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高中复习专题之平面向量


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第八章 平面向量 知识网络

向量的概念 向量的加,减法 向量的运用 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 平面向量的基本定理及坐标表示 几何中的运用 向量的运用 物理学中的运用 两点间的距离 向量的夹角 两向量平行的充要条件

向量的坐 标运算

两向量垂直的充要条件 向量的模

第 1 讲 向量的概念与线性运算 ★ 知 识 梳理 ★ 1.平面向量的有关概念: (1)向量的定义:既有____大小又有方向_________的量叫做向量. (2) 表示方法: 用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小, 用_____箭头所指的方向____ 表示向量的方向.用字母 a,b,…或用 AB , BC ,…表示.
特别提醒: 特别提醒: 提醒

1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或| AB |. 2) 3) 4) 5) 零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向不确定. 单位向量:长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量. 共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. 相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2.向量的线性运算 1.向量的加法:
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(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 如图,已知向量 a,b, 在平面内任取一点 A ,作 AB = a, BC = b,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即
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a+b = AB + BC = AC
C a a+b b B D b a b 三三平平平 A a 平平平平平平平 a+b C

B

(1)

特殊情况:
a
b
a + b

A

a
b
a + b

A

B

C

C

A

(2 )

(3 )

B

对于零向量与任一向量 a,有 a +0 = 0 + a = a (2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______ (3)运算律:____ a+b=b+a;_______,____(a+b)+c=a+(b+c)._______ 2.向量的减法: (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. 已知向量 a,b,求作向量 ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一点 O, 减法的三角形法则 作 OA = a,

OB = b, 则 BA = a b
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即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 注意: 1)

AB 表示 a b 强调:差向量"箭头"指向被
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减数 (b)

2) 用"相反向量"定义法作差向量,a b = a + 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一
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a ‖b ‖c
a b

a b = a + (b) ab
O B A B' O B

a b
ab A

(2)法则:____三角形法则_______ ab a ab 3.实数与向量的积: O B a O b (1)定义:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0 时,λa 的方向与 a 的方 a A a A b B 向相同;当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当λ=0 时,λa 与 a 平行. a a
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(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a, (λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb. a a a a b
特别提醒: 特别提醒:

1) 向量的加,减及其与实数的积的结果仍是向量. 2) 重要定理: 向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得 b=λa,即 b‖a b=λa(a≠ a a 0). ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点: 1.重点:理解向量及与向量相关的概念,掌握向量的几何表示,掌握向量的加法与减法,会正确运用三角形法则,平 重点 行四边形法则. 2.难点: 2.难点:掌握向量加法的交换律,结合律,并会用它们进行向量化简与计算. 难点 3.重难点:. 重难点: 重难点
问题 1: 相等向量与平行向量的区别

答案:向量平行是向量相等的必要条件.
问题 2:向量平行(共线)与直线平行(共线)有区别 答案:直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线(重合)的情况. 问题 3:对于两个向量平行的充要条件: 0 0 a‖b a=λb,只有 b≠0 才是正确的.而当 b=0 时,a‖b 是 a=λb 的必要不充分条件. b b 问题 4;向量与有向线段的区别: (1)向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的 向量; (2)有向线段有起点,大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一: 考点一: 向量及与向量相关的基本概念 题型 1. 概念判析 [例 1]判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (3)单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (7)若 a // b , b // c ,则 a // c (9) a = b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ;
[解题思路]:正确理解向量的有关概念,以概念为判断依据,或通过举反例说明. 解题思路] 解析:解:(1) 不正确,零向量方向任意, 解析:

(2)若 a = b , 则a = b (4) 向量就是有向线段 (6)若 a = b , b = c ,则 a = c ; (8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB = CD, BC = DA

方向很多

(2) 不正确,说明模相等,还有方向 (3) 不正确,单位向量的模为 1, (4) 不正确, 有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确, (6) 正确, 向量相等有传递性 (7)
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不正确,因若 b = 0 ,则不共线的向量 a, c 也有 a // 0 , 0 // c .(8) 不正确, 如图 (9)不正确,当 a // b ,且方向相反时,即使 | a |=| b | ,也不能得到 a = b ;

AB = CD, BC ≠ DA

【名师指引】对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题.

【新题导练】 1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB = DC ⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 AB , AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④,⑤正确.⑥不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点 评述:本题考查基本概念,对于零向量,单位向量, 及相互关系必须把握好.
2.下列命题正确的是(

不同,但其终点却相同. 平行向量,共线向量的概念特征

) A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可 以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只 要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题 来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与 b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C.

考点二: 向量的加 的加, 考点二: 向量的加,减法 考查加加, 题型 1: 考查加加,减法运算及相关运算律
[例 2] 化简 ( AB CD ) ( AC

BD)

[解题思路]:考查向量的加,减法,及相关运算律. 解题思路]

解法一(统一成加法)
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( AB CD) ( AC BD) = AB CD AC + BD = AB + DC + CA + BD
= AB + BD + DC + CA = 0 解法二(利用 OA OB = BA )

( AB CD) ( AC BD) = AB CD AC + BD
= ( AB AC ) CD + BD = CB CD + BD = DB + BD = 0 解法三(利用 AB = OB OA ) 设 O 是平面内任意一点,则 ( AB CD ) ( AC BD ) = AB CD AC + BD = (OB OA) (OD OC ) (OC OA) + (OD OB ) = OB OA OD + OC OC + OA + OD OB = 0 【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律,结合律等基础知识.在求解时需将杂乱的向量运算式有序化 处理,必要时也可化减为加,减低出错律. 结合图型考查向量加, 题型 2: 结合图型考查向量加,减法 [例 3] (2008广州市一模)在 ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 (2008广州市一模 广州市一模)

PA + PB + PC = AB ,则 PBC 与 ABC 的面积之比是(
A.

)

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

[解题思路]: 本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此,可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解. 解题思路]

【解析】由 PA + PB + PC = AB ,得 PA + PB + BA + PC = 0 , 即 PC = 2 AP ,所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分点,如图所示. 故

S PBC BC PC 2 = = . S ABC BC AC 3

5-1-2 【名师指引】三角形中两边对应向量已知,可求第三边所对应的向量.值得注意的是,向量的方向不能搞错.当向量运 算转化成代数式运算时,其运算过程可仿照多项式的加减运算进行. 【新题导练】 3.若 3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n. 解析: 解析:记 3m+2n=a① m-3n=b② 3×②得3m-9n=3b③
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1 3 a - b④ 11 11 3 2 将④代入②有:m=b+3n= a+ b 11 11
①-③得 11n=a-3b. ∴n= → → → → 4.如图,在ΔABC 中,D,E 为边 AB 的两个三等分点,CA =3a,CB =2b,求CD ,CE . → → → 解析: AB =AC +CB = -3a+2b, 解析: → 因 D,E 为AB 的两个三等分点, A

D

2 → 1→ → 故AD = AB =-a+ b =DE , 3 3 2 2 → → → CD =CA +AD =3a-a+ b =2a+ b, 3 3 2 2 4 → → → CE =CD +DE =2a+ b-a+ b=a+ b. 3 3 3
考点三: 考点三: 向量数乘运算及其几何意义 题型 1: 三点共线问题

E B

C

[例 4] 设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB [解题思路]:证明存在实数 λ ,使得 AB 解题思路]

= 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 e2 ,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值

= λ BD

解析: 解析: BD = CD CB = e1 4e2 , 使 AB = λ BD ∴ 2e1 + k e2 = λ (e1 4e2 ) 得 λ = 2, k = 4λ k = 8
[例 5] 已知 A,B,C,P 为平面内四点,求证:A,B,C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数 m,n,使PC =mPA





→ +nPB ,且 m+n=1.
[解题思路]: A,B,C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ,使得AC =λAB .很显然,题设条件中向量表达式并未 解题思路]





→ → → → → 涉及AC ,AB ,对此,我们不妨利用 PC =PA +AC 来转化,以便进一步分析求证. → → → 解析: 解析:证明 充分性,由PC =mPA +nPB , m+n=1, 得 → → → → → PA +AC =mPA +n(PA +AB ) → → → → =(m+n)PA +nAB =PA +nAB , → → ∴AC =nAB . ∴A,B,C 三点共线. → → 必要性:由 A,B,C 三点共线知,存在常数λ,使得AC =λAB ,
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→ → → → AP +PC =λ(AP +PB ) .

→ → → → → PC =(λ-1)AP +λPB =(1-λ)PA +λPB , m=1-λ,n=λ,m+n=1, → → → PC =mPA +nPB .
【名师指引】 1,逆向应用向量加法运算法则,使得本题的这种证法比其他证法更简便,值得一提的是,一个向量拆成两个向量的和,

一定要强化目标意识. 2,这是一个重要结论,要牢记. 题型 2: 用向量法解决几何问题
[例 6] 已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,

求证: OA + OB + OC + OD =4 OE

[解题思路]:由平行四边形的对角线互相平分和相等向量 解题思路]

的定义可得.

