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1.1.1-2集合的含义与表示及集合间的关系


课题 1.1.1-2 集合的含义与表示及集合间的关系
【新课讲授】一.试一试 (15 分钟)
阅读教材 p1~p4,并完成下列知识要点填空和练习。 1.知识要点填空: (1)集合 :一般地, 叫作这个集合的元素. (2) 元素与集合的关系:a 是集合 A 的元素就说 就说 ,记作 a ? A ,记作 ,如果 a 不是集合 A 的元素 称为集合(简称为集).

(注意:元素和集合的关系只能是属于或者不属于) (3) 常见数集及记法: 自然数集记作 (4)集合的表示:i,集合通常用 ii,列举法: 把 表示为 iii,描述法: 用 解组成的集合可表示为: 注意:你在表示集合时怎样去选择合适的方法? (4)集合的分类: 叫空集,空集记作 叫有限集, . 叫无限集. .正奇数组成的集合可表示为 , 表示 Q 集, 整数集记作 , 正整数集记作
2

, 表示 R

.

字母表示,如 A,B,C 等.元素通常用小写字母表示,如 a,b,c 等. 表示集合的方法, 如方程方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集可 . 表示集合的方法.如不等式 x ? 3 ? 0 的所有

二. 问题 1:元素与集合有“属于”“不属于”的关系;数与数之间有“相等”“不相等” 、 、

的关系;那么集合与集合之间有什么样的关系呢? 2、概念的形成 问题 1 的探究: 具体实例 1:看下面各组中两个集合之间有什么关系 (1)A={1,2,3}, (2)A={菱形}, B={1,2,3,4,5}

B={平行四边形}

(3)A={x|x>2}, B={x|x>1} 具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢? (1)子集的定义: 文字语言:一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的 元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集。 符号语言: A ? B 或 B ? A 。 图形语言:
B A
1

这种图称为 Venn 图.

练习 1、用适当的符号填空: 0 {0}, {正方形} {矩形},三角形 {等边三角形} {x|2<x<4}

{梯形}

{平行四边形},{x|-1<x<5}

3、概念的深化 问题 2、如果集合 A 是集合 B 的子集,那么对于任意的 x ? A ,有 x ? B ;那么对于集合 B 中的任何一个元素,它与集合 A 之间又可能是什么关系呢? 问题 2 探究: 具体实例 2:(1)、A={x|x<-4 或 x>2},B={x|x<0 或 x>1} (2)、A={x|-1<x<3},B={x|-3<2x-1<5} (2)相等关系:如果集合 A ? B ,且 B

? A ,则 A=B。
?

(3)真子集的定义:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ∈B,且 x ? A,我们称集合 A 是 集合 B 的真子集,记作 A

B (或 B ? A). ?

?

问题 3、集合中会不会没有任何元素呢? 具体实例 3、考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么? (1)A = {(x,y) | x + y =2}。 (2)B = {x | x2 + 1 = 0,x ∈R}。 (4)空集的定义: 我们把不含任何元素的集合称为空集,记作 ? 。 规定:空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集。 4、能力提升 (5)子集的性质: 一般结论: ① A ? A. ②若 A ? B , B ? C ,则 A ? C . ③A = B ? A ? B ,且 B ? A .

2

【经典例题】 针对疑、难、易错点解析、设置例题) ( 【例 1】用列举法表示下列集合:
(1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2-x=0 的所有实数根组成的集合.

【例 2】分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程 x2-4=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

【例 3】1.已知集合A={1,m+1} ,则实数m满足的条件是__
2.集合{x|x -2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件为__
2

【例 4】1.写出集合 A={1,2,3}的所有子集,并指出有几个真子集是哪些? 2、集合 A 与集合 B 之间是什么关系? A={x|x=4k+2,k∈Z} B={x|x=2k,k∈Z }

【针对训练】一 1.用适当的方法表示下列集合:
大于-3 小于 2 的整数组成的集合: 方程 x -2=0 的解组成的集合: (3)小于 3 的有理数组成的集合: (4)所有偶数组成的集合: 2.下列各组对象能确定一个集合吗? (1)所有很大的实数 (2)好心的人
王新敞
奎屯 新疆

; ; ; .

2

王新敞
奎屯

新疆

(3)1, 2,3,4,5.

3

3.设集合A={ 1,x +5x},集合 B={1,6},且集合 A 与集合 B 相等,求实数 x 的值。 4 在数集{2x,x -x}中,实数 x 的取值范围是__
2

2

二.课本第 8 页练习 1,2,3

(1)写出集合{a、b}的所有子集;并指出其子集、真子集的个数。 (2)写出集合{a、b、c}的所有子集;并指出其子集、真子集的个数。 (3)写出集合{a、b、c、d}的所有子集;并指出其子集、真子集的个数。 归纳猜想:对于一个含有 n 个元素的集合,其子集的个数与元素个数之间有什么关系?

【练习检测】1.用符合“∈”或“?”填空:课本 P5 练习题 1

a
2.设 a,b 是非零实数,那么 a .

?

b b 可能取的值组成集合的元素是

2 3 3 3.由实数 x,-x,|x|, x ,? x 所组成的集合,最多含(



王新敞
奎屯

新疆

(A)2 个元素 (B)3 个元素 4.下列结论不正确的是( ) A.O∈N B.

(C)4 个元素 C.O ? Q

(D)5 个元素 D.-1∈Z

2 ?Q

5.下列结论中,不正确的是( A.若 a∈N,则-a ? N C.若 a∈Q,则|a|∈Q

) B.若 a∈Z,则 a2∈Z D.若 a∈R+,则 a ? R )

6.对于集合 A,B,“A?B”不成立的含义是( A.B 是 A 的子集 B.A 中的元素都不是 B 的元素 C.A 中至少有一个元素不属于 B D.B 中至少有一个元素不属于 A

7.集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0}那么( A.P ? M C.M=P B.M? P D.M P

)

8.设集合 A={x|x2=1},B={x|x 是不大于 3 的自然数},A?C,B?C,则集合 C 中元素最 少有( ) B.4 个

A.2 个

4

C.5 个

D.6 个

9.设 A={正方形},B={平行四边形},C={四边形},D={矩形},E={多边形},则 A、B、C、D、E 之 间的关系是________. 10.集合 M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则集合 M 与集合 P 的关系为________. 11.用适当的符号填空.(∈,?,?,?,? ,? ,=) a________{b,a};a________{(a,b)}; {a,b,c}________{a,b};{2,4}________{2,3,4}; ?________{a}.

【归纳小结】1.描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如: {整数},即代表整数集 Z。注意:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。 写法{实数集},{R}是错误的 2.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般无 限集,不宜采用列举法。 3.在认识集合时,应从两方面入手: (1)集合中的元素是什么?
(2)确定集合的表示方法是什么?表示集合时,与采用字母名称无关。

4.集合音质基本关系(1)知识点:①子集、真子集、相等关系的概念,空集的概念。 ②子集的相关性质。 (2)方法:数形结合(如数轴、Venn 图)解决有关集合问题 【课后作业】课本 P6 1. 2. 3. 课本 P13
4. 5.

5



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