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2014届高三数学二轮复习精品教学案:填空题解题策略


专题二 填空题解题策略
【考情分析】
填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的空位上,将缺少 的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题是一种传统的题型,也是高考试卷中又一常见题型。填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路 可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而解选择题的有关策略、 方法有时也适合于填空题.近几年高考,都有一定数量的填空题,且稳定了 4 个小题左右,每题 5 分,共 20 分,约占全卷总分的 13%。 预测 13 年高考的命题方向为: (1)保持题量和分值的稳定; (2)出题点多在:简单难度的填空题为分段函数求值、导数和定积分的求解以及简单的三角、数列 问题;中等难度的填空题为三角、数列、解析几何、立体几何的求值问题;难度较大的填空题为考察合情 推理的开放题;

【知识归纳】
数学填空题作为数学高考试题中第二大类型题,其特点是:形态短小精悍;跨度大;覆盖面广;形式 灵活;考查目标集中,旨在考查数学基础知识和学生的基本技能;重在考查学生分析问题、解决问题的能 力以及严密的逻辑思维能力和运算能力。填空题只要求直接写出结果,不必写出计算或推理过程,其结果 必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简。结果稍有毛病,便得零分。坚持"答案的正确性"、"答 题的迅速性"和"解法的合理性"等原则。 1.填空题诠释 填空题又叫填充题,是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的 空位上,将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、 符号、数学语句等; 填空题不要求学生书写推理或者演算的过程,只要求直接填写结果,它和选择题一样,能够在短时间 内作答,因而可加大高考试卷卷面的知识容量,同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算 解决能力和推理论证能力。填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生 在指定空位上将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数 字、符号、数学语句等. 填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的题目或基本题 型. 填空题不需过程,不设中间分值,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误。 根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型: 一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不等式解集、函数的定义域、值 域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等. 由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以高考 题多数是以定量型问题出现。 二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质,如:给定二次曲 线的焦点坐标、离心率等等. 近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题. 2.填空题解题策略 填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明 理由,又无需书写过程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。填空题虽题小,但跨度大, 覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用 知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力. 想要又快又准地 答好填空题,除直接推理计算外,还要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法。 传统型填空题: (1)直接求解法

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直接求解法是直接从题设出发,抓住命题的特征,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、 计算、判断而得结果。这是解填空题时常用的基本方法; (2)特殊值法 当填空题有暗示,结论唯一或其值为定值时,我们可以取一些特殊值来确定这个“定值” ,特别适用 于题目的条件是从一般性的角度给出的问题; (3)数形结合法 由于填空题不必写出论证过程,因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答; (4)等价转化法 将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式; (5)升华公式法 在解填空题时,常由升华的公式解答,使之起点高、速度快、准确率高; (6)特征分析法 有些问题看似非常复杂,一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征,此问题就能迎刃而解; (7)归纳猜想法 由于填空题不要求推证过程,因此,我们也可用归纳、猜想得出结论; 开放型填空题 (1)多选型填空题 多选型填空题是指:给出若干个命题或结论,要求从中选出所有满足题意的命题或结论。这类题不论 多选还是少选都是不能得分的。因此,要求同学们有扎实的基本功,而举反例是否定一个命题的最有效方 法; (2)探索型填空题 探索型填空题是指:从给定的题设中探究其相应的结论,或从题目的要求中探究其必须具备的相应 条件; (3)新定义型填空题 即定义新情景,给出一定容量的新信息(考生未见过) ,要求考生依据新信息进行解题。这样必须紧 扣新信息的意义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解; (4)组合型填空题 组合型填空题是指:给出若干个论断要求考生将其重新组合,使其构成符合题意的命题。解题时,要 求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握,准确地阐述自己的观点,理清思路,进而完成组合顺 序; 3.填空题减少失分的方法 (1)回顾检验:填空题解答之后再回顾,即再审题,这是最起码的一个环节,可以避免审题上带来 的某些明显的错误; (2)赋值检验:若答案是无限的、一般性结论时,可赋予一个或几个特殊值进行检验,以避免知识 性错误; (3)逆代检验:若答案是有限的、具体的数据时,可逐一代入进行检验,以避免因扩大自变量的允 许值范围而产生增解致错; (4)估算检验:当解题过程中是否等价变形难以把握时,可用估算的方法进行检验,以避免忽视充 要条件而产生逻辑性错误; (5)作图检验:当问题具有几何背景时,可通过作图进行检验,以避免一些脱离事实而主观意想的 错误; (6)多种检验:一种方法解答之后,再用其它方法解之,看它们的结果是否一致,从而可避免单一 的方法造成的策略性错误; (7)静态检验:当问题处在运动状态但结果是定值时,可取其特殊的静止状态进行检验,以避免非 智力因素引起的心理性错误。