解析: 解析:证明:∵E 是对角线 AC 和 BD 的交点 ∴ AE = EC = CE , BE = ED = DE

D

C

O
在△OAE 中, OA + AE = OE 同理

A

B OD + DE = OE

OB + BE = OE , OC + CE = OE , OA + OB + OC + OD =4 OE

以上各式相加,得 语言的互译 【新题导练】
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【名师指引】用向量法解平面几何问题,实质上是将平面几何问题的代数化处理,在解题中应注意进行向量语言与图形

5. 已知 a , 是两个不共线的向量, b 若它们起点相同, , b , a + b ) a t ( 三向量的终点在一直线上, 则实数 t=_________. 【解析】如图, ∵ a ,

1 2

1 b ,t( a + b )三向量的终点在一直线上, 2 1 1 ∴存在实数 λ 使:t( a + b )— b = λ ( a — b ) 2 2 1 1 得(t— λ ) a =( — λ —t) b 2 2 1 1 又∵ a , b 不共线,∴t— λ =0 且 — λ —t=0 2 2 1 解得 t= 3

b
t(a + b)

a

5-1-3

6.向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知四边形 ABCD,AC 与 BD 交于 O,AO=OC,DO=OB, 求证:ABCD 是平行四边形.
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A

D

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B

C

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证:如图:∵ AB = AO + OB , DC = DO + OC 又由已知 AO = OC , DO = OB ∴ AB = DC ,故 AB 与 DC 平行且相等,所以 ABCD 是平行四边形.

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)共线向量一定在同一条直线上. (2)所有的单位向量都相等. (3)向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线. (4)向量 a 与 b 共线,则 a // b
→ →

( (


) ) ) ) )











( ( (





→ →

(5)向量 AB// CD ,则 AB // CD .

(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量. ( ) 解: (1)错.因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量,而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量,即共线 向量不一定在同一条直线上. (2)错.单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量,而其方向不一定相同,它不符合相等向量的意义. (想一想:你能举出反例吗?又若 b ≠ 0 时, (3)错.注意到零向量与任意向量共线,当 b 为零向量时,它不成立. 此结论成立吗?) (4)对.因共线向量又叫平行向量. (5)错.平行向量与平行直线是两个不同概念,AB,CD 也可能是同一条直线上. (6)错.平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反. 2. (四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中, →=2DC"是"四边形 ABCD 为梯形"的 "AB → A,充分不必要条件 答案:A B,必要不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条件
→ → →

AB = 2 DC

四边形 ABCD 为梯形,但反之不成立.选 A )

3.已知向量 l1 ≠ 0, A, λ = 0

λ ∈ R, a = l1 + λl 2 , b = 2l1 ,若向量 a和b 共线,则下列关系一定成立的是(
B, l 2 = 0 C, l1 // l2 D, l 2 = 0 或 λ = 0

答案:D 提示:考虑情况要充分.

4. D, F 分别是△ABC 的 BC, . E, CA, 上的中点, BC = a , CA = b , AB 且 给出下列命题, 其中正确命题的个数是 (

)

1 ab 2 1 1 ③ CF = a + b 2 2
① AD =

② BE = a +

1 b 2

④ AD + BE + CF = 0
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A,1 B,2 C,3 D,4 答案:D 提示:结合图形及向量加减法的几何意义,易得 4 个命题均是正确命题. 5.已知: AB = 3(e1 + e 2 ), A,A,B,C 三点共线 C,C,A,D 三点共线 6. (广东北江中学 2008 高三统测) 若 | OA + OB |=| OA OB | 则向量 OA, OB 的关系是( A.平行 答案:C 故选 C A 综合拔高训练 7 . ( 安 徽 省 合 肥 市 2008 年 高 三 年 级 第 一 次 质 检 ) 如 图 , 已 知 B.重合 C.垂直 D.不确定 )

BC = e1 e 2 , CD = 2e1 + e 2 ,则下列关系一定成立的是(
B,A,B,D 三点共线 D,B,C,D 三点共线

)

答案:C 解析: AC = 2CD ,所以 C,A,D 三点共线

提示:| OA + OB | 与 | OA OB | 分别表示平行四边形的两条对角线,它们相等,即说明四边形 ABCD 为矩形.

AB = a, AC = b, BD = 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD = ( )
A. a +

B D

C

3 b 4

B.

1 3 1 1 a + b C. a + b 4 4 4 4

D.

3 1 a+ b 4 4

答案:B 解析: AD = AB + BD = AB +

3 3 1 3 BC = AB + ( AC AB ) = a + b 4 4 4 4

8.已知 a + b = e1 + 3e 2 , a - b = e1 2e 2 ,用 e1 , e 2 表示 a = 答案: e1 +
1 e2 提示: a + b )+( a - b )= e1 + 3e 2 + e1 2e 2 = 2e1 ( 2 1 e2 2

.

+ e2

所以 a = e1 +

2 9.已知 a = t e1 + (k 1)e 2 , b = (2t + 1)e1 3e 2 ,且 a // b ,试求 t 关于 k 的函数.

答案: ∵ a // b ,则 -3t = ( 2t + 1 )( k – 1 )

2

∴t =

1 k2 1 + 2k 2

10.如图,在△OAB 中, OC =

1 1 OA , OD = OB ,AD 与 BC 交于 M 点,设 OA = a , OB = b , (1)试用 a 和 b 表示 4 2

向量 OM (2)在线段 AC 上取一点 E,线段 BD 上取一点 F,使 EF 过 M 点,设 OE = λ OA , OF =
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OB .

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求证:

1 3 + = 1. 7λ 7
1 ) 设



: (

OM = ma + nb

,



AM = OM OA = ma + nb a = (m 1)a

+

b

,

AD = OD OA =


m 1 n = 1 1 2

1 1 OB OA = a + b ,∵A,M,D 三点共线, ∴ AM与 AD 共线, 2 2 1 1 1 ∴m+2n=1……① 而 CM = OM OC = m a + nb a , CB = OB OC = b a = a + b , 4 4 4

∵C,M,B 三点共线, ∴ CM 与CB 共线

1 4 =n ∴ 1 1 4 m

∴4m+n=1……②

联立①,②解得 m=

1 3 1 3 , n= ,故 OM = a + b . 7 7 7 7

( 2 ) 证 明 : ∵ EM = OM OE =

1 3 1 3 1 3 a + b λ OA = a + b λ a = ( - λ ) a+ b , 7 7 7 7 7 7

EF = OF OE = OB λ OA = λ a + b 1 3 λ ∴7 =7 λ


∵ EF与EM 共线,



1 3 - λ = (λ ) 7 7

1 3 + λ = λ 7 7

1 3 + = 1. 7λ 7

第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示 ★ 知 识 梳理 ★ 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量,那么对于这一平面内的__任 一__向量 a ,有且只有_一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2
特别提醒: 特别提醒:

(1)我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一 λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量
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2.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴, y 轴 量_ i , j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面向量基
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方向相同的两个__单位向 本定理知,有且只有一对

1 实数 x , y ,使得 a = xi + yj …………○,

我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作
2 a = ( x, y ) …………○

2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向量的坐标表示 向量的坐标表示

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与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y ) . ..........

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特别地, i = (1, 0) , j = (0,1) , 0 = (0, 0)
特别提醒: 特别提醒:设 OA

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= xi + yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐
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标 因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
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3.平面向量的坐标运算

(1) 若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ,

a b = ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 (2) 若 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB = ( x2 x1 , y2 y1 ) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 (3)若 a = ( x, y ) 和实数 λ ,则 λ a = (λ x, λ y ) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
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4.向量平行的充要条件的坐标表示:设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ≠ a

a ‖ b ( b ≠ 0 )的充要条件是 x1 y2 x2 y1 = 0
★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点: 1.重点: 重点 (1)了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解; (2)理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加,减与数乘运算; 2.难点 难点: 2.难点:用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线. 3.重难点: 重难点: 重难点 平行的情况有方向相同和方向相反两种 (1)平行的情况有方向相同和方向相反两种 问题 1:和 a = (3,-4)平行的单位向量是_________;
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错解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量就是 错解 错因:在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况. 错因 正解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量是 ±

1 3 4 a ,即 ( ,- ) 5 5 5 1 3 4 3 4 a ,即( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 5

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一: 平面向量基本定理 考点一: 平面向量基本定理 题型 1. 利用一组基底表示平面内的任一向量
[例 1] 在△OAB 中, OC

A

1 1 = OA, OD = OB , 与 BC 交于点 M, OA = a , AD 设 4 2 C

OB = b , 用
M

a , b 表示 OM .
O B D 解题思路] 若 则根据平面向量的基本定理, 平面内的任何向量都可用 e1 , e2 [解题思路]: e1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量, 线性表示.本例中向量 a , b 可作基底,故可设 OM =m a +n b ,为求实数 m,n,需利用向量 AM 与 AD 共线,向量 CM 与

CB 共线,建立关于 m,n 的两个方程.

