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2010届高三数学一轮复习必备精品4:基本初等函数


2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第4讲
一.【课标要求】 .【课标要求】 课标要求

基本初等函数

1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量的 变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探 索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道指数函数 y = a x 与对数函数 y = log a x 互为反函数(a>0,a≠1)。 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 y=x, ,y=

x

2

, y=

x

3

,y=

x

1 2

,y=

1 的图象,了解它们的变化情况 x

二.【命题走向】 .【命题走向】 命题走向
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要 的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函 数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握 指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测 2010 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同 时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大

三.【要点精讲】 .【要点精讲】 要点精讲
1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a ( n > 1, 且n ∈ N ? ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即若

x n = a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n > 1且n ∈ N ? ) ,
1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作

± n a ( a > 0)

②性质:1) ( n a ) n = a ;2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

3)当 n 为偶数时, n a =| a |= ? (2).幂的有关概念

? a ( a ≥ 0) 。 ? ? a ( a < 0)

①规定:1) a = a ? a ? L ? a ( n ∈ N*;2) a = 1( a ≠ 0) ;
n 0

n个 3) a
?p

1 = p ( p ∈ Q,4) a n = n a m (a > 0, m 、 n ∈ N* 且 n > 1) a

m

②性质:1) a r ? a s = a r + s (a > 0, r 、 s ∈ Q); 2) ( a r ) s = a r ?s ( a > 0, r 、 s ∈ Q);
r r r 3) ( a ? b) = a ? b ( a > 0, b > 0, r ∈ Q)。

(注)上述性质对 r、 s ∈ R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果 a ( a > 0, 且a ≠ 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a = N ,那么数 b 称以 a 为底 N
b

的对数,记作 log a N = b, 其中 a 称对数的底,N 称真数 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ; 2)以无理数 e(e = 2.71828L) 为底的对数称自然对数, log e N ,记作 ln N ; ②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数);2) log a 1 = 0 ; 3) log a a = 1 ;4)对数恒等式: a
log a N

=N。

③运算性质:如果 a > 0, a ≠ 0, M > 0, N > 0, 则 1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; 2) log a

M = log a M ? log a N ; N
n

3) log a M

= n log a M (n ∈ R)

④换底公式: log a N =

log m N (a > 0, a ≠ 0, m > 0, m ≠ 1, N > 0), log m a

1) log a b ? log b a = 1 ;2) log a m b =
n

n log a b 。 m

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数: ①定义:函数 y = a ( a > 0, 且a ≠ 1) 称指数函数,
x

1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,+∞) ; 3)当 0 < a < 1 时函数为减函数,当 a > 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 < a < 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a > 1 时, 图象向右无限接近 x 轴); 3)对于相同的 a ( a > 0, 且a ≠ 1) ,函数 y = a x 与y = a ? x 的图象关于 y 轴对称 ③函数值的变化特征:

0 < a <1
① x > 0时0 < y < 1 , ② x = 0时y = 1 , ③ x < 0时y > 1 (2)对数函数:

a >1
① x > 0时y > 1 , ② x = 0时y = 1 , ③ x < 0时0 < y < 1 ,

①定义:函数 y = log a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,+∞) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 < a < 1 时函数为减函数,当 a > 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y = log a x 与指数函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 互为反函数 ②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(1,0),且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 < a < 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a > 1 时, 图象向下无限接近 y 轴); 4)对于相同的 a ( a > 0, 且a ≠ 1) ,函数 y = log a x与y = log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
a

③函数值的变化特征:

0 < a <1
① x > 1时y < 0 , ② x = 1时y = 0 , ③ 0 < x < 1时y > 0 .

a >1
① x > 1时y > 0 , ② x = 1时y = 0 , ③ x < 0时0 < y < 1 .

(3)幂函数 1)掌握 5 个幂函数的图像特点 2)a>0 时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0 时在第一象限恒为减函数 3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1) 当 a>0 时过(0,0) 4)幂函数一定不经过第四象限

四.【典例解析】 .【典例解析】 典例解析
题型 1:指数运算
2 1 1 ? ? 3 ?2 4 0.5 0.25 3 3 2 例 1.(1)计算: [(3 ) ? (5 ) + (0.008) ÷ (0.02) × (0.32) 2 ] ÷ 0.0625 ; 8 9

4

1

(2)化简:

a 3 ? 8a 3 b 4b + 2 ab + a
3 2 3 2 3

÷ (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )× 。 5 a a ?3 a

8 49 1000 3 4 2 625 4 解:(1)原式= [( ) 3 ? ( ) 2 + ( ) ÷ 50 × ]÷( ) 27 9 8 10 10000

2

1

2

1

4 7 1 4 2 1 17 2 = [ ? + 25 × × ] ÷ = ( ? + 2) × 2 = ; 9 3 2 9 9 5 2 10
1 1 1 1 1 2 1

a 3 ? 2b 3 (a ? a 3 ) 2 (2)原式= 1 ÷ × 1 1 1 1 1 1 a 2 2 (a 3 ) + a 3 ? (2b 3 ) + (2b 3 ) (a 2 ? a 3 ) 5
5

a 3 [(a 3 ) 3 ? (2b 3 ) 3 ]

= a (a ? 2b ) ×

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

×

a6 a
1 6

= a × a × a = a2 。

1 3

2 3

点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的 运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算 时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。 例 2.(1)已知 x + x
1 2 1 2
1 2 ? 1 2

= 3 ,求

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 ? 3 2

的值

?3

解:∵ x + x ∴ (x 2 + x
1 ?

