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2015年高考试题(天津卷)——文科数学


2015 年天津卷高考数学试卷(文科)
一、选择题 1.已知全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A = {2,3, 4} ,集合 B = {1,3, 4,6} ,则集合 A CU B = (A) {3} (B) {2,5} (C) {1, 4, 6} (D) {2,3,5}

ì x- 2 0 ? ? 2.设变量 x, y 满足约束条件 í x - 2 y 0 ,则目标函数的最大值为 z = 3x + y ? ? ? x +2y - 8 0
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5 4.设 x ? R ,则“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的 (A) 充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 5.已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F(2, 0) , a b
且双曲线的渐近线与圆 x - 2

(

)

2

+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为
(B)

(A)

x2 y 2 =1 9 13

x2 y 2 =1 13 9

(C)

x2 - y2 =1 3

(D)

x2 -

y2 =1 3

6.如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2, MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为 (A)

8 3

(B) 3 R

(C)

10 3

(D)

5 2

7. 已 知 定 义 在

上 的 函 数

f ( x) = 2|x- m| - 1(m 为实数) 为 偶 函 数 , 记

a = f (log0.5 3), b = f (log2 5),c = f (2m) ,则 a, b,c ,的大小关系为
(A) a < b < c 8.已知函数 f ( x) = í (B) c < a < b (C) a < c < b (D) c < b < a

ì ? 2- | x |, x 2 ,函数 g ( x) = 3 - f (2 - x) ,则函数 y = f ( x) - g ( x) 的零 2 ? ? ( x - 2) , x > 2

点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 二:填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

-1-

9.i 是虚数单位,计算

1 ? 2i 的结果为 2?i

. .

10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

11. 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为

. 时 log2 a ? log2 ? 2b? 取得最大值。

12.已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为

13.在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB DC , AB ? 2, Bc ? 1, ?ABC ? 60 , 点 E 和点 F 分别在 线段 BC 和 CD 上,且 BE ?

2 1 BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



14.已知函数

f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R,

若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递 .

增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.(13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方 法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛。 (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随 机抽取 2 名参加双打比赛。 (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率。 16.(13 分)△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值。 6?

-2-

17.(13 分) 如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 点 E,F 分别是 BC, AC 的中点, 1 (I)求证:EF 平面 A 1B 1BA ;

AA1 , AB=AC=3, BC ? 2 5, AA1 ? 7 ,, BB1 ? 2 7,

(II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 。 (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小。

18.已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 ,

a5 - 3b2 = 7 .
(1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn = anbn , n

N * ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

19. 已知椭圆

x2 y 2 5 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , 2 a b 5

(1)求直线 BF 的斜率; (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM|=l |MQ| . 1)求 l 的值; 2)若 |PM|sin?BQP=

7 5 ,求椭圆的方程. 9
4

20. 已知函数 f ( x) = 4 x - x , x

R, 其中 n ? N * ,且 n ? 2 .
-3-

(1)求 f ( x ) 的单调性; (2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(3)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

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