解析: 解析:设 OM =m a +n b ,

则 AM = ( m 1) a + nb , AD = a + ∵点 A,M,D 共线,∴ AM 与 ∴

1 b 2

AD 共线,

m 1 n ,∴m+2n=1. ① = 1 0 .5 1 1 而 CM = OM OC = ( m ) a + nb , CB = a + b 4 4
∵C,M,B 共线,∴ CM 与 CB 共线,

1 4 = n ,∴4m+n=1. ② ∴ 1 1 4 1 3 1 3 联立①②解得:m= ,n= ,∴ OM = a + b 7 7 7 7 m
[例 2] 已知

A Q R B P C

P 是 ABC 所在平面内一点, AP 的中点为 Q , BQ 的中点为

R , CR 的中点为 S .

证明:只有唯一的一点 P 使得 S 与 P 重合.

[解题思路]:要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量 解题思路] 选校网 www.xuanxiao.com

AP 可用一组基底唯一表示.

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析: [证明]设 AB 解析:

= a, AC = b ,

1 1 1 ( AR + AC ) = [ ( AB + AQ) + AC ] 2 2 2 1 1 1 = AB + AC + AP , 4 2 8 7 1 1 由题设知: AS = AP ∴ AP = AB + AC 8 4 2 2 4 ∴ AP = a + b 7 7
则 AS = 由于 a , b 是确定的向量,所以 AP 是唯一的一个向量,即 ABC 所在平面内只有唯一的一点 P 使得 S 与 P 重合.

【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底,通过向量的加,减,数乘以及向量平行的充要条件,把其它相关的 向量用这一组基底表示出来,再利用向量相等建立方程,从而解出相应的值.

【新题导练】
1.若已知 e1 , e 2 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 (

)

A. e1 与— e2 答案:D

B.3 e1 与 2 e2

C. e1 + e2 与 e1 — e2

D. e1 与 2 e1
A N P C B

2.在△ABC 中,已知

AM∶AB =1∶3, AN∶AC =1∶4,BN 与 CM 交于点 P,且

M

AB = a, AC = b ,试 用 a, b 表示 AP .
解:∵ AM∶AB =1∶3, AN∶AC =1∶4,,

1 1 1 1 AB = a , AN = AC = b , 3 3 4 4 ∵ M,P,C 三点共线,故可设 MP = t MC ,t∈R , 于是, R 1 1 1 1 t AP = AM + MP = a + t MC = a + t (b a ) = ( )a + tb …… ① 3 3 3 3 3 1 s 同理可设设 NP = sNB ,s∈R , AP = AN + NP = ( )b + sa .…② R 4 4 1 t 1 s 由①②得 ( s ) a + (t + )b = 0 , 3 3 4 4 3 2 3 2 由此解得 s = , t = ,∴ AP = a+ b. 11 11 11 11
∴ AM = 考点二: 考点二: 平面向量的坐标表示与运算 题型 1: 向量加,减,数乘的坐标运算 向量加
[例 3] 已知 A(—2,4) ,B(3,—1) ,C(—3,—4)且 CM

= 3CA , CN = 2CB ,求点 M,N 的坐标及向量 MN 的坐

标.
[解题思路]: 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解. 解题思路]

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析: ,B(3,—1) ,C(—3,—4)∴ 解析: ∵A(—2,4)

CA = (1 , 8 ), CB = ( 6 , 3 )

, ∴ CM = 3CA =3(1,8)=(3,24) CN = 2CB =2(6,3)=(12,6) 设 M ( x, y ) ,则 CM = ( x + 3, y + 4) 因此

x+3= 3 y + 4 = 24



x=0 ,∴ M ( 0 , 20 ) y = 20

同理可得 N ( 9 , 2 ) ,∴ MN =(9—0,2—20)=(9,—18)

【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式.

【新题导练】 3. 若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC =

答案:(-3,-3) 解: AB 2 BC =(1,1)2(2,2)=(-3,-3) 4.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP = 解:设 P(x,

x 3 = 4 y+2= 1 2

1 MN , 求 P 点的坐标; 2 1 1 y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, ) 2 2 x = 1 3 3 ∴ ∴P 点坐标为(-1, - ) y= 2 2

考点三: 考点三: 向量平行的充要条件 平行, 题型 1: 平行,共线问题 [例 4] (广东省高明一中 2009 届高三月考) 已知向量 a = (1 sin θ ,1) , b = ( ,1 + sin θ ) ,若 a ‖ b ,则锐角 θ 等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

1 2

[解题思路]: 已知 a,b 的坐标,当求 a//b 时,运用两向量平行的充要条件 x1y2-x2y1=0 可求 sin θ 值. 解题思路]

解析:B 解: (1 sin θ )(1 + sin θ ) 1i

1 = 0 ,故选 B 2

【名师指引】数学语言常有多种表达方式,学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现,最终落足

点要变式成方程的语言来求解,这一思想方法在求解向量问题时经常用到. 【新题导练】 5.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同
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∴(-1)×2- x(-x)=0 ∴x= 2
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6.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP = OA + t AB , 求(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限. (2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 解:(1) OP = OA + t AB =(1+3t,2+3t),若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,∴ t = ∴t =

2 ;若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0, 3

1 + 3t < 0 1 2 1 ;若 P 在第二象限,只需 ∴ < t < 3 3 3 2 + 3t > 0

(2)∵ OA = (1, 2), PB = (3 3t , 则 OA = PB 由于

3 - 3t ) 若 OABP 为平行四边形,

3 3t = 1 无解,故四边形 OABP 不能构成平行四边形. 3 3t = 2

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. (广东省惠州市 2009 届高三第二次调研考试) 设平面向量 a = ( 3,5 ) , b = ( 2,1) ,则 a 2b = ( A. ( 6,3) B. ( 7,3) C. ( 2,1) ) D.

( 7, 2 )

答案:B 解析: a 2b = ( 3,5 ) 2 ( 2,1) = ( 7,3) 2. (广东省深圳外国语学校 2009 届高三统测(数学理) ) 在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2 DC ,则 AD = ( )

2 1 A. b + c 3 3

5 2 B. c b 3 3

答案:A 解析:由 AD AB = 2 AC AD , 3 AD = AB + 2 AC = c + 2b , AD = 3.已知 a=(1,2) b=(-3,2) , ,当 ka+b 与 a-3b 平行,k 为何值( A )

(

)

2 1 C. b c 3 3

1 2 D. b + c 3 3 1 2 c+ b 3 3

1 4

B -

1 4

C -

1 3

D

1 3


答案: 解析: , , 答案:C 解析: 由已知 a=(1,2) b=(-3,2) , a-3b=(10,-4)

ka+b=(k-3,2k+2) .

因(ka+b)‖(a-3b) , 故 10(2k+2)+4(k-3)=0. 得 k=-

1 . 3

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4. (广东省黄岐高级中学 2009 届高三月考) 如图,线段 AB 与 CD 互相平分,则 BD 可以表示为 A . AB CD C. ( )

D A

1 1 B. AB + CD 2 2
D. ( AB CD )

B C

1 ( AB CD) 2

答案:B 线段 AB 与 CD 互相平分,所以 BD =

1 (CD AB ) 2

5. 如图,设 P,Q 为△ABC 内的两点,且

AP =

2 1 2 1 AB + AC , AQ = AB + AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( 5 5 3 4 1 4 1 1 C A. B. C. D. 5 5 4 3
Q P A B

)

答案:B

[ 解 析 ] 如 图 , 设 AM =

2 1 AB , AN = AC 则 AP = AM + AN 由 平 行 四 边 形 法 则 知 NP ‖ AB , 所 以 5 5
C

ABQ 1 ABP AN 1 = ,同理可得 = . = ABC 4 ABC AC 5

Q N A M P B

ABP 4 故 = ,即选 B. ABQ 5

6. (2009 年广东省广州市高三年级调研测试数 学(理 科) ) 如图,在△ ABC 中,已知 AB = 2 , BC = 3 , ∠ABC = 60° ,

AH ⊥ BC 于 H , M 为 AH 的中点,若 AM = λ AB + BC ,
则λ + = 答案: . 解析: AB = 2 , BC = 3 , ∠ABC = 60° B H

A

M
C

2 3

所以 BH=1, M 为 AH 的中点,所以

AM =

1 1 1 1 1 1 AH = ( AB + BH ) = ( AB + BC ) = AB + BC 2 2 2 3 2 6
2 3
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λ+ =

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综合拔高训练 7. (广东省深圳外国语学校 2009 届高三统测(数学理) ) 已知向量 a = (1 sin θ ) , b = (1 3 cos θ ) ,则 a b 的最大值为 , , 答案:2 解析: a b = sin θ 3 cos θ = 2sin(θ .

π
3

) ≤ 2.

