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第二章2.2-2.2.1用样本的频率分布估计总体分布


第二章





2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布 估计总体分布

[学习目标] 的方法(重点).

1.理解用样本的频率分布估计总体分布 2.会列频率分布表,会画频率分布直方 3.能够利用图形

图、频率分布折线图、茎叶图(重点). 解决问题(难点).

[知识提炼· 梳理] 1.数据分析的基本方法 (1)借助于图形. 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此 方法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是 利用图形传递信息.

(2)借助于表格. 分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的 排列方式,此方法是通过改变数据的构成形式,为我们 提供解释数据的新方式.

2.频率分布直方图 (1)绘制步骤: ①求极差,即一组数据中最大值与最小值的差. ②决定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的 标准,一般来说,数据分组的组数与样本容量有关,样 本容量越大,所分组数越多.当样本容量不超过 100 时, 按照数据的多少,常分为 5~12 组.

③将数据分组. ④列出频率分布表. ⑤画频率分布直方图.其中横轴表示组距,纵轴表 示频率与组距的比. (2)意义:频率分布直方图中,每个小长方形的面积 表示相应组的频率,所有小长方形的面积的总和等于 1.

(3)频率分布的估计:频率分布是指各个小组数据在 样本容量中所占比例的大小,可以用样本的频率分布估 计总体的频率分布.频率分布表是反映样本的频率分布 的表格 . 通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样 本的频率分布.

3.频率分布折线图与总体密度曲线 (1)频率分布折线图: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就 得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:

在样本频率分布折线图中,随着样本容量的增加, 作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图 会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线 为总体密度曲线.

4.茎叶图 (1)将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为 叶, 茎相同者共用一个茎, 茎按从小到大的顺序从上向下 列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行 列出(也可以没有大小顺序).

(2)茎叶图的优点与不足. ①优点:一是原始数据信息在图中能够保留,所有 数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据 可以随时记录,随时添加,方便记录与表示. ②不足:当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方 便.

温馨提示: 茎叶图在样本数据较少、 较为集中且位数 不多时比较适用.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)样本容量越大,估计得越准确.( (2)频率分布直方图的纵轴表示频率.( ) )

(3)如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小, 那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲 线.( )

(4)频率分布直方图不能保留原始数据,而茎叶图可 以保留原始数据,而且可以随时记录.( 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ )

2. 容量为 20 的样本数据, 分组后的频数如下表所示.
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( A.0.35 B.0.45 C.0.55

) D.0.65

解析:样本数据落在区间[10,40)的频数为 2+3+4 9 =9,故所求的频率为 =0.45. 20 答案:B

3.从一群学生中抽取一个一定容量的样本,对他们 的学习成绩进行分析. 已知不超过 80 分的为 10 人, 其累 积频率为 0.5,则样本容量是( )

A.20 B.40 C.80 D.60 10 解析:样本容量= =20. 0.5 答案:A

4.一个容量为 32 的样本,分成 5 组,已知第三组的 频率为 0.375,则另外四组的频数之和为________. 解析:由题意得,第三组的频数为 32×0.375 = 12. 所以另外四组的频数之和为 32-12=20. 答案:20

5.如图是一个班的物理成绩的茎叶图 (单位:分), 则优秀率(90 分以上)是________,最低分是________.

解析:由茎叶图知,样本容量为 25,90 分以上的有 1 1 人,故优秀率为 =4%,最低分为 51 分. 25 答案:4% 51 分

类型 1 列频率分布表,画频率分布直方图 [典例 1] 考察某校高二年级男生的身高,随机抽取

40 名高二男生,实测身高数据(单位:cm)如下: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布折线图. 解:(1)由题意知,最低身高为 151 cm,最高身高为 180 cm,它们的极差为 180-151=29. 确定组距为 3,组数为 10,列表如下:

分组 [150.5,153.5) [153.5,156.5)

频数 1 1

频率 0.025 0.025

[156.5,159.5)

4

0.1

[159.5,162.5) [162.5,165.5) [165.5,168.5) [168.5,171.5) [171.5,174.5) [174.5,177.5) [177.5,180.5)
合计

5 8 11 6 2 1 1 40

0.125 0.2 0.275 0.15 0.05 0.025 0.025 1

(2)频率分布折线图如下图所示:

归纳升华 1.(1)当组距、组数及频数都已给出时,只需根据所 提供的数据求出各组的频率,然后列表、作图.累计频率 是从第一组到当前组的频率的和, 它也是反映数据分布情 况的统计量,最后一组的累计频率应是 1.

(2)当给出的是原始数据时,要严格按照求极差→决 定组距与组数→将数据分组→列频率分布表 →绘频率分 布直方图来进行.

2.在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关 系: 极差 极差 (1)若 为整数,则 =组数. 组距 组距 极差 极差 (2)若 不为整数,则 的整数部分+1=组数. 组距 组距

[ 变式训练 ]

(2014· 广东卷 ) 随机观测生产某种零件

的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数 据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29, 43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39, 36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.

