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【人教版】2020学年高二数学上学期期中试题新人教版 新版

2020 学年上学期高二期中考试 (数学试题)

※ -精 品 人教 试 卷- ※

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分)

1.椭圆 C : y2 ? x2 ? 1的焦距为(



2

A. 2 2

B. 2

2. 下列不等式一定成立的是(
A.若 a ? b ,则 a ? 1 b

C.若 a ? b ,则 a ? c2 ? b ? c2

C. 2
)
B.若 a ? b ,则 1 ? 1 ab
D.若 a ? c2 ? b ? c2 ,则 a ? b

? ? 3.已知 an 是公差为 2 的等差数列,若 a8 ? 5a4 ,则 a10 ? (



A. 18

B. 14

C. 12

4.已知双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 ,则双曲线的渐近线方程为(

)

93

D. 1 D. 6

A. y ? ? 3 x 3

B. y ? ? 3x

C. y ? ? 1 x 3

D. y ? ?3x

5.等差数列?an? 中,若 a1 ? a5 ? a9 ? 39, a3 ? a7 ? a11 ? 27 ,则数列?an? 前 11 项的和为(

)

A. 121

B. 120

C. 110

D. 132

6.若双曲线 E : x2 ? y2 ? 1 9 16

的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 PF1 ? 3,则 PF2

等于

(

)

A.11

B.9

C.5

D.3

7.设命题 p : ?n ? N *, n2 ? 2n ,则 p 的否命题为( )

A. ?n ? N *, n2 ? 2n

B. ?n ? N *, n2 ? 2n

C. ?n ? N *, n2 ? 2n

D. ?n ? N *, n2 ? 2n

8.

已知椭圆 x2 ? 25

y2 m2

? 1 ?m ? 0? 的左焦点为 F1 ??4,0? ,则 m ? (

)

A. 9

B. 4

C. 3?

D. 2

9.已知对任意的 x ?R , 2x2 ? (a ?1)x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

)

2

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A. ???, ?1?

B. (?1,3)

C. (?3, ??)

D. ??3,1?

※ -精 品 人教 试 卷- ※

10.已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的离心率 e

?

5 4

,且其右焦点为 F2 ?5,0? ,则双曲线 C

的方程为(

)

A.

x2 y2 ? ? 1?

43

B.

x2 y2 ? ?1

16 9

C.

x2 y2 ? ?1

9 16

D.

x2 y2 ? ? 1?

34

11.设 a ? 0,b ? 0 .若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为(

)

ab

A. 8

B. 4

C. 1

D. 1 4

? ? ? ? 12.两个等差数列

an



bn

,其前 n

项和分别为 Sn

,且

Sn Tn

?

7n ? 2 n?3



a2 b7

? a20 ? b15

等于(

)

A. 9 4

B. 37 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分。)

C. 79 14

D. 149 24

13. 函数 y ? 2 ? x ? 4 (x ? 0) 的值域为__________ x

14. 设点 P 是椭圆 x2 ? 4 y2 ? 36 上的动点, F 为椭圆的左焦点,则 PF 的最大值为__________

15. 已知 p : x ? m, q :1 ? x ? 3 ,若 p 是 q 的必要而不充分条件,则实数 m 的取值范围是__________.

16.双曲线 3x2 ? y2 ? 3的顶点到渐近线的距离是__________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.(10 分) 已知 P : x2 ? 2x ? 63 ? 0 , q :1? m ? x ? 1? m(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求 m 的取值范
围。

18.(12 分) 已知?an? 是一个等差数列,且 a2 ? 1, a5 ? ?5 . 1.求?an? 的通项 an 2.求?an? 前 n 项和 Sn 的最大值.

19.(12 分) (1)已知 x>0,y>0,且 1 ? 9 ? 1 ,求 x+y 的最小值; xy

(2)已知 x ? 5 ,求函数 y=4x-2+ 1 的最大值;

4

4x ?5

(3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.

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※ -精 品 人教 试 卷- ※

20.(12

分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的一个顶点为

A?2,0? 离心率为

2 .直线 y ? k ?x ?1? 与椭圆 C
2

交于不同的两点 M , N 1.求椭圆 C 的方程 2.当 ?AMN 的面积为 10 时,求 k 的值
3

21. (12 分) (本小题满分 12 分)已知数列?an ?的前 n 项和为 sn,且 an 是 sn 与 2 的等差中项,数列?bn ?满足

bn ? log2 an

⑴求 a1 和 a2 的值;
⑵求数列?an ??bn ?的通项 an ,bn



设 cn

?

bn

1 ? bn?1

,求数列?cn ?的前 n 项和 Tn .

? ? 22.(12 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1, F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 P 4, ? 10 .
1.求双曲线的方程;
2.若点 M ?3, m? 在双曲线上,求证 MF1 ? MF2 ? 0 ;
3.若 2 的条件,求 ?F1MF2 的面积.