8.(江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)已知向量 a = ( 2, 2), b = (5, k ) ,若 a + b 不超过 5,则 k 的取值范围是 . 答案: [-6,2] 解析: a + b = | (3, 2 + k ) |=

9 + (2 + k ) 2 ≤ 5 解得 k 的取值范围是[-6,2]

9.已知 a = ( 1 , 2 ), b = ( 3 , 2 ) ,当实数 k 取何值时, k a +2 b 与 2 a —4 b 平行? 【解析 方法一 ∵ 解析】方法一 解析 方法一: 2 a —4 b ≠ 0 ,∴ 存在唯一实数 λ 使 k a +2 b = λ ( 2 a —4 b )

将 a , b 的坐标代入上式得( k —6,2 k +4)= λ ( 14,—4) 得 k —6=14 λ 且 2 k +4= —4 λ ,解得 k = —1 方法二:同法一有 k a +2 b = λ (2 a —4 b ),即( k —2 λ ) a +(2+4 λ ) b =0 方法二 ∵ a 与 b 不共线,∴

k 2λ = 0 2 + 4λ = 0

∴ k = —1

→ → → 10.已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) ,且OP =OA +tAB . (1) 当 t 变化时,点 P 是否在一条定直线上运动? (2) 当 t 取何值时,点 P 在 y 轴上? (3) OABP 能否成为平行四边形?若能求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → → → → → → → → 解: (1)由OP = OA +tAB 可得AP = tAB ,AP ‖AB ,又AP ,AB 都过 A 点,故 A,P,B 三点在同一条直线上,而 A,

1 → B 为定点,所以 P 点恒在直线 AB 上运动.(2)OP =(1+3t,2+3t) ,若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,t=- .(3)A,B, 3
→ → P 三点在同一条直线上,OABP 不可能为平行四边形,若用OA = PB 可列方程组,但方程组无解.

第 3 讲平面向量的数量积 ★ 知 识 梳理 ★ 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则_∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角.
特别提醒: 特别提醒:向量 a 与向量 b 要同起点. 选校网 www.xuanxiao.com

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2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是θ,则数量| a || b |cosθ__叫 a 与 b 的 数量积,记作 a b ,即有 a b = | a || b |cosθ
特别提醒: 特别提醒:

(1) (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0 (2) 两个向量的数量积的性质:

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设 a , b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 1) 2)

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e a = a e =| a |cosθ; a ⊥b a b = 0
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3) 当 a 与 b 同向时, a b = | a || b |;当 a 与 b 反向时, a b = | a || b | 特别的 a a = | a | 或 | a |=
2

a a

4) cosθ =

a b ; | a || b |

5) | a b | ≤ | a || b | 3. "投影"的概念:如图

定义: _____|b|cosθ_______叫做向量 b 在 a 方向上的投影
特别提醒: 特别提醒:

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投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为 0;当θ = 0°时投影为 |b|;当θ = 180°时投影为 |b|
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4. 平面向量数量积的运算律 交换律: a b = b a 数乘结合律: ( λ a ) b = λ ( a b ) = a ( λ b ) 分配律: ( a + b ) c = a c + b c 5.平面两向量数量积的坐标表示 已 知 两个 非 零向 量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,设 i 是 x 轴 上 的 单位 向 量, j 是 y 轴 上的 单 位向 量 ,那么

a = x1i + y1 j , b = x2 i + y2 j 所以 a b = x1 x2 + y1 y2
6.平面内两点间的距离公式
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如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 那么: | a |=

( x1 x 2 ) 2 + ( y1 y 2 ) 2

7.向量垂直的判定:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,则 a ⊥ b 8.两向量夹角的余弦( 0 ≤ θ ≤ π ) cosθ =

x1 x 2 + y1 y 2 = 0 x1 x 2 + y1 y 2

a b = | a ||b |

x1 + y1
2

2

x2 + y2
2

2

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点: 1.重点:掌握平面向量数量积运算规律;能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 重点 2.难点 难点: 2.难点:掌握两个向量共线,垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题 3.重难点:. 重难点: 重难点
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向量数量积与向量加, (1) 向量数量积与向量加,减,数乘运算的区别 问题 1: 两个向量的数量积是一个实数,向量加,减,数乘运算的运算结果是向量.

例:规定, a 0 = 0 a =0(不是零向量 0 ,注意与λ 0 = 0 (λ∈R)区别)
(2)向量数量积与实数相关概念的区别 问题 2: 表示方法的区别

数量积的记号是 a b ,不能写成 a × b ,也不能写成 a b (所以有时把数量积称为"点乘" ,记号 a × b 另外有定义, 称为"叉乘").
3:相关概念及运算的区别 问题 3:相关概念及运算的区别

⑴ 若 a, 为实数, ab=0, b 且 则有 a=0 或 b=0, a b =0 却不能得出 a = 0 或 b = 0 . 但 因为只要 a ⊥ b 就有 a b =0, 而不必 a = 0 或 b = 0 . ⑵ 若 a,b,c∈R,且 a≠0,则由 ab=ac 可得 b=c,但由 a b = a c 及 推出 b = c .因若 a , b 夹角为θ1, a , c 夹角为θ2,则由 a b = a c 得 | a || b |cosθ1=| a || c |cosθ2 及| a |≠0, 只能得到| b |cosθ1=| c |cos
θ1 θ2 a b c

a ≠0 却不能

θ 2, b , 在 即 c

a 方向上投影相等,而不能得出 b = c (见图).
⑶ 若 a,b,c∈R,则 a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量 a , b , c ,则( a b ) c 与 a ( b c )都是无 意义的,这是因为 a b 与 b c 是数量,已不再是向量了,而数量与向量是没有点乘定义的.同时,( a b ) c ≠

a ( b c ),这是因为数量 a b 与向量 c 相乘是与 c 共线的向量,而数量 b c 与向量 a 相乘则是与 a 共线的向量,
所以一般二者是不等的.这就是说,向量的数量积是不满足结合律的.
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⑷ 若 a,b∈R,则|ab|=|a||b|,但对于向量 a , b ,却有| a b |≤| a || b |,等号当且仅当 a ‖ b 时成 立.这是因为| a b |=| a || b ||cosθ|而|cosθ|≤1.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:平面向量数量积的运算 考点一: 求数量积,求模, 题型 1. 求数量积,求模,求夹角
[例 1]

已知 a = 2, = 3, b的夹角为120o ,求 b a与
2 2

() b;(2) b ;(3)(2a b) a + 3b)(4) + b 1a a ( ; a
[解题思路]: 直接用定义或性质计算 解题思路] 解析: 解析:

1 () b = a b cos120o = 2 × 3 × ( ) = 3 1a 2 2 2 2 2 (2) b = a b = 4 9 = 5 a 2 2 (3)(2a b) a + 3b) 2a + 5a b 3b ( = 2 2 = 2 a + 5 a b cos120o 3 b = 8 15 27 = 34 2 2 (4) + b = (a + b)2 = a + 2a b + b = 4 6 + 9 = 7 a

[例 2]

已知 a = 1, = 2,且a b与a垂直,求a与b的夹角. b a b . | a || b |

[解题思路]: 考虑公式 cosθ = 解题思路]

解析: 解析:

设a与b的夹角为θ
2

∵ a b与a垂直 ∴ a b)a = 0 即a b a = 0 (

∴a b = a = a = 1
∴ cos θ = a b a b = 1 2 = 2 2

2

2

∵θ ∈ [0o, o ] ∴θ = 180 ∴ a与b的夹角为

π
4

π
4

【名师指引】注意公式 2a b (a + 3b = ( ) )

2a + 5a b 3b ,当知道 a, b 的模及它们的夹角可求 x1 a + x2 b) x3 a + x4 b) ( (

2

2

的数量积,反之知道 x1 a + x2 b (x3 a + x4 b 的数量积及 a, b 的模则可求它们的夹角. ( ) ) 题型 2.利用数量积解决垂直问题
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 [例 3] 若非零向量 α , β 满足 α [解题思路]: 只须证明 α 解题思路] 解析: 解析: [证明]由 α

+ β = α β ,证明: α ⊥ β

β = 0.
2 2

+ β = α β 得: α + β = α β ∴ (α + β )2 = (α β ) 2

展开得: α β = 0 ,故 α ⊥ β
[例 4] 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1,

k),且△ABC 的一个内角为直角,

求k值 解题思路] [解题思路]:注意分情况计论
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解析: 解析:当 A = 90°时, AB AC = 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k =

3 2

当 B = 90°时, AB BC = 0, BC = AC AB = (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =

11 3
∴k =

当 C= 90°时, AC BC = 0,∴1 + k(k3) = 0
→ → → →

3 ± 13 2

【名师指引】 a ⊥ b a b = 0 是一个常用的结论.

【新题导练】 1. 广东省普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考) (

已知向量 a = (1 , 1) , b = (2 , n) ,若 | a + b |= a b ,则 n = ( A. 3 B. 1
2

)

C. 1

D. 3

答案:D 解析: 9 + (1 + n) = 2 + n 解得 n = 3 2.执信中学 2008-2009 学年度高三数学试卷 知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 sin

a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B 的大小分别为(
π A. π , 6 3 π B. 2 π , 3 6 π C. π , 3 6

)
π D. π , 3 3

答案:C 解析:由 m ⊥ n 可得 m i n = 0 即 3 cos A- sin A = 0 所以角 A = 且 a cos B + b cos A = c sin C 及 B = 考点 2 利用数量积处理夹角的范围 题型 1:求夹角范围
[例 5]已知 | a |=

π
3

,

2π π C 可得 B = 3 6

2 | b |≠ 0 ,且关于 x 的方程 x 2 + | a | x + a b = 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是 (
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)

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A.[0,

π
6

]

B. [ , π ]

π

3

C. [ ,

π 2π
3 3

]

D. [ , π ]

π

6

[解题思路]:要求两向量夹角 θ 的取值范围,可先求 cosθ 的取值范围. 解题思路] 解析: 解析:由关于 x 的方程 x
2

+ | a | x + a b = 0 有实根,得: | a |2 4a b ≥ 0

∴a b ≤

1 a b | a |2 .设向量 a , b 的夹角为 θ,则 cosθ= ,又 | a |= 2 | b |≠ 0, 4 | a ||b |

1 | a |2 1 π ∴ cos θ ≤ 4 = ,∴θ∈ [ , π ] .[答案] B. 1 3 | a |2 2 2
【名师指引】要求两向量夹角 θ 的取值范围,可先求 cosθ 的取值范围.

