

8 8





10


11


12


13


14


15

例如用16进位制表示E+D=1B,则 A×B=( A ) A.6E B.72 C.5F D.0B

例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例,推广的命题为------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或 ---b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 --------------------------------------------------------- 方程. ----------------------------------------------------------------.

作业:P93-94
A组

5. B组

1.



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