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人教版高一数学必修 5 主要知识点

第一章 解三角形

1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c

3、三角形中的基本关系:sin(A ? B) ? sin C, cos(A ? B) ? ? cos C, tan(A ? B) ? ? tan C,

sin A ? B ? cos C , cos A ? B ? sin C , tan A ? B ? cot C

2

2

2

2

2

2

4、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外

接圆的半径,则有 a ? b ? c ? 2R . sin ? sin ? sin C

5、正弦定理的变形公式:

①化角为边: a ? 2Rsin ? , b ? 2Rsin ? , c ? 2Rsin C ;

②化边为角: sin ? ? a , sin ? ? b , sin C ? c ;

2R

2R

2R

③ a : b : c ? sin ?: sin ?: sin C ;④

a?b?c

? a ?b? c .

sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

6、两类正弦定理解三角形的问题:

①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要

注意解的情况(一解、两解、三解))

7、余弦定理:在 ???C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

8、余弦定理的推论:cos ? ? b2 ? c2 ? a2 ,cos ? ? a2 ? c2 ? b2 ,cos C ? a2 ? b2 ? c2 .

2bc

2ac

2ab

(余弦定理主要解决的问题:1.已知两边和夹角,求其余的量。2.已知三边求角) 9、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角) 10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一
成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:

①若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ;②若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ;③若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 .

1

11、三角形面积公式:
12、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为 2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等)
13 、三角函数中 诱导公式及辅助角公式(和差角、倍角等) 。
第二章 数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an). 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an).
2

7、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an). 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.

9、数列的通项公式:表示数列?an? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间的关系的公式.
11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称

为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是
等差数列有以下三种方法:

① an ? an?1 ? d(n ? 2, d为常数) ②2 an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 ) ③ an ? kn ? b ( n, k 为常数

12、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ? a ? c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.
2
? ? ? ? 13、若等差数列 an 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? n ?1 d .

? ? ? ? 14、通项公式的变形:① an

? am ?

n?m

d ;② a1 ? an ?

n ?1

d ;③ d

?

an ? a1 n ?1



④n

?

an ? a1 d

?1;⑤ d

?

an ? am n?m



15、若?an? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;

若?an? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 2an ? ap ? aq .

? ? 16. 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn

n ?

a1 ? an 2

n?n ?1?
; ② Sn ? na1 ? 2 d . ③

sn ? a1 ? a2 ? ? an
? ? ? ? 17、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ?* ,则 S2n ? n an ? an?1 ,且

S偶 ? S奇

? nd



S奇 S偶

?

an an?1



? ? ②若项数为 2n ?1

n ? ?*

? ? ,则 S2n?1 ?

2n ?1

an ,且 S奇

? S偶

?

an ,

S奇 S偶

? n (其中 n ?1

S奇 ? nan , S偶 ? ?n ?1? an ).

3

18、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称

为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示: an?1 ? q (注:①等比数列中不 an
会出现值为 0 的项;②同号位上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:

① an ? an?1q(n ? 2, q为常数,且 ? 0)



a

2 n

?

an?1 ? an?1

( n ? 2 , an an?1an?1

?0)

③ an ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ an }成等比的充要条件是数列{ log x an }( x ?1)成等比数列.
19、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G ,b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若

G2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.(注:由 G2 ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,

由 a , G , b ? G2 ? ab )

? ? 20、若等比数列 an 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .

21、通项公式的变形:① an ? amqn?m ;② a1 ? anq??n?1? ;③ qn?1 ?

an a1

;④

qn?m ? an . am

22、若?an? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;

若?an? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 an2 ? ap ? aq .

?na1 ?q ? 1?

? ? 23 、 等 比 数 列 ?an?

的前

n

项和的公式:①

Sn

? ? ? a1

1? qn

?

? a1 ? anq ?q ? 1? . ②

? 1?q

1? q

sn ? a1 ? a2 ? ? an

24、对任意的数列{ an }的前 n 项和 S n 与通项 an 的关系: an

?

?s1 ??s n

? a1 (n ? 1) ? sn?1 (n ? 2)

[注]: ① an ?a1??n ?1?d ? nd ? ?a1?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常

数列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).

②等差{ a n }前

n

项和 S n?

An

2

?

Bn

?

?? ?

d 2

??n ?

2

??? ?

a1?

d 2

??n ?

→ d 可以为零也可不为零→为等差 2

4

的充要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条

件. ③非.零.常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)

附:几种常见的数列的思想方法:

1.等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有 两种方法:

一是求使 an

? 0, an?1

? 0 ,成立的 n

值;二是由 Sn

?

d 2

n2

? (a1

?

d )n 利用二次函数的性质求 2

n 的值.