【新题导练】 3.设非零向量 a = ( x, 2 x ) , b = ( 3x, 2 ) ,且 a , b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围 [解析]∵ a , b 的夹角为钝角, ∴ a b = x ( 3 x ) + 2 x 2 = 3 x + 4 x < 0
2

解得 x < 0 或 x >

4 3

(1)

又由 a , b 共线且反向可得 x =

1 3

(2)

由(1),(2)得 x 的范围是 ∞,



1 1 4 ∪ ,0 ∪ ,+∞ 3 3 3


4.已知 a = (λ ,2λ ) , b = (3λ ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是 答案: λ <








4 1 或λ > 0 且λ ≠ 3 3

解析: a 与 b 的夹角为锐角即 cos θ =



a ib 4 1 > 0 且 a ≠ kb ,可得 λ < 或 λ > 0 且 λ ≠ 3 3 | a |i| b |

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 2009 年广东省广州市高三调研测试数 学(理 科) , , 已知向量 a =(x,1) b =(3,6) a ⊥ b ,则实数 x 的值为 A.

1 2

B. 2

C. 2

D.

1 2

答案:B 解析: 3 x + 6 = 0,∴ x = 2 2.(广东省深圳市 2009 届高三九校联) 已知 a b = 12 2 , a = 4 , a 和 b 的夹角为 135° ,则 b 为 A. 12 B. 3
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(

)

C. 6

D. 3 3

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答案:C 解析: a b =| a || b | cos135 = 12 2 ,又 a = 4 可得 b = 6
0

3.广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考 (数学理)

△ ABC 内有一点 O ,满足 OA + OB + OC = 0 ,且 OAiOB = OBiOC .则 △ ABC 一定是(
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

)

答案:D 解析: O 为重心,由 OAiOB = OB iOC 可知 △ ABC 一定是等腰三角形 4.广东省恩城中学 2009 届高三模拟考试(数学理) 在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m 的大小为( A. ) B.

= (b c, c a ), n = (b, c + a ) ,若 m ⊥ n ,则角 A

π
6

π
3

C.

π
2

D.

2π 3

答案:B 解析:由 m ⊥ n 可得 min = 0 即 (b c )b + (c a )(c + a ) 所以角 A=

= 0, b 2 bc + c 2 a 2 = 0

π
3

5.广东省华南师范附属中学 2009 届高三综合测试 己 知 向 量 a = (cos α ,sin α ), b = (cos β ,sin β ) , a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 直 线 x cos α y sin α = 0 与 圆

( x cos β ) 2 + ( y + sin β )2 =
A.相切 答案:C B.相交

1 的位置关系是 ( 2

) D.随 α , β 的值而定

C.相离

解析: a 与 b 的夹角为 60°所以

cos 600 =

a ib cos α cos β + sin α sin β 1 = = 1 2 | a |i| b | cos α cos β + sin α sin β 1 = 1 2

圆心 (cos β , sin β ) 到直线 x cos α y sin α = 0 距离为 故选 C 6.广州市海珠区 2009 届高三综合测试 设 ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA + CB = 答案: 答案: 3 解析: 解析: CA + CB =

.

CA + CB =

2

CA + 2CAiCB + | CB |2

2

综合拔高训练 7.广东省揭阳二中 2009 届高三上学期期中考试(数学理) 已知 a =(-1, 3), b =(2, -1),若(k a + b )⊥( a -2 b ),则 k=
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.

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答案:

3 4 3 4

解析:k a + b =(2-k,3 k-1) a -2 b =(-5,5) , 所以(k a + b )( a -2 b )=0 可得 k=

8. 广东省华南师范附属中学 2009 届高三综合测试) ( 设平面上向量 a = (cos α ,sin α )(0 ≤ α < 2π ), b = (

1 3 , ), a 与 b 不共线, 2 2

(广东省华南师范附属中学 2009 届高三综合测试(数学理) ) 设平面上向量 a = (cos α ,sin α )(0 ≤ α < 2π ), b = ( (1) 证明向量 a + b 与 a b 垂直 (2) 当两个向量 3a + b 与 a 3 b 的模相等,求角 α .

1 3 , ), a 与 b 不共线, 2 2

解析: 解析: (1) a + b = (

1 3 1 3 + cos α , + sin α )a b = ( + cos α ,sin α ) 2 2 2 2
∴ ( a + b) ⊥ ( a b)

1 3 (a + b) (a b) = cos 2 α + sin 2 α = 0 4 4
(2)由题意: ( 3 a + b) 2 = ( a 3 b) 2 得: a b = 0

1 3 3 ∴ cos α + sin α = 0 ,得 tan α = 又 0 ≤ α ≤ 2π 2 2 3
得α =

π
6



7π 6

9. (广东省五校 2009 届高三上学期第二次联考(数学理) ) 设 F1 , F2 分别是椭圆
→ → x2 + y 2 = 1 的左,右焦点.若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 PF2 的最大值和最小值; 4

解: (Ⅰ)解法一:易知 a = 2, b = 1, c =

3 ,所以 F1 3, 0 , F2

(

) (

3, 0

)

,设 P ( x, y ) ,则 PF1 PF2 = 3 x, y ,

(

)(

3 x, y = x 2 + y 2 3

)

因为 x ∈ [ 2, 2] ,故当 x = 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 PF2 有最小值 2 当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 PF2 有最大值 1
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解法二:易知 a = 2, b = 1, c = 设 P ( x, y ) ,则

3 ,所以 F1 3, 0 , F2

(

) (
2

3, 0

)
2 2

PF1 PF2 = PF1 PF2 cos ∠F1 PF2 = PF1 PF2

PF1 + PF2 F1 F2 2 PF1 PF2

=

2 2 1 x + 3 + y 2 + x 3 + y 2 12 = x 2 + y 2 3 … 2

(

)

(

)

10.广东省恩城中学 2009 届高三上学期中段考试(数学理) 在△ABC 中,已知 AB AC = 1, (1) 求 AB 边的长度; (2) 证明: tan A = 2 tan B ; (3)若 | AC |= 2 ,求 | BC | . 解: (1)∵ BC = AC AB ∴ AB BC = AB ( AC AB ) = AB AC | AB |2 = 2 ∵ AB AC = 1 ∴ | AB |2 = 3 , | AB |=

AB BC = 2 .

3 即 AB 边的长度为 3 ----------------4 分

(2) 由 AB AC = 1, AB BC = 2 得 | AB | | AC | cos A = 1 --------------------①

| AB | | BC | cos(π B ) = 2

即 | AB | | BC | cos B = 2 --------------------②-----6 分

| AC | cos A 1 由①②得 = , | BC | cos B 2


| AC | sin B 由正弦定理得 = | BC | sin A

A

sin B cos A tan B 1 = = sin A cos B tan A 2 B ∴ tan A = 2 tan B -----------------------------------------------9 分
(3) ∵ | AC |= 2 ,由(2)中①得 cos A =

C

1 1 3 = = 6 | AB | | AC | 2 3

由余弦定理得 | BC |2 =| AB |2 + | AC |2 2 | AB | | AC | cos A = 3 + 4 4 3

3 =5 6

∴ | BC | = 5 --------------------------------------------------------------------------14 分

第 4 讲 平面向量的应用 ★ 知 识 梳理 ★ 1. 利用向量处理几何问题的步骤为: (1) 建立平面直角坐标系;
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(2) (3) (4) (5)

设点的坐标; 求出有关向量的坐标; 利用向量的运算计算结果; 得到结论.