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【考点例析】
下面以一些典型考题为例,介绍解填空题的几种常用方法与技巧,从中体会到解题的要领:快——运 算要快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题 要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意。 题型 1:传统解法之直接求解法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运 算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出选项“对号入座” ,作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨 析或运算较简单的题目常用直接法。 例 1. (2012 浙江.理 13)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2, 则 q=______________。
3 【答案】 ; 2

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 ,两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 , 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

3 或 q ? ?1 (舍去). 2 例 2. (2012 上海.理 11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) 。

解之得: q ?

【答案】

2 ; 3
2 2 2
2 2 1

【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有 C 3 C 3 C 3 ? 27 中,若有且仅有两人选择的项目完成 相同,则有 C 3 C 3 C 2 ? 18 ,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为

18 2 ? 。 27 3

题型 2:传统解法之特值法 当填空题的题目提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时 , 只须把题中的参变量用特殊值 ( 或特殊函 数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之,即可得到结论.在运用这 种方法时注意化抽象为具体,化整体为局部,化参量为常量,化较弱条件为较强条件等等.通过对“特殊”的思 考,启发思维,达到对“一般”的解决. 例 3. (2010 安徽文数,15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ① ab ? 1;② a ? b ?

1 1 2 ;③ a 2 ? b2 ? 2 ;④ a3 ? b3 ? 3 ;⑤ ? ? 2 。 a b

答案:①,③,⑤; 【解析】令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 a 2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? ? ? 2 ,命题⑤正确。 a b ab ab
例 4. 设 {a n } 是公比为 q 的等比数列, 若 {S n } 是等差数列, 则 q=______________; S n 是它的前 n 项和, 解析:因为非零的常数列 {c} 是公比为 1 的等比数列,且前 n 项和数列{nc}是公差为 c 的等差数列,可 知 q=1;

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x2 y2 例 5.椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的 9 4
取值范围是_______________________; 解析: 设 P(x, y), 则当 ?F1 PF2 ? 90? 时, 点 P 的轨迹为 x ? y ? 5 , 由此可得点 P 的横坐标 x ? ?
2 2

3 5



又当 P 在 x 轴上时, ?F1 PF2 ? 0 ,点 P 在 y 轴上时, ?F1 PF2 为钝角,由此可得点 P 横坐标的取值范 围是: ?

3 5 3 5 ; ?x? 5 5

题型 3:传统解法之数形结合法 借助图形的直观性,通过数形结合的方法,迅速作出判断的方法称为图象法.文氏图、三角函数线、函数 的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.数形结合的方法应用广泛,常见的应用如在解方程和解不等式问题 中,在求函数的值域、 最值问题中,在求向量和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.要注意培养这种意识,要争取胸中有图,见数想图,以开 拓自己的视野. 例 6( .1) (2012 浙江. 理 17) 设 a ? R, 若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0, 则 a=______________. 【答案】 a ? 2 ; 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: ( A) ? ( B) ?
1) x- 1? 0 ? (a- , 无解; 2 1? 0 ? x -ax-

1) x- 1? 0 ? (a- , 无解. 2 x - ax - 1 ?0 ?

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上,我们可 以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定 点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 可分析得:a>1; 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M(
2

1 ,0),还 a ?1

1 ,0),代入 a ?1

得:?

a ? 1 ? 解之得:a ? ? 2 , 舍去 a ? ? 2 , ?1 ? 0 , ? ? a ? 1 a ?1 ? ?

得答案: a ? 2 .