2.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:

数列

通项公式

对应函数

等差数列



时为一次函数)

等比数列

(指数型函数)

数列 等差数列 等比数列

前 n 项和公式

对应函数



时为二次函数)

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关 于 n 的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

3.例题:1、等差数列 中,





.

分析:因为 是等差数列,所以 是关于 n 的一次函数,

一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n, )三点共线,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即

,得 =0(图像如上),这

里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。

例题:2、等差数列 中,

,前 n 项和为 ,若
5

,n 为何值时 最大?

分析:等差数列前 n 项和 可以看成关于 n 的二次函数 =



是抛物线 =

上的离散点,根据题意,



则因为欲求 最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为



即当

时, 最大。

例题:3 递增数列 ,对任意正整数 n,

恒成立,求

分析: 构造一次函数,由数列



恒成立,所以

递增得到: 对一切

对于一切 恒成立,设

恒成立, ,

则只需求出

的最大值即可,显然

有最大值

,所以 的取值范围是:



构造二次函数,

看成函数

,因为是递增数列,即函数

,它的定义域是 为递增函数,单调增区间为

,抛物线对称轴

,因为函数 f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与

已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴



的左侧也可以(如图),因

为此时 B 点比 A 点高。于是,

,得

4.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依

照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:1? 1 ,3 1 ,...(2n ?1) 1 ,...

24

2n

5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的

第一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d2 的最小公倍数.

6

6. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然

数,验证

an

?

an?1

(

an an?1

)

为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证

2an?1 ? an ? an?2 (an2?1 ? an an?2 )n ? N 都成立。

7. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ???aamm?1??00 的项数

m

使得 sm 取最大值.

(2)当 a1 <0,d>0

时,满足

?am ? 0 ??am?1 ?

0

的项数

m

使得 sm

取最小值。在解

含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

附:数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于

? ? ?

an

c an?1

? ? ?

其中{

an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理

数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于?anbn ?其中{ an }是等差数列,?bn ?是各项不为 0 的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.

5.常用结论

1): 1+2+3+...+n = n(n ?1) 2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n 2

3)13

?

23

???

n3

?

?1 ?? 2

n(n

2
? 1)???

4) 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1)

6

;

5)

1 ?1? 1 ,

n(n ? 1) n n ? 1

1 ? 1 ( 1 ? 1 ) 6) 1 ? 1 ( 1 ? 1 ) ( p ? q)

n(n ? 2) 2 n n ? 2 ;

pq q ? p p q

7

※附加:重点归纳

等差数列和等比数列(表中 m, n, p, q ? N? )

类别 项目

等差数列 ?an ?

定义

an?1 ? an ? d

通项公 式

an ? a1 ? ?n ?1?d an ? am ? ?n ? m?d

前n项 和

Sn

?

n ?a1 ?
2

an ?

?

na1

?

n?n ?1?
2

d

等差(比) 中项
公差 (比)

2an?1 ? an ? an?2
d ? an ? am , ?m ? n?
n?m

等比数列 ?an ?

an?1 ? q an

an ? a1qn?1

an ? amqn?m

?na1 ?q ? 1?

? ? ?

Sn ? ? a1 1? qn ?

? a1 ? anq ?q ? 1?

? 1?q

1? q

a2 n?1

?

an

? an?2

qn?m ? an am

m ? n ? p ? q ? am ? an ? ap ? aq

m ? n ? p ? q ? am ? an ? ap ? aq

m ? n ? 2 p ? am ? an ? 2ap

m ? n ? 2 p ? am ? an ? ap2

性质

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 成等差 数列,公差为 m2d ( Sn 是前 n 项和)
am , am?k , am?2k , 仍然是等差数列, 其公差为 kd

Tm ,

T2m Tm

,

T3m T2m

,

成等比数列,公

比为 qm2 (Tn 是前 n 项积)

am , am?k , am?2k , 仍然是等比数

列,其公比为 qk

?kan ? b? 是等差数列

? ? bank 是等比数列( b ? 0 )

d ? 0, ;

a1 ? 0 时,q ? 1, ,0 ? q ? 1, ;

单调性

d ? 0, ;

a1 ? 0 时,q ? 1, ,0 ? q ? 1, ;

d ? 0, 常数列

q ?1 为常数列;q ? 0 为摆动数列

8

2.等差数列的判定方法:( a,b, d 为常数)

⑴.定义法:若 an?1 ? an ? d
⑵.等差中项法:若 2an?1 ? an ? an?2

? ?an? 为等差数列.

