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中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

课题:锐角三角函数的实际应用
【基础知识回顾】
知识点 1:锐角三角函数的概念(正弦、余弦、正切、余切)
技巧点拨: ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边(谐音“正邪”)

③切——垂直的意思,只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边(即邻边) 余切——分子是剩下的直角边(即邻边) 简记为:正弦——对比斜(或正比斜) 正切——对比邻 余弦——邻比斜

知识点 2:常见的锐角三角函数值
三角函数 sinα 30° 45° 60° 技巧点拨 分母都是 2,分子分别是 √1、 2 、 3 分母都是 2,分子分别是

1 2
3 2 3 3

2 2 2 2

3 2

cosα

1 2

3 、 2 、√1
分母都是 3 ,分子分别是

tanα

1

3 3 、1、3

【新课知识讲解】
知识点 3:解直角三角形
1、解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直 角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c

(1)三边之间的关系: a 2 ? b 2 ? c 2 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°(三角形内角和) (3)边角之间的关系: (锐角三角函数)
sin A ? a b a b b a b a , cos A ? , tan A ? , cot A ? ; sin B ? , cos B ? , tan B ? , cot B ? c c b a c c a b

知识点 4:直击中考——解直角三角形的实际应用:测距、测高、测 长等
例 1、如图,直升飞机在跨河大桥 AB 的上方点 P 处,此时飞机离地面的高度 PO =450 m,且 A,B,O 三点在一条直线上,测得∠?=30° ,∠?=45° ,求大桥 AB 的长(结果保留根号).

【分析】 第一步:确定相关直角三角形 本题中∠?、 ∠? 分别在 RtΔ AOP、 RtΔ BOP 中 (由平行线内错角相等转化已知角) 第二步:分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步:代入已知条件求值,并简答 【答案】 由题意得,ΔAOP、ΔBOP 均为直角三角形, ∠PAO=∠?=30° ,∠PBO=∠?=45° ,PO=450m 在 RtΔAOP 中,tan∠PAO=PO/AO 在 RtΔBOP 中,tan∠PBO=PO/BO 代入数值,计算得 tan∠PAO=PO/AO=tan∠?= tan∠PBO=PO/BO=tan∠?=1
3 3

所以 AO= 3 PO 所以 BO=PO

AB=AO-BO=( 3 -1)PO=450( 3 -1)m 答:AB 长为 450( 3 -1)m

例 2、如图,已知两座高度相等的建筑物 AB、CD 的水平距离 BC=60 米,在建 筑物 CD 上有一铁塔 PD,在塔顶 P 处观察建筑物的底部 B 和顶部 A,分别测行 俯角 ? ? 45 , ? ? 30 ,求建筑物 AB 的高。 (计算过程和结果一律不取近似值)
0 0

【分析】 第一步:确定相关直角三角形 RtΔ ADP、RtΔ BCP 第二步:分别在直角三角形中列出已知角的锐角 三角函数值 第三步:代入已知条件求值,并简答 【解答】 由题意得:ΔADP、ΔBOP 均为直角三角形, ∠PBC=∠?=45° ,∠PAD=∠?=30° ,BC=AD=60m,AB=CD 在 RtΔADP 中,tan∠PAD=PD/AD 在 RtΔBOP 中,tan∠PBC=PC/BC 代入数值,计算得 tan∠PAD=PD/AD=tan∠? = tan∠PBC=PC/BC=tan∠?=1 AB=CD=PC-PD=(13 3

P

所以 PD=

3 AD 3

所以 PC=BC

3 3 )BC=(1)× 60m=(60-20 3 )m 3 3

答:AB 长为(60-20 3 )m

【技巧点拨】 (1)此类题型解答步骤:
第一步:围绕题目中给出的已知角度、线段长度,构建合适的直角三角形,一 般需要确定两个直角三角形 注意:合适的直角三角形指的是包含已知角和已知线段的直角三角形,或者是 先利用平行线性质、角度互余关系将已知角转化为其同位角、内错角或余角, 包含这些转化后的角的直角三角形) 第二步:分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段(边)列出已知角的 锐角三角函数 第三步:代入数值计算,注意题目对计算结果的要求,并简要作答。