(2) (2012 福建. 理 15) 对于实数 a 和 b, 定义运算 “﹡” :
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2 ? ?a ? ab, a ? b a ?b ? ? 2 , 设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互 ? b ? ab , a ? b ?

不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是_________________. 【答案】 (

1? 3 ,0 ) . 16

【命题立意】本题属于新概念型题目,考查了根据条件确定分段函数解析式的能力,以及数形结合的 思想和基本推理与计算能力,难度较大. 【解析】由新定义得 f ( x) ? ?

?(2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 ?? 2 ,所以可以 2 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ( x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 )( x ? 1 ), ? x ? x , x ? 0 ? ?

画出草图,若方程 f ( x) ? m 有三个根,则 0 ? m ?

1 2 ,且当 x ? 0 时方程可化为 ? x ? x ? m ? 0 ,易知 4
1 ? 1 ? 8m , 所 以 4

x2 x3 ? m ; 当 x ? 0 时 方 程 可 化 为 2 x 2 ? x ? m ? 0 , 可 解 得 x1 ?

x1 x2 x3 ? m ?

1 ? 1 ? 8m 4

, 又 易 知 当 m?

1 4

时 m?

1 ? 1 ? 8m 4

有 最 小 值 , 所 以

1? 3 1 1? 3 1 ? 1 ? 8m ? x1 x2 x3 ? 0 . ? ? m? ? 0 ,即 16 4 4 4
题型 4:传统解法之等价转化法 等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围内可解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规 范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转化过程中,一定要注意转化前后的等价性, 如出现不等价转化,则需附加约束条件. 例 7 .( 2012 江 苏 . 14 ) 已 知 正 数 a , b, c 满足:

5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c , 则
是 .

b a

的 取 值 范 围

7? 。 【答案】 ? e,
【 解 析 】 条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4 c ? a, c ln b≥ a? cln c 可 化 为 :

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c

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?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 a b y ? 设 =x,y = ,则题目转化为:已知 x,y 满足 ? ,求 的取值范围。 x c c x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x,y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的切线 的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0 ? , 则

y0 ex0 ? m m ,要使它最小,须 m=0 。 = =e ? x0 x0 x0


y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处, 为e 。 此时, 点 P ? x0,y0 ? x

在 y =e x 上 A, B 之间。 当 (

x,y









C





? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y y ?? ? y =7 x ? =7 ,∴ 的最大值 ? y =5 ? 3 x 4 y =20 ? 12 x x x ? ? y b 7 ? ,即 的取值范围是 ? e, 7? 。 在 C 处,为 7,∴ 的取值范围为 ? e, a x 题型 5:传统解法之特征分析法
例 8. (1)(2012 江苏.5)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 【答案】 0, 6 ? ?。 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得: .

?

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ? 6 。 1 ? ? 1 ? 1 ? 2log x ? 0 log x ? 2 6 ? 6 ? ?x ? 6 = 6 2 ? ?
(2) (2012 北京.理 14)已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:①
x

?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 。则 m 的取值范围是_______。
【答案】 m ? (?4,?2) 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1。
x

由于题目中第一个条件的限制 ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立的限制,导致 ( x) 在 x ? 1 时必须是

f ( x) ? 0 的。当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 不能做到 f ( x) 在 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,所以舍掉。因此, f ( x) 作为二
次函数开口只能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 。

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1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? 为保证此条件成立,需要 ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ; ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?
又由于条件 2:要求 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f ( x) 恒负, 因此就需要在这个范围内 g ( x) 有得正数的可能, 即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大, 当 m ? (?1,0) 时, 解得, 交集为空, 舍。 当 m ? ?1 时, 两个根同为 ? 2 ? ?4 , 舍。 当 m ? (?4,?1) 时,2m ? ?4 , ? m ? 3 ? ?4 , 解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) . 题型 6:传统解法之归纳猜想法 例 9. 设 {a n } 是首项为 1 的正项数列,且 ( n ? 1)a n ?1 ? na n ? a n ?1a n ? 0 (n=1,2,3,??) ,则它
2 2

的通项公式是 a n ? ________________。 解析:因为 a 1 ? 1 ,所以 2a 2 ? 1 ? a 2 ? 0 ,而 a 2 ? 0 ,则 a 2 ?
2

1 。 2

又因为3a 2 3 ?2?