⑶.通项公式法:若 an ? an ? b

⑷.前 n 项和法: Sn ? an2 ? bn

3. 等比数列的判定方法:( k , q 为非零常数)

⑴.定义法:若 an?1 ? q an

⑵.等比中项法:若

a2 n?1

?

an

? an?2

? ?an? 为等比数列.

⑶.通项公式法:若 an ? kqn

⑷.前 n 项和法: Sn ? k ? kqn

第三章 不等式

一、不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b,b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4)同向不等式加法法则: a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (5)乘法法则: a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b,c ? 0 ? ac ? bc (6)同向不等式乘法法则: a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd
(7)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? bn (n ? N * 且n ? 1)

(8)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b(n ? N * 且n ? 1)

(9)倒数法则: a ? b,ab ? 0 ? 1 ? 1 ab
二、一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 和 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 及其解法

? ?0

? ?0

? ?0

9

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

y ? ax 2 ? bx ? c

一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0
?a ? 0?的根

有两相异实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实根 b
x1 ? x2 ? ? 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

? ? x x ? x1或x ? x2 ?x x1 ? x ?x2?

??x ?

x

?

?

b?

2a

? ?

?

R
?

1.一元二次不等式先化标准形式( a 化正)2.常用因式分解法、求根公式法求解一

元二次不等式。

口诀:在二次项系数为正的前提下:“大于取两边,小于取中间”

三、均值不等式

1、设 a 、 b 是两个正数,则 a ? b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2
几何平均数.
2、基本不等式(也称均值不等式): 若 a ? 0 均值不等式:如果 a,b 是正数,那么 a ? b ? 2 ab 即 a ? b ? ab(当且仅当a ? b时取"?"号).
2
注意:使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等

3、平均不等式:(a、b 为正数),即

a2 ? b2 a ? b

?

?

ab ?

2

(当 a = b 时取等)

2

2

1?1

ab

4、常用的基本不等式:① a2 ? b2 ? 2ab?a,b? R? ;② ab ? a2 ? b2 ?a,b ? R? ;
2

③ ab

?

? ??

a?b 2

2
? ? ?

?a

?

0, b

?

0? ;④

a2

? b2 2

?

? ??

a

?

b

2
?

2 ??

?a,b ? R? .

10

5、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 s2 .⑵若 xy ? p (积为定
4

值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离;| x1 ? x2 |是指数轴上 x1, x2 两点

间的距离 ;

?a 代数意义:| a |? ??0
??? a

a?0 a?0 a?0

2、 如果a ? 0, 则不等式:

| x |? a ??? x ? a 或x ? ?a ;| x |? a ??? x ? a 或x ? ?a

| x |? a ??? ? a ? x ? a ; | x |? a ??? ? a ? x ? a

4、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f (x) g( x)

?

0

?

f (x)g(x) ?

0;

f (x) g( x)

?

0

?

? f (x)g(x) ?

? ?

g(

x

)

?

0

0

②指数不等式:转化为代数不等式

a f ( x) ? a g( x) (a ? 1) ? f ( x) ? g( x) ; a f ( x) ? a g( x) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g( x)

③对数不等式:转化为代数不等式

? f (x) ? 0 loga f ( x) ? loga g( x)(a ? 1) ? ??g( x) ? 0
?? f ( x) ? g( x)

? f (x) ? 0

loga

f ( x) ? loga

g(

x)(0

?

a

?

1)

?

? ?

g(

x)

?

0

?? f ( x) ? g( x)

④高次不等式:数轴穿线法口诀: “从右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;

小于取下边,大于取上边”

例题:不等式 (x2 ? 3x ? 2)( x ? 4)2 ? 0 的解为( ) x?3

A.-1<x≤1 或 x≥2

B.x<-3 或 1≤x≤2

C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2

D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2

六、不等式证明的常用方法:作差法、作商法

11

七、线性规划
1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对
? x, y? ,所有这样的有序数对 ? x, y? 构成的集合.

4、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ?? x0, y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.
5、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .
(一)由 B 确定:
①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.
(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。

②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。

(三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一)(二)来确定 ③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

?2x ? y ? 5 ? 0

例题:画出不等式组

? ?

y

?

3x

?

5

所表示的平面区域。

??2 y ? x ? 5 ? 0

解:略

6、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条

12

件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y? .
可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 附加:1 二元一次不等式(组)表示的平面区域
直线 l : Ax ? By ? C ? 0 (或 ? 0 ) :直线定界,特殊点定域。 注意: Ax ? By ? C ? 0(或 ? 0) 不包括边界; Ax ? By ? C ? 0(? 0) 包括边界 2. 线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问 题的基本步骤是: 注意:1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得; 2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无 数个。
13



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