(2)常见数学模型总结: 模型①
P

已知角∠POA、∠POB 已知线段 AB,求线段 PO 或已知线段 PO,求线段 AB ——对应例 1 点拨:利用 RtΔ AOP、RtΔ BOP

O

B

A

模型②
P 已知角 ∠PAC、线段 AB 和 BD, 求线段 PC 点拨:利用 RtΔ ACP、RtΔ BDP C A

D

B

模型③
P 已知∠PAC、∠PBD,线段 AB 和 BD, 求线段 PC 或 PD ——对应例 2 C A 点拨:利用 RtΔ ACP、RtΔ BDP

D

B

模型④
P Q 已知∠APQ 和∠BPQ,线段 AB, 求线段 PO 点拨;利用 RtΔ APQ、RtΔ BPQ A

O

B

模型⑤
P 已知∠PAO 和∠BAO, 已知线段 AO,求线段 PB 或已知线段 PB,求线段 OA 点拨:利用 RtΔ APO、RtΔ ABO

B

O

A

【课堂练习】
为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设 立了交通路况显示牌(如图) .已知立杆 AB 高度是 3m,从侧面 D 点测得显 示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°.求路况显示牌 BC 的高 度. (提示:参照模型⑤)

【分析】 第一步:确定 RtΔ ABD、RtΔ ACD 第二步:分别在 RtΔ ABD、RtΔ ACD 中,列出已知角∠ADB、∠ADC 的正切值 tan∠ADB=AB/AD tan∠ADC=AC/AD

第三步:代入数值计算并作答 【解】由题意得:Δ ABD、Δ ACD 均为直角三角形,且∠ADB=45°,∠ADC=60° AB=3m 在 RtΔ ABD 中,tan∠ADB=AB/AD 在 RtΔ ACD 中,tan∠ADC=AC/AD 代入数值计算得,AD=AB=3m,AC= 3 AD=3 3 m 故 BC=AC-AB=(3 3 -3)m

【真题演练】
1、在一个阳光明媚、清风徐来的周末,小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把 风筝放飞后, 将两个风筝的引线一端都固定在地面上的 C 处(如图).现已知风筝 A 的引线(线段 AC)长 20m,风筝 B 的引线(线段 BC)长 24m,在 C 处测得风 筝 A 的仰角为 60° ,风筝 B 的仰角为 45° . (1)试通过计算,比较风筝 A 与风筝 B 谁离地面更高? (2)求风筝 A 与风筝 B 的水平距离. (精确到 0.01 m;参考数据:sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732)
B A

60° E D 45° C

2、 (9 分) (2014?河南)在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中,我军舰 A 测得潜 艇 C 的俯角为 30° , 位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯 角为 68° ,试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度. (结果保留整数, 参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7) (提示:参照模型④)

3、(2013 年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹 江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝 土培厚加高,使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米, 以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示 意图, 其中原坝体的高为 BE , 背水坡坡角 ?BAE ? 68? , 新坝体的高为 DE ,背水坡坡角 ?DCE ? 60? 。 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC .(结果精确到 0.1 米,参考数 据: sin 68? ? 0.93,cos68? ? 0.37, tan 68? ? 2.50, 3 ? 1.73 ) (提示:参照模型①)

4、(2012 年河南省)(9 分)某宾馆为庆祝开业,

在楼前悬挂了许多宣传条幅,如图所示,一条 幅从楼顶 A 处放下,在楼前点 C 处拉直固定, 小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前 D 处 测得楼顶 A 点的仰角为 31° , 再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处,测得点 A 的仰角为 45° ,已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米,
?ABD ? 90? , 请 根 据 以 上 数 据 求 条 幅 的 长 度 ( 结 果 保 留 整 数 . 参 考 数 据 :

tan31? ? 0.6,sin31? ? 0.52,cos31? ? 0.86 ) (提示:参照模型①)

5、(2011 年河南省)(9 分)如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢 塔.小明所在的课外活动小组在距地面 268 米高的室外观光层的点 D 处,测得 地面上点 B 的俯角 α 为 45° ,点 D 到 AO 的距离 DG 为 10 米;从地面上的点 B 沿 BO 方向走 50 米到达点 C 处,测得塔尖 A 的仰角 β 为 60° 。请你根据以上数 据计算塔高 AO,并求出计算结果与实际塔高 388 米之间的误差.(参考数据:
3 ≈1.732, 2 ≈1.414.结果精确到 0.1 米)



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