1 1 1 ? a 3 ? 0 , a 3 ? 0,所以a 3 ? 2 2 3 2 1 1 同理a 4 ? ,归纳得a n ? 。 4 n
3

例 10. 方程 x ? lg x ? 18的根x ? ____________。 (结果精确到 0.1) 解析:由已知, x ? (2 ,3),则x ? lg x ? 0 。而 3 18 ? 2.62 ,又结果需要精确到 0.1,所以当
3

x=2.6 时, x ? lg x ? 17.99 ;当x ? 2.5时,x ? lg x ? 16.02 ,故填 x ? 2.6 。
3 3

题型 7:开放型填空题之多选型填空题 多选型填空题是指:给出若干个命题或结论,要求从中选出所有满足题意的命题或结论.这类题不论多选 还是少选都是不能得分的,相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的推理过程,而是要求从结论出发逆 向探究条件,且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此,要求同学们有扎实的基 本功,能够准确的阅读数学材料,读懂题意,根据新的情景,探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必 须通过推理证明,而判断命题是假命题,举反例是最有效的方法. 例 11.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量” 。 {a n } 是公比为 q 的无穷等比数列,下 列“基量”为_________组; (1) S1 与S2 ; (2) a 2 与S 3 ; (3) a 1 与a n ; (4)q 与 a n (n 为大于 1 的整数, S n 为 {a n } 的前 n 项 和)

S1 与S2 确定, 解析: 因 a 1 与 q 确定, 则唯一确定一个数列, 对 (1) 即 a 1 ,a 1 ? a 1q 确定, 即 a 1 、q确定 ;
对 (2) 当 a 2 ? 2 ,S 3 ?

7 1 1 时, 有 a 1 ? 2 ,q ? 或a 1 ? , q=2 这两个数列; 对 (3) 当 n 为奇数,q ? ?2 2 2 2

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时, a n 相等;对(4)q 确定, a 1 ?

an 是唯一的。故填(1) (4) 。 q n ?1

题型 8:开放型填空题之探索型填空题 探索型填空题是指从问题给定的题设中探究其相应的结论,或从给定题断要求中探究其相应的必须具 备的条件.常见有:规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题,解题时要 求学生要善于从所给的结论出发,逆向追索,逐步探寻,推理得出应具备的条件,进而填空;如果是结论探索型 命题,解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论. 例 12. (2012 陕西)观察下列不等式

1?

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4


照此规律,第五个 不等式为 ... 解析:第四个 不等式为 1 ? ...

1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 11 个 不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 。 ? 2 ? 2 ? 2 ? ;第五 .. . 2 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 6

题型 9:开放型填空题之新定义型填空题 新定义型:即定义新情景,给出一定容量的新信息(考生未见过),要求考生依据新信息进行解题.这样必须 紧扣新信息的意义,将所给信息转化成高中所学习的数学模型,然后再用学过的数学模型求解,最后回到材料 的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系,要求同学有较强的 分析转化能力,不过此类题的求解较为简单. 例 13.定义“等和数列” ,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个 数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 {a n } 是等和数列且 a 1 ? 2 , 公和为 5, 那么 a 18 的值为_______, 且这个数列前 21 项和 S 21 的 值为_____________。 解:由定义及已知,该数列为{2,3,2,3,??},所以 a 18 ? 3,S 21 ? 52 。 题型 10:开放型填空题之组合型填空题 例 14.?,? 是两个不同的平面, m、 n 是平面 ?及? 之外的两条不同直线, 给出四个论断: (1)m?n , (2) ??? , (3) n?? , (4) m?? 。以其中三个论断作为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确 的一个命题________ _; 解析:通过线面关系,不难得出正确的命题有:

(1)m??,n??,??? ? m?n ( 2 )m??,n??,m?n ? ???
题型 11:填空题检验方法 (1)回顾检验 例 15.满足条件 cos ? ? ?