解:(1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08. (2)样本频率分布直方图如下图所示:

类型 2 频率分布直方图的应用(互动探究) [典例 2] (1)某校为了了解高三女生的身体状况,抽

取了 100 名女生的体重. 将所得的数据整理后, 画出了如 图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在 40~45 kg 的人数是( )

A.10

B.2

C.5

D.15

(2)(2015· 湖北卷)某电子商务公司对 10 000 名网络购 物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单 位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图 所示.

①直方图中的 a=________; ②在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的 购物者的人数为________. 解析:(1)由题图可知,频率= =0.1, 所以 0.1×100=10(人). 频率 组距 ×组距=0.02×5

(2)①利用各小矩形的面积和为 1, 建立关于 a 的方程, 解方程求 a. 由 0.1×1.5 + 0.1×2.5 + 0.1a + 0.1×2.0 + 0.1×0.8 + 0.1×0.2=1,解得 a=3. ②计算[0.5,0.9]内的频率,利用频数=总体容量 × 频率求解.

区间[0.3,0.5)内的频率为 0.1×1.5+0.1×2.5=0.4, 故[0.5,0.9]内的频率为 1-0.4=0.6. 因此,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数 为 0.6×10 000=6 000. 答案:(1)A (2)①3 ②6 000

[迁移探究 1]

(改变问法)本题(1)中的条件不变,试

求体重超过 50 kg 的人数. 解:由题图可知,体重超过 50 kg 的频率为 0.06×5 +0.02×5=0.4,所以 0.4×100=40(人).

[迁移探究 2]

(改变问法)本题(1)中的条件不变,试

估计女生体重的众数和平均数. 解: 由题图可知, 体重分组为 45~50 kg 的频率最高, 45+50 因此女生体重众数的估计值为 =47.5(kg),平均数 2 为 42.5×0.1 + 47.5 × 0.5 + 52.5×0.3 + 57.5×0.1 = 49.5(kg).

归纳升华 1.频率分布直方图的性质: (1)因为小矩形的面积=组距× 频率 组距 =频率,所以各小

矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图 就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于 1. (3)频数÷ 相应的频率=样本容量. 2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的 可能性, 由抽样的代表性, 利用样本在某一范围内的频率, 可近似地估计总体在这一范围内的可能性.

类型 3 茎叶图及其应用 [典例 3] 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自

动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品,称其质量, 分别记下抽查记录如下(单位:千克): 甲:52 乙:60 51 65 49 40 48 35 53 25 48 65 49 60

画出茎叶图,并说明哪个车间的产品质量比较稳定.

解:茎叶图如下图所示(茎为十位上的数字):

由图可以看出甲车间的产品质量较集中, 而乙车间的 产品质量较分散,所以甲车间的产品质量比较稳定.

归纳升华 1.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶,如本题中数据 是两位数,十位数字为“茎”,个位数字为“叶”;如果 是小数时,通常把整数部分作为 “ 茎 ” ,小数部分为 “叶”.解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.
2.利用茎叶图进行数据分析时,一般从数据分布的 对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑.

[变式训练]

(1)(2015· 重庆卷)重庆市 2013 年各月的

平均气温(℃)数据的茎叶图如右图所示,则这组数据的中 位数是( A.19 C.21.5 ) B.20 D.23

(2)如图是 2016 年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中 m 为数字 0~9 中 的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名 选手得分的平均数分别为 a1,a2,则一定有( )

A.a1>a2 C.a1=a2

B.a2>a1 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关

解析:(1)由题目中的茎叶图可知,这组数据由小到 大依次为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31, 32, 20+20 所以中位数为 =20. 2

(2)根据题目中的茎叶图可知,去掉一个最高分和一 5+4+5+5+1 个最低分后, 甲的平均分为 a1=80+ =84, 5 4+4+6+4+7 乙的平均分为 a2=80+ =85,故 a2>a1. 5 答案:(1)B (2)B

1.频率分布表与频率分布直方图. (1)频率分布指的是样本数据在各个小范围内所占整 体比例的情况.频率分布表在数量表示上比较确切,但 不够直观、形象,用它来分析数据分布的总体趋势不太 方便;而频率分布直方图能够很容易地表示大量数据, 非常直观地表明分布的形状,使我们能够看到在分布表 中看不清楚的数据模式.

(2)在频率分布直方图中,由于小长方形的面积=组 频率 距× =频率,所以各个小长方形的面积表示相应各 组距 组的频率.各个小长方形的面积总和等于 1. 2.频率分布与总体分布. (1)总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百 分比,它能给我们提供更加精细的信息.

(2)总体密度曲线通常都是由样本的频率分布估计出 来的.

3.茎叶图的适用条件. 茎叶图只方便记录两组数据,两组以上的数据虽然 能够记录,但是没有那么直观、清晰.



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