F

2.平面向量在物理中的应用 如图 5-4-3 所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, (6) 那么力 F 所做的功: W= |F| |S| cosα. 3. 重要不等式: | a || b |≤ a ib ≤| a || b |
特别提醒: 特别提醒: 常用于求参数的范围

α

S

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点: 1.重点:会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向. 重点 2.难点 难点: 2.难点:加强数学应用意识,提高分析问题,解决问题的能力 3.重难点:. 重难点: 重难点 1 熟悉向量的性质及运算律; 2 能根据向量性质特点构造向量; 3 熟练平面几何性质在解题中应用; 4 熟练向量求解的坐标化思路 5 认识事物之间的内在联系; 6 认识向量的工具性作用,加强数学在实际生活中的应用意识
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奎屯

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★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一: 考点一:平面向量在平面几何 用向量证明几何题 题型 1. 用向量证明几何题 [例 1] 已知:如图所示,ABCD 是菱形,AC 和 BD 是它的两条对角线 求证 解题思路] [解题思路]:对于线段的垂直,可以联想到两个向量垂直的充要条件,而 应用,可以考虑向量式的形式,也可以考虑坐标形式的充要条件
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AC⊥BD

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对于这一条件的

解析: 解析:证法一:∵ AC =

AB + AD ,

BD = AD - AB ,
∴ AC BD =( AB + AD )( AD - AB ) =| AD | -| AB | =O ∴ AC ⊥ BD 证法二:以 OC 所在直线为 x 轴,以 B 为原点建立直角坐标系,设 B(O,O),A(a,b),C(c,O)则由|AB|=| BC|得 a2+b2=c2
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2 2

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∵ AC = BC - BA =(c,O)-(a,b)=(c-a,-b) ,

BD = BA + BC =(a,b)+(c,O)=(c+a,b)
∴ AC BD =c -a -b =O ∴ AC ⊥ BD 即 AC⊥BD
2 2 2

【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算,则将给解题带来一定的方便 通过向量的坐标表示,可以把几何问题
新疆 王新敞
奎屯

的证明转化成代数式的运算,体现了向量的数与形的桥梁作用. 【新题导练】 1.证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. [解析] 设 AC = b, CB = a,则 AD = AC + CD = b+ ∵A, G, D 共线,B, G, E 共线 ∴可设 AG =λ AD , EG = μ EB ,

1 1 a, EB = EC + CB = b+a 2 2

1 1 a)=λb+ λa, b a 2 2 1 1 EG = μ EB = μ( b+ a)= μb+μa, b a 2 2 1 1 1 ∵ AE + EG = AG 即: b + ( μb+μa) =λb+ λa b a b a 2 2 2 1 1 1 ∴(μ λ) a + ( μλ+ )b = 0 ∵a, b 不平行, 2 2 2
则 AG =λ AD =λ(b+

A

F G B D

E

C

2 1 λ = 3 2λ =0 2 ∴ AG = AD 3 1 λ + 1 = 0 = 1 2 2 3

2.已知 M ( 4,0), N (1,0) ,若动点 P ( x, y ) 满足 MN MP

= 6 | NP | ,求动点 P 的轨迹方程.

[解析] MP = ( x 4, y ), MN = ( 3,0), PN = (1 x, y ) 由已知得 3( x 4) = 6 (1 x) + ( y ) ,
2 2

化简得 3 x + 4 y = 12, 即
2 2

x2 y2 + = 1 ,这就是动点 P 的轨迹方程. 4 3

考点二 平面向量与三角函数, 考点二: 平面向量与三角函数,函数等知识的综合应有用 题型 1: 与函数综合题 [例 2] 广东省华南师大附中 2009 届高三综合测试(数学理)
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a, b, c 为△ ABC 的内角 A,B,C 的对边, m = (cos
[解题思路]: 考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式 解题思路] 解析: 解析: ∵ m

C C C C π , sin ) , n = (cos , sin ) ,且 m 与 n 的夹角为 ,求 C; 2 2 2 2 3

C C C C , sin ) , n = (cos , sin ) 2 2 2 2 C 2 C ∴ m n = cos sin 2 = cos C 2 2 π π 1 又 m n =| m | | n | cos = cos = 3 3 2 1 π ∴ cos C = ,∴ C = 2 3 = (cos
A , B , C 是 直 线 l 上 的 不 同 的 三 点 , O 是 外 一 点 , 向 量 OA, OB, OC 满 足

[例 3] 广东省揭阳二中 2009 届高三统测(数学理)

已 知

3 OA ( x 2 + 1) OB [ln(2 + 3 x) y ] OC = 0 ,记 y = f ( x) .求函数 y = f ( x) 的解析式; 2
[解题思路]: A,B,C 三点共线, OA = λ OB + (1 λ )OC 解题思路]

解析: 解析: OA = ( x + 1) OB [ln(2 + 3 x ) y ] OC
2

3 2

3 3 ∵ A,B,C 三点共线,∴ x 2 + 1 + ln(2 + 3 x) y = 1 ∴ y = x 2 + ln(2 + 3 x) ………3 分 2 2
【名师指引】涉及与三角综合的题目,多数只利用向量的基本运算,把问题转化为三角问题,以考查三角函数知识为主.

三点共线是一个常考常新的知识点.要记住常用结论:A,B,C 三点共线, OA = λ OB + (1 λ )OC 【新题导练】 3. 广东省高明一中 2009 届高三月考(数学理) 已知向量 a = ( 2 cos θ ,2 sin θ ) , θ ∈ ( A.

π
2

, π ), b = (0,1) ,则向量 a 与 b 的夹角为(
C. θ

)

3π θ 2

B.

π
2



π
2

D. θ

答案:A

解析: cos α =

a b 2 sin θ π = = sin θ 又 θ ∈ ( , π ) 所以选 A 2 2 |a||b|

4.广东省揭阳二中 2009 届高三统测(数学理) 在 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边;若向量 m = (2, 0) 与 n = (sin B,1 cos B ) 的夹角为 小 解:由题意得: cos

π
3

,求角 B 的大

π
3

=

2 sin B 1 sin B 1 mn = = ,即 = 2 2 2 | m | | n | 2 sin B + (1 cos B ) 2 2 cos B 2

1 ∴ 2sin 2 B = 1 cos B ∴ 2 cos 2 B cos B 1 = 0 ∴ cos B = 或 cos B = 1(舍去) 2 2 ∵ 0<B< π ∴ B = π ………6 分 3
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考点三: 考点三: 平面向量在物理中的应用 题型 1: 用向量解决物理问题
[例 4] 设炮弹被以初速 v0 和仰角 α 抛出(空气阻力忽略不计).当初速度 v0 的大小一定时,发射角 α 多大时,炮弹

飞行的距离最远.
[解题思路]:上述问题中涉及速度等物理量,可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要,把 v0 分解为水平方向 解题思路]

和竖直方向两个不共线的向量,再利用运动学知识建立数学模型,最后利用向量的知识求解. 解析: 解析:将 v0 分解为水平方向和竖直方向两个分速度 v1 和 v2,则| v1|=| v0|cos α , | v2|=| v0|sin α , 由物理学知识可知, 炮弹在水平方向飞行的距离 S =| v1|t=| v0|cos α t(t 是飞行时间) ① 炮弹在垂直方向的位移是 0=| v2|t-

1 2 gt (g 是重力加速度) 2
2



2 | v0 | sin α 2 | v0 | 2 sin α cos α v0 sin 2α 由②得 t= ,③代入①得 S = = g g g
由于| v0|一定,所以当 α =45°时,S 有最大值. 故发射角 α =45°时,炮弹飞行的距离最远. [例 5] 某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶, 感到风从正东方向吹来, 而当速度为 2 a 时, 感到风从东北方向吹来, 试求实际风速和方向.
[解题思路]:利用向量知识解决物理中有关"速度的合成与分解" 解题思路]

解析: 解析: 设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为 a ,设实际风速为 v, 那么此时人感到的风速为 v a ,设 OA = a , OB = 2 a ∵ PO + OA = PA ∴ PA = v a , 这就是感到由正北方向吹来的风速, B

P v2a A v

O

∵ PO + OB = PB ∴ PB = v 2 a ,于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB ,由题 意:∠PBO = 45°, PA⊥BO, BA = AO 从而,△POB 为等腰直角三角形,∴PO = PB = 2 a ∴实际风速是 2 a 的西北风 即:|v | = 2 a

【名师指引】加强数学应用意识,提高分析问题,解决问题的能力

【新题导练】 (即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为| v |个 5.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v =(4,-3) 单位.设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则 5 秒后点 P 的坐标为(
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)

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A. (-2,4) B (10,-5) C (-30,25) D (5,-10) 答案:B 解析:5 秒后点 P 的坐标为(-10,10)+5(4,-3)= (10,- 5) 6.在静水中划船的速度是每分钟 40,水流的速度是每分钟 20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对 岸,那么船行进的方向应该指向何处? 答案:船航行的方向是与河岸垂直方向 D C 成 30°夹角,即指向河的上游. 上游 下游 30° A B

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 如 果 一 架 向 东 飞 行 200km , 再 向 南 飞 行 300km , 记 飞 机 飞 行 的 路 程 为 s , 位 移 为 a , 则 ( ) A. 答案:A 2. 已知 OA = 1 , OB = 3 ,OA OB = 0 , C 在 ∠AOB 内, ∠AOC = 30 , OC = mOA + nOB ( m, n ∈ R ) , 点 且 设
o

s>|a|

B.

s<|a|

C. s=|a|

D.

s 与|a|不能比大小



m 等于 n 1 3
B.3 C.

(

)

A.