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一、选择题 BDBBA 二、填空题

BCCBB

新泰二中 2018--2020 学年上学期高二期中考试 (数学试题答案)
BD

13.答案: (??, ?2] 当 x ? 0 时,

y

?

2

?

? ??

x

?

4 x

? ??

?

2

?

2

x ? 4 ? ?2 . x

当且仅当 x ? 4 , x ? 2 时取等号.14.答案: 6+3 3 x

15.答案: 3 由已知,得 x2 ? y2 ? 1.∴渐近线方程为 y ? ? 3x .顶点 (?1,0) .

2

3

∴顶点到渐近线距离 d ?

3?0 ?

3.

3?1 2

16.答案: ?3, ???

三、解答题

※ -精 品 人教 试 卷- ※

17、答案: 解:





18.答案:1.设?an? 的公差为 d ,由已知条件,

{a1 ? d ? 1 , a1 ? 4d ? ?5

解出 a1 ? 3, d ? ?2 所以 an ? a1 ? ?n ?1?d ? ?2n ? 5

2.

Sn

?

na1

?

n?n ?1?
2

d

?

?n2

?

4n

?

4??n

?

2?2

所以 n

?

2 时,

Sn 取到最大 4

19、答案: (1)16(2)1(3)18

解析: 1)∵x>0,y>0, + =1,∴x+y=(x+y)

= + +10≥6+10=16.当且仅当 = 时,上式等号成立,

又 + =1,∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16.

(2)∵x ,∴5-4x>0,∴y=4x-2+

=-

+3≤-2+3=1,

当且仅当 5-4x=

,即 x=1 时,上式等号成立,

故当 x=1 时,ymax=1.

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(3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy,∴ + =1,

∴x+y=(x+y)

=10+ +

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=10+2

≥10+2×2×

=18,

当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号,又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18.
20.答案:1.椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 12. k ? ?1 42

a?2

解析:1.由题意得{c ? 2 a2

,解得 b ?

a2 ? b2 ? c2

2 ,所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 42

y ? k ? x ?1?
? ? 2.由{x2 ? y2 ? 1 ,得 1? 2k2 x2 ? 4k2x ? 2k2 ? 4 ? 0 42
设点 M , N 的坐标分别为 ? x1, y1 ?,? x2, y2 ? ,



y1

?

k ? x1

?1?,

y2

?

k ? x2

?1? ,

x1

?

x2

?

4k 2 1? 2k 2

,

x1x2

?

2k 2 ? 4 1? 2k 2

? ? ? ?? ? 所以 MN ? ? x2 ? x2 ?2 ? ? y2 ? ?y1 2 ?

1? k2

??? x1

?

?x2 2

?

4x1

x2

? ?

?

2

1? k 2 4 ? 6k 2 1? 2k 2

又因为点 A?2,0? 到直线 y ? k ? x ?1? 的距离 d ? k ,
1? k2

所以 ?AMN 的面积为 S

?1 2

MN

d

?

k 4 ? 6k 2 1? 2k 2

k 4 ? 6k 2



得, k ? ?1

1? 2k 2

21、答案: 解:(1)∵ 是 与 2 的等差中项



---------------------------1 分


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-------3 分

※ -精 品 人教 试 卷- ※
(2)

.

∵a1=2
(3) n n ?1



?bn ? n -----8 分

--------12 分

22.答案:1.∵ e ? 2 ,∴可设双曲线方程为 x2 ? y2 ? ? .

? ? ∵双曲线过点 4, ? 10 ,∴16 ?10 ? ? ,即 ? ? 6 .∴双曲线方程为 x2 ? y2 ? 6 .

2.方法一:由 1 可知, a ? b ? 6 ,∴ c ? 2 3 ,

? ? ? ? ∴ F1 ?2

3, 0 , F2

2,

3, 0

,∴ kMF1

?

m 3?2

3 , kMF2

?m 3?2

,
3

? ? kMF1

? kMF2

?

m2 9 ?12

?

?

m2 3

.∵点 M

3, m

在双曲线上,

∴ 9 ? m2 ? 6 ,即 m2 ? 3 ? 0 ,故 kMF1 ? kMF2 ? ?1 ,∴ MF1 ? MF2 .

∴ MF1 ? MF2 ? 0 .

方法二:由 1 可知, a ? b ? 6 ,∴ c ? 2 3 ,
? ? ? ? ∴ F1 ?2 3,0 , F2 2, 3,0 , ? ? ? ? ? ? ? ? MF1 ? ?2 3 ? 3, ?m , MF2 ? 2 3 ? 3, ?m ,∴ MF1 ? MF2 ? 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3 ? m2 ? ?3 ? m2 ,

∵点 M ?3, m? 在双曲线上,∴ 9 ? m2 ? 6 ,即 m2 ? 3 ? 0 ,

∴ MF1 ? MF2 ? 0 . 3. ?F1MF2 的底 F1F2 ? 4 3 , ?F1MF2 的高 h ? m ? 3 , S ∴ ?F1MF2 ? 6 .

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