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二次函数在闭区间上的最值(单调性应用)


高中数学

二次函数在闭区间上的最值

香城中学数学组

轴定区间定时的值域与最值
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. (1)若x∈[ –2,0 ], 求函数f(x)的最值;
y

–2

0 1

3

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. (1)若x∈[ –2,0 ],求函数f(x)的最值;
(2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;
y

–1 0 1

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[ –2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求 2 2

y

函数f(x)的最值;
1 2 5 2

–1 0 1

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;

1 3 (4)若x∈[ ? , ], 2 2

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; y 2 2

求函数f(x)的最值;
?

1 2

3 2

–1 0 1

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若 x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t t +2 –1 0 1 2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t –1 0 1

t +2

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t –1 0 1

t +2 2 3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t
–1 0 1

t +2 2 3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t
–1 0 1

2

t +2 3 4

x

y

t t +2 –1 0 1 2

3 4

x

评注:例1属于“轴 定区间变”的问题, 看作动区间沿x轴移 动的过程中,函数最 值的变化,即动区间 在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化, 要注意开口方向及端 点情况。

轴动区间定时的值域与最值
例2, ①求函数 简析: 对称轴:

y ? x2 ? 2ax ? 1 x ??0, 2? 的最小值
由图像知

x?a

y 当a<0时: min
当0≤a≤2时:

? f (0) ? 1
? f (2) ? 5 ? 4a
0 1 X=a X=a 2 X=a

ymin ? f (a) ? ?a 2 ? 1

y 当a>2时: min

解:②求函数y=x2-2ax+1,x∈[0,2]的最大值.
简析: 当a≤1时: ymax 当a>1时: ymax

? f (2) ? 5 ? 4a

? f (0) ? 1

0

1

2

评注:例2属于“轴变区间定”的问题,看作 对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。

轴定,区间定,开口变
f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1在[?3, 2]上有最大值4,则a= 例3,

f ( x) ? a( x ? 1)2 ? a ? 1
a>0 a<0

-3 -2 -1 -3 -2 -1

1

2

1

2

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y y

–1 0 1

2

x

–1 0 1

2

x

例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y y

–1 0 1

2

x

–1 0 1

2

x

评注:例3属于“轴变区间定,开口变”的问 题,看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值 的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对 称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及 端点情况。
y y

–1 0 1

2

x

–1 0 1

2

x



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