3 3

D. 3

答案 B∵ OA = 1 , OB = 3 , OA OB = 0

1 1 AB = 4 2 1 1 3 1 ∴ OC = OA + AC = OA + AB = OA + (OB OA) = OA + OB 4 4 4 4 3 1 m ∴m = ,n = 即 =3 故本题的答案为 B. 4 4 n
∴△ABC 为直角三角形,其中 AC = 3. (2008广东省实验中学高三第三次阶段考)在△ABC 中,已知向量

AB与 AC满足(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

) BC = 0且

AB

| AB | | AC |



AC

=

1 ,则△ABC 为( 2

)

A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 答案: D [解析]非零向量与满足(

B.直角三角形 D.等边三角形

AB AC )=0 , 即 角 A 的 平 分 线 垂 直 于 BC , ∴ AB=AC , 又 + | AB | | AC |
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cos A =

AB AC 1 π = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形 3 | AB | | AC | 2

4. 在ΔABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA (OB + OC ) 的最小值为 . 答案: 2 如图,设 AO = x ,则 OM = 2 x ,
A O B C

所以 OA (OB + OC ) = OA 2OM = 2 OA OM

2 x(2 x) = 2 x 2 4 x = 2( x 1) 2 2 ,
故当 x = 1 时, OM = mOA + nOB 取最小值-2.

M

5. 一个 30的斜面上放有一个质量为 1kg 的球,若要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面方向给球多大_________力; 若表示球的重力的向量为 p,球对斜面的压力为ω,则球的重力沿斜面方向的分力 f=___________保持球在斜面上静止 不动的推力 f′= 答案:4.9N, f=p-ω , ,f′=-f=ω-p 6. (2008佛山石门中学检测)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(—3,4) , 若点 C 在∠AOB 的一平分线上,且 | OC |= 2 ,则 OC = ____________. 答案: (

10 3 10 , ) [解析]∵ 点 C 在 5 5

∠AOB 的一平分线上,∴ 设 OC =

λ (OA +

, ) ) = λ ( 0 ,1 ) + ( 5 5 | OB |

OB



3

4

=λ (

9 81 10 3 9 , , ) ( λ > 0 ) 又 | OC | 2 = 4 ,∴ λ2 ( + ) = 4 ,得 λ = 5 5 25 25 3

∴ OC = (

10 3 10 , ) 5 5

综合拔高训练 7.广州市海珠区 2009 届高三上学期综合测试二(数学理) 已知: B, 是 ABC 的内角,a, b, c 分别是其对边长, A, C 向量 m = 求角 A 的大小; 解:(Ⅰ) m =

(

π 3, cos(π A) 1 ,n = cos A ,1 ,m ⊥ n . 2

)

π n = cos A ,1 = (sin A,1) ……2 分 2
∵m ⊥ n

(

3, cos(π A) 1 =

)(

3 , cos A 1 ……1 分

)

∴ 3 sin A cos A 1 = 0 ……4 分
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π 1 ∴ sin A = ……6 分 6 2
∵ 0 < A < π ,∴

π
6

< A

π
6

<

∴A=

π
3

5π π π ,∴ A = , ……7 分 6 6 6

.……8 分

8.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B (0,3) , C (cos α , sin α ), α ∈ ( (1)若 | AC |=| BC |, 求角α 的值; (2)若 AC BC = 1, 求

π 3π
2 , 2

).

2 sin 2 α + sin 2α 的值. 1 + tan α

解: (1)∵ AC = (cos α 3, sin α ), BC = (cos α , sin α 3) ,

∴| AC |= (cos α 3) 2 + sin 2 α = 10 6 cos α , | BC |= 10 6 sin α , 5 π 3π 由 | AC |=| BC | 得 sin α = cos α , 又α ∈ ( , ), ∴α = π , 2 2 4
(2)由 AC BC = 1, 得(cos α 3) cos α + sin α (sin α 3) = 1,

∴ sin α + cos α =

2 5 ∴ 2 sin α cos α = , 3 9 2 2 2 sin α + sin 2α 2 sin α + 2 sin α cos α 5 又 = = 2 sin α cos α = , sin α 1 + tan α 9 1+ cos α 2 sin 2 α + sin 2α 5 所以, = . 1 + tan α 9

9.四边形 ABCD 中, AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = ( 2,3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解:∵ BC = ( x, y ) ,∴ DA = AD = ( AB + BC + CD )

= ( x + 4, y 2) = ( x 4, y + 2) -----------2 分
(1)∵ BC // DA ,故有 x ( y + 2) y ( x 4) = 0 ---------4 分 化简得: x + 2 y = 0 --------------5 分 (2) AC = AB + BC = ( x + 6, y + 1)

BD = BC + CD = ( x 2, y 3)
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又 AC ⊥ BD
2

则 ( x + 6) ( x 2) + ( y + 1) ( y 3) = 0 --------7 分
2

化简有: x + y + 4 x 2 y 15 = 0 -----------8 分 联立

x + 2 y = 0 2 2 x + y + 4 x 2 y 15 = 0 x = 6 y=3


解得

x=2 ----------10 分 y = 1

∵ BC // DA AC ⊥ BD ,则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形


x = 6 y=3

AC = (0,4) BD = (8,0)
1 AC BD = 16 2
------12 分

此时 S ABCD = 当

x=2 y = 1

AC = (8,0) BD = (0,4)
1 AC BD = 16 --------------14 分 2

此时 S ABCD =

10.已知点 A( 2,0),B (0,2),C (cos α , sin α ) , O 为坐标原点,且 0 < α < π . (1)若 | OA + OC |=

7 ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ⊥ BC ,求 tan α 的值. 解:由已知可得 OA = ( 2,0), OC = (cos α , sin α ) 且 | OA + OC |=

7 ……1 分

∴ (2 + cos α ) 2 + sin 2 α = 7
化简得: cos α = 因为 0 < α < π 所以 sin α =

1 ……3 分 2

3 ……4 分 2

1 3 ∴ OC = ( , ), OB = (0,2) 2 2 ∴ cos < OB, OC >= OB OC | OB | | OC | = 3 ……6 分 2
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又因为 < OB, OC >∈ [0, π ] 所以 < OB, OC >=

π
6

……7 分

(Ⅱ) AC = (cos α 2, sin α ), BC = (cos α , sin α 2) 由 AC ⊥ BC 得 (cos α 2, sin α ) (cos α , sin α 2) = 0 ……9 分 即 (cos α 2) cos α + sin α (sin α 2) = 0

1 ……10 分 2 1 2 2 所以 sin α + cos α + 2 sin α cos α = 4
化简得: sin α + cos α = 所以

sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α sin 2 α + cos 2 α
2

=

1 4

即是 3 tan α + 8 tan α + 3 = 0 解得 tan α =

4± 7 ……12 分 3 3 <0 8

因为 sin α cos α = 且0 <α < π 所以

π

2

< α < π ……13 分

又 sin α > cos α 所以 tan α =

4+ 7 ……14 分 3

第八章 综合能力检测 一,选择题(第小题 5 分,共 40 分) 1.向量 i=(1,0) ,j=(0,1) ,下列向量中与向量 3i + j 垂直的是( A. 2i + 2 3 j B. i + 3 j C. 2i + 3 j )

D. i 3 j

答案:B ( i + 3 j )( 3i + j )=0 所以选 B

2.已知向量 a = ( 4,3) , b = ( 1, 2 ) ,若向量 a + kb 与 a b 垂直,则 k 的值为
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(

)

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A. 答案:A

23 3

B.7

C.

11 5

D.

23 3

( a + kb )( a b )= 5(4 k ) + (3 + 2k ) = 0

3.设 OM = (1, 1 ) , ON = (0,1) ,则满足条件 0 ≤ OP OM ≤ 1 , 0 ≤ OP ON ≤ 1 的动点 P 的 2 变化范围(图中阴影部分含边界)是
y 2 1 1
x

(

)

y 2 1 0

y

y

1 0 1
x

1

0

1 2

x

2

0 1

x

A. 答案:A

B.

C.

D.

设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 OP = ( x, y ) .由 0 ≤ OP OM ≤ 1 , 0 ≤ OP ON ≤ 1 得

0 ≤ 2 x + y ≤ 2 ,在平面 0 ≤ y ≤ 1

直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可,选 A. 4.如图,非零向量 OA = a, OB = b且BC ⊥ OA, C为垂足, 若OC = λ a, 则λ = A. ( )

a b |a|
2

B.

a b | a || b |

C.

a b |b|
2

D.

| a || b | a b

答案:A 解析: BC ⊥ OA 即 BC ⊥ OC (OC OB )iOC = 0 | OC |2 OB iOC = 0 即 λ 2 | a |2 λ a ib = 0 可得答案 A 5.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a,b 不共线,则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 )

答案: C 解析∵ AD = AB + BC + CD =-8a-2b=2 BC ,∴ AD // BC . ∴四边形 ABCD 为梯形.