1 且 ?? ? ? ? ? 的角 ? 的集合 _____ 2
第8页

___。

错解:? cos

2? 1 4? 1 2? 4? 或 。 ? ? , cos ? ? , ?? ? 3 2 3 2 3 3

检验:根据题意,答案中的 示。故正确答案为{ (2)赋值检验

2? 2? }; ,? 3 3

4? 2? 不满足条件 ?? ? ? ? ? ,应改为 ? ;其次角 ? 的取值要用集合表 3 3

例 16.已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ? 3n ? 2n ? 1 ,则通项公式 a n =_________;
2

错解:? an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? 2n ? 1 ? [3(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? 1]
2 2

? 6n ? 1,? a n ? 6n ? 1
检验: 取 n ? 1 时, 由条件得 a1 ? s1 ? 6 , 但由结论得 a1 ? 5 。 故正确答案为 a n ? ? (3)估算检验 例 17.不等式 1 ? 1gx ? 1 ? lg x 的解是___
2

(n ? 1) ?6 ?6n ? 1 (n ? 2)

_______;

错解:两边平方得 1 ? lg x ? (1 ? lg x ) ,即 lg x(lg x ? 3) ? 0 ,0 ? lg x ? 3 , 解得 1 ? x ? 10 ;
3

检验: 先求定义域得 x ?

1 1 。 若 x ? 1, 则 1 ? lg x ? 0 ,1 ? lg x ? 0 , 原不等式成立; 若 ? x ?1 10 10

时, 1 ? lg x ? 1 ? lg x ,原不等式不成立。故正确答案为 x ? 1 。 (4)作图检验 例 18.函数 y ?|log 2 | x ? 1|| 的递增区间是___________; 错解:( 1, ? ? )

y

0

1

2

x

检验:? y ? ?

?| log 2 ( x ? 1)|( x ? 1) ?| log 2 (1 ? x )|( x ? 1)

作图可知正确答案为 [0 ,1) 与 [2 , ? ?) 。 (5)多种检验

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例 19.若

1 9 ? ? 1( x,y ? R ? ) ,则 x ? y 的最小值是_________。 x y
1 9 9 6 ? ?2 ? , xy ? 6 x y xy xy

错解:? 1 ?

? x ? y ? 2 xy ? 12
检验:上述错解在于两次使用重要不等式,等号不可能同时取到。换一种解法为:

1 9 y 9x y 9x ? x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 ? ? 16 , x y x y x y

? x ? y 的最小值为 16。
(6)极端检验 例 20 .已知关于 x 的不等式 (a ? 4) x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 的解集是空集,求实数 a 的取值范围
2 2

________

__;
2 2

错解:由 ? ? (a ? 2) ? 4(a ? 4) ? 0 ,解得 ? 2 ? a ?

6 。 5

6 ,则原不等式为 5 5 6 64 x 2 ? 80 x ? 25 ? 0 ,就是 (8 x ? 5) 2 ? 0 ,解得 x ? ,不满足题意。故正确答案为: ?2 ? a ? ; 8 5
检验:若 a ? ?2 ,则原不等式为 ?1 ? 0 ,解集是空集,满足题意;若 a ? (7)静态检验 例 21.在正方体 ABCD—A1 B1C1 D1 中,M、N 分别为棱 D1 D、BC 的中点,P 为棱 A1 B1 上的任意一 点,则直线 AM 与 PN 所成的角等于________ 错解:乱填一个角。 检验:设点 P 与点 B1 重合,则容易证明 AM?B1 N ,即 AM 与 PN 所成角等于 90? 。由题意知所求角 是个定值,故正确答案为 90? 。 ;

【方法技巧】
1.在解答填空题时,基本要求就是:正确、迅速、合理、简捷。一般来讲,每道题都应力争在 1~3 分钟内完成。填空题只要求填写结果,每道题填对了得满分,填错了得零分,所以,考生在填空题上失分 一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法; 解答选择、填空题的基本策略是准确、迅速。但填空题要保持填写结果形式和结果正确,不像解答题 能分步得分,稍有不慎就前功尽弃,为此要加强平时的积累和总结。 2.根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型: 一是定量型,要求学生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不等式的解集、函数的定义域、 值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比,缺少选择支的信息,所以 高考题中多数是以定量型问题出现。
第 10 页