6.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λa+b, AC =a+μb (λ,μ∈R)那么 A,B,C 三点共线的充要条件为( A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1

)

答案:D 解析: A,B,C 三点共线即存在实数 k 使得 AB = k AC 即λa+b= k ( a+μb) a b 所以有λa= k a , b= k μb,即λ= k , 1= k μ 故选 D
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7.已知向量 a = ( m, n) , b = (cos θ , sin θ ) ,其中 m, n, θ ∈ R .若 | a |= 4 | b | ,则当 a b < λ 恒成立时实数 λ 的取值
2

范围是 A. λ > 2 或 λ < 2 C. 答 案 B. λ > 2 或 λ < 2 D. 2 < λ < 2 由 已 知 得

(

)

2 <λ< 2
: B

| b |= 1

,





| a |= m 2 + n 2 = 4

,





a b = m cos θ + n sin θ = m 2 + n 2 sin(θ + ) = 4 sin(θ + ) ≤ 4 ,由于 a b < λ2 恒成立,所以 λ2 > 4 ,解得 λ > 2
或 λ < 2 . 8.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v = (4, 3) (即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为 v 个单 位) .设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则5秒后点 P 的坐标为( A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10) 答案:C 设 5 秒后点 P 运动到点 A,则 PA = PO + OA = 5V = (20, 15) , )

∴ OA = (20, 15) + ( 10,10) =(10,-5).

二,填空题(第小题 5 分,共 30 分,其中 13~15 是选做题,选做两题) 9.直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中,若 AB = i + k j ,

AC = 2i + j ,且∠C=90°则 k 的值是

;

答案:由平面向量的坐标表示可得: AB = (1, k ), AC = (2,1), CB = AB AC = ( 1, k 1), 由 AC ⊥ CB ,得 AC CB = 2 × ( 1) + 1× ( k 1) = k 3 = 0, k = 3 .

10.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB CB + CD = __________. 答案:2

AB CB + CD = AB + BC + CD = AC + CD = AD = 2
.

11.已知向量 AB = (4, 0), AC = (2, 2), 则 AC与 BC 的夹角的大小为 解析: ∵ BC = (2, 2), cos < AC , BC >= .

AC i BC AC BC

= 0,∴< AC , BC >= 90°

12.若向量 a 与 b 不共线,ab≠0,且 c = a

aa b ,则向量 a 与 c 的夹角为 ab

;

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答案:

π
2

aa 由题意得 ac = a a b = aa - a a × (a b ) = aa- aa = 0, ab a b
因此 a 与 c 的夹角是

π
2

.

13. (选做题)设 0 ≤ θ < 2π ,已知两个向量 OP = (cos θ , sin θ ) , OP2 = (2 + sin θ , 2 cos θ ) ,则向量 P1 P2 长度 1 的最大值是 ; 答案: P P2 = (2 + sin θ cos θ , 2 cos θ sin θ ), 1

P P2 = 2(2 cos θ ) 2 + 2 sin 2 θ = 10 8cos θ ≤ 18 = 3 2 1
14. (选做题)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , a = (3,3) , 2b a = ( 1,1) ,则 cos θ = 解析:设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 且 a = (3,3),2b a = ( 1,1) ∴ b = (1,2) ,则 cos θ = .

a b ab

=

3 10 . 3 2 5 10
= )

9

15. (选做题)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA PB = PB PC = PC PA ,则 P 是△ABC 的( 答案:垂心 由 PA PB = PB PC得 PA PB PB PC = 0 . 即 PB ( PA PC ) = 0, 即PB CA = 0 , 所以 P 为 ABC 的垂心. 三,解答题(共 80 分) 则 PB ⊥ CA,同理PA ⊥ BC, PC ⊥ AB

16. (本题满分 13 分)已知 A,B,C 是三角形 ABC 三内角,向量 m=(-1, 3 ),n=(cosA,sinA),且 mn=1. n

求角 A;

∵ mn=1,∴ (1, 3 ) (cos A, sin A) = 1 3 sin A cos A = 1, 即…(4 分)

3 1 π 1 cos A ) = 1,sin( A ) = , (7分) 2 2 6 2 π π 5π ∵ 0 < A < π , < A < ( 9分) , 6 6 6 2(sin A

∴A

π
6

=

π
6

,∴ A =

π
3

.…(13 分)

17. (本题满分 13 分)已知开口向上的二次函数 f(x),对任意 x ∈ R ,恒有 f ( 2 x ) = f ( 2 + x ) 成立,设向量

a= ( x + 2 + 2 x 1 ,1) ,b=(1,2).求不等式 f(ab)<f(5)的解集.

+ 由题意知 f(x)在 [2, ∞ ) 上是增函数,…(1 分)
∵ a b = x + 2 + 2 x 1 + 2 ≥ 2
…(2 分)
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∴ f(ab)<f(5) ab<5 x + 2 + 2 x 1 < 3 (*)

…(3 分)

4 ① 当 x ≤ 2 时,不等式(*)可化为 ( x + 2) (2 x 1) < 3,∴ x > ,…(5 分) 3 此时 x 无解;…(6 分) 1 ② 当 2 < x < 时,不等式(*)可化为 x + 2 (2 x 1) < 3,∴ x > 0, …(8 分) 2 1 此时 0 < x < ;…(9 分) 2 1 2 ③ 当 x ≥ 时,不等式(*)可化为 x + 2 + 2 x 1 < 3,∴ x < ,…(11 分) 2 3 1 2 此时 ≤ x < .…(12 分) 2 3 2 综上可知:不等式 f(ab)<f(5)的解集为 (0, ) .…(13 分) 3
18. (本题满分 14 分)已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b=(-3,4)垂直的单位向量,求 a 的终点坐 标
新疆 王新敞
奎屯


解:设 a 的终点坐标为(m,n)……1 分 则 a=(m-3,n+1)……3 分 由题意

3(m 3) + 4(n + 1) = 0 (m 3) + (n + 1) = 1
2 2

① ②

……6 分

由①得:n=
2

1 (3m-13)代入②得……7 分 4
……9 分

25m -15Om+2O9=O

19 11 m1 = 5 , m2 = 5 , 解得 或 ……13 分 2 8 n = . n = . 2 1 5 5
∴a 的终点坐标是(

19 2 11 8 , )或( , ) ……14 分 5 5 5 5

2 19. (本题满分 14 分)已知 a = (1, x), b = ( x + x, x), m 为实数,

求使 m( a b ) 2 ( m + 1) a b + 1 < 0 成立的 x 的范围. 解: a b = x 2 + x x 2 = x

∴ m(a b) 2 (m + 1)a b + 1 < 0 mx 2 (m + 1) x + 1 < 0 ………4分
1 当 m=0 时,x>1…………………6分
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0

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2 当 m≠0 时, m( x
0

1 )( x 1) < 0 m 1 ①m<0 时, x > 1或x < …………………8 分 m 1 ……………10 分 ②0<m<1 时, 1 < x < m
④m>1 时,

③m=1 时, x 不存在………………………12 分

1 < x < 1 ……………………………14 分 m

20 .( 本 题 满 分 14 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 向 量 a = ( 1, 2) , 又 点

A(8, 0), B (n, t ), C (k sin θ , t )(0 ≤ θ ≤
(1)若 AB ⊥ a, 且 | AB |=

π
2

)

5 | OA | ,求向量 OB ;

(2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 > 4 时,且 t sin θ 取最大值为 4 时,求 OA OC 解: (1) AB = ( n 8, t ),∵ AB ⊥ a ∴ 8 n + 2t = 0 ……2 分 又∵ 5 | OB | =| AB |,∴ 5 × 64 = ( n 3) 2 + t 2 = 5t 2 ,得 t = ±8 ……4分

∴ OB = (24,8) 或 OB = (8, 8) ……6 分 (2) AC = (k sin θ 8, t )

∵ AC 与 a 向量共线, ∴ t = 2k sin θ + 16 ……8 分
k 32 ∵ t sin θ = (2k sin θ + 16)sin θ = 2k (sin θ ) 2 + 4 k k k 32 ∴ k > 4,∴1 > > 0 ,∴ 当 sin θ = 时, t sin θ 取最大值为 (10 分) 4 4 k 32 π = 4 ,得 k = 8 ,此时 θ = , OC = (4,8) ……12 分 由 k 6

∴ OA OC = (8, 0) (4,8) = 32

(14 分)

21. (本题满分 12 分)已知向量 a = (cos x, sin x ), b = ( cos x, cos x ), c = (1,0). (1)若 x =

π
6

, 求向量a , c 的夹角; , 8 ] 时,求函数 f ( x) = 2a b + 1 的最大值.

(2)当 x ∈ [

π 9π
2

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解: (1)当 x =

π
6

时,

cos < a , c >=

a c = | a || c |

cos x cos 2 x + sin 2 x × (1) 2 + 0 2 5π . ………………3 分 6

………………2 分

= cos x = cos

π
6

= cos

∵ 0 ≤< a , c >≤ π , ∴< a , c >= 5π . ……………………5 分 6
2

(2) f ( x ) = 2a b + 1 = 2( cos x + sin x cos x ) + 1 …………7 分

= 2 sin x cos x (2 cos 2 x 1) = sin 2 x cos 2 x = 2 sin(2 x

π
4

) ……………………9 分

π 9π ∵ x ∈ [ , ], 2 8 π 3π ∴ 2 x ∈ [ ,2π ] ……………………10 分 4 4
故 sin( 2 x ∴当 2 x

π
4

) ∈ [1.

2 ], 2

π
4

=

3π π , 即x = 时, f ( x) max = 1. ……………………12 分 4 2

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