二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质,如:给定二次 曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。 填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算法、规律发现 法、数形互助法等等; 解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、 完整。合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。

【专题训练】
1、将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体,这个多面体的面数最少可达到 . 2、设正实数 a、b、c、d 满足(a-1)(b-1)<0<(a-1)(c-1) ,且logda+logdb=logdc, 则|logda|与|logdb|的大小关系为 . 3、在一支长 15 厘米,粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片(体积不计),使蜡烛恰好能竖 直地浮于水中,上端有 1 厘米高的部分露在水面上,已知蜡烛比重为 0.85 克/立方厘米,现在点燃蜡烛, 当蜡烛被水淹没时,它的剩余长度是 . 4、设有四个条件: ①平面 γ 与平面 α、β 所成的锐二面角相等; ②直线 a∥b,a⊥平面 α,b⊥β; ③ a、b 是异面直线, a ? ? , b ? ? ,且a∥β,b∥α; ④ 平面 α 内距离为 d 的两条直线在平面 β 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线,其中能推出 α∥β 的 条件有 .(填写所有正确条件的代号)

a c ? ?0 5 、若 a 、 b 、 c 、 d 均为实数,使不等式 b d 和 ad ? bc 都成立的一组值( a , b , c , d )
是 . (只要写出适合条件的一组值即可)

6、正四棱锥P-ABC 的五个顶点在同一球面上, 若正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2 6 ,则此 球的表面积为 7、已知动圆 P 与定圆 C: (x+2) +y =1 相外切,又与定直线 L:x=1 相切,那么动圆的圆心 P 的 轨迹方程是 8、 如图第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来(n=1, , 2, 3, …) 。 则第 n-2 个图形中共有 个 顶点。 9、若
2 2

| a |? 2, 则 lim

2n ? a n ? n ?? 2 n ? a n
2

. .
2 2

10、抛物线 y ? 2 x ? 4 x 的焦点坐标是
A 2 =

11、已知△ABC 的三个内角为 A,B,C,所对的三边为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S ? a ? (b ? c) , 则 . 12、从 6 种不同的蔬菜种子 a,b,c,d,e,f 中选出四种,分别种在四块不同的土壤 A、B、C、D 中 进行试验,已有资料表明:A 土壤不宜种 a,B 土壤宜种 b,但 a,b 品种高产,现 a,b 必种的试验方案有 种. ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? , ? ? 13、若非零向量 向量 ,则 与? 所成角的大小为————。 14、若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 X2+Y2=16 内的概率是 ——————。
tan

? 1? x ?1 ( x ? 0) ? f ( x) ? ? x ?a ( x ? 0). ? 15、设函数 在 x=0 处连续,则实数 a 的值为

. 16、毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的 8 倍,则火星的

第 11 页

大圆周长约为______________万里.

. 18、设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向跳 1 个单位,经过 5 次跳动质点落在点 (3, 0) (允许重复过此点) 处, 则质点不同的运动方法共有 种 (用数字作答) 。

? ?? ?0, ? 17、函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 2 ? 上的最小值为

x2 ?1? ?1? ?1? f ?1? ? f ?2 ? ? f ? ? ? f ?3? ? f ? ? ? f ?4 ? ? f ? ? ? 2 ?2? ? 3? ?4? 1 ? x ,那么 19、已知函数 ?a ?a ? b ? a ?b ? ? , ?b?a ? b ? 例如,1 ? 2 ? 1 ,则函数 f(x)= sin x ? cos x 的值域为 20、定义运算 a ? b 为: f ?x ? ?

.



【参考答案】
1、5 . 36 ? 2、|logda|>|logdb| 7.y =-8x


.

3、6.67 厘米 8. n
2

.

4、(2) (3) . 5. (2,1,-3,-2)(只要写出的一组值适合条件即可)

6.

?n

9.1 10.

(1,?

15 ) 8
17. 1 18. 5 19. 20.

1 11. 4

12.84

13.

90

?

.

14.

2 9

15.

1 2

16. 4

2 [-1, ] 2

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