?

=3,

1 2 2

) = 9,
= 9,

∴ x+2+ x ∴x+ x
?1

?1

= 7,

∴ ( x + x ?1 ) 2 = 49 , ∴x +x
2 3 ?2

= 47 ,
? 3 2

又∵ x 2 + x ∴

= ( x 2 + x 2 ) ? ( x ? 1 + x ?1 ) = 3 ? (7 ? 1) = 18 , = 47 ? 2 = 3。 18 ? 3

1

?

1

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 3 ? 2

?3

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。 题型 2:对数运算 (2).(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 y = f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) , 8 则满足 f ( x) =27 的 x 的值是 答案 1 3 .

例 3.计算
2 (1) (lg 2) + lg 2 ? lg 50 + lg 25 ;(2) (log 3 2 + log 9 2) ? (log 4 3 + log 8 3) ;

(3)

lg 5 ? lg 8000 + (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2
2 2

解:(1)原式 = (lg 2) + (1 + lg 5) lg 2 + lg 5 = (lg 2 + lg 5 + 1) lg 2 + 2 lg 5

= (1 + 1) lg 2 + 2 lg 5 = 2(lg 2 + lg 5) = 2 ;
(2)原式 = (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 + )?( + )=( + )?( + ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? = ; 2 lg 3 6 lg 2 4

=

(3)分子= lg 5(3 + 3 lg 2) + 3(lg 2) 2 = 3 lg 5 + 3 lg 2(lg 5 + lg 2) = 3 ; 分母= (lg 6 + 2) ? lg

36 1 6 × = lg 6 + 2 ? lg = 4; 1000 10 100

3 ∴ 原式= 。 4
点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是 数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数 式变换的各种技巧 例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a + b = c
2 2 2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

(1)求证: log 2 (1 +

b+c a?c ) + log 2 (1 + ) = 1; a b b+c 2 (2)若 log 4 (1 + ) = 1 , log 8 (a + b ? c) = ,求 a 、 b 、 c 的值。 a 3 a+b+c a+b?c a+b+c a+b?c 证明:(1)左边 = log 2 + log 2 = log 2 ( ? ) a b a b (a + b)2 ? c2 a2 + 2ab + b2 ? c2 2ab + c2 ? c2 = log2 = log2 = log2 2 = 1; ab ab ab

= log2

解:(2)由 log 4 (1 +

b+c b+c ) = 1 得1 + = 4, a a

∴ ?3a + b + c = 0 ……………① 由 log 8 ( a + b ? c) =
2 2 得 a + b ? c = 8 3 = 4 ………… ……………② 3

由① + ②得 b ? a = 2 ……………………………………③ 由①得 c = 3a ? b ,代入 a + b = c 得 2a (4a ? 3b) = 0 ,
2 2 2

∵ a > 0 , ∴ 4a ? 3b = 0 ………………………………④ 由③、④解得 a = 6 , b = 8 ,从而 c = 10 。 点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到 最见形式再来处理即可。 题型 3:指数、对数方程 例 5.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) = (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f ( 2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围.

? 2x + b 是奇函数. 2 x +1 + a

?1+ b = 0, 解得b = 1 2+a 1 ? +1 ? 2x +1 ? 2 +1 从而有 f ( x ) = x +1 . 又由 f (1) = ? f ( ?1)知 =? 2 ,解得 a = 2 4+a 1+ a 2 +a ? 2x +1 1 1 (2)解法一:由(1)知 f ( x ) = x +1 =? + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f (x ) 在 R 上为减函数,又因 f (x ) 是奇函数,从而不等式
解 (1) 因为 f (x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) = 0, 即

f (t 2 ? 2t ) + f ( 2t 2 ? k ) < 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) < ? f ( 2t 2 ? k ) = f ( ?2t 2 + k ).
因 f (x ) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2t > ?2t + k .
2 2

即对一切 t ∈ R有3t 2 ? 2t ? k > 0, 从而 ? = 4 + 12k < 0, 解得k < ?

1 3

?2 x +1 , 2 x +1 + 2 2 2 ? 2 t ? 2 t +1 ? 2 2 t ? k + 1 又由题设条件得 2 + 2 <0 2 t ?2t +1 + 2 2 2t ?k +1 + 2 2 2 2 2 t 2 ? k +1 即 (2 + 2)(?2 t ?2t + 1) + (2 t ? 2t +1 + 2)(?2 2t ? k + 1) < 0
解法二:由(1)知 f ( x ) = 整理得 2
3t 2 ? 2 t ? k

> 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k > 0
1 3

上式对一切 t ∈ R 均成立,从而判别式 ? = 4 + 12k < 0, 解得k < ? . 例 6.(2008 广东 理 7) 设 a ∈ R ,若函数 y = e ax + 3 x , x ∈ R 有大于零的极值点,则( B )

1 3 【解析】 f '( x ) = 3 + ae ax ,若函数在 x ∈ R 上有大于零的极值点,即 f '( x ) = 3 + ae ax = 0 有 1 3 正根。当有 f '( x ) = 3 + ae ax = 0 成立时,显然有 a < 0 ,此时 x = ln( ? ) ,由 x > 0 我们马 a a 上就能得到参数 a 的范围为 a < ?3 .
A. a > ?3 B. a < ?3 C. a > ? D. a < ? 点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对

1 3

数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。 题型 4:指数函数的概念与性质

?2e x ?1 , x<2, ? 例 7.设 f ( x ) = ? 则f ( f (2))的值为 ( 2 ?log 3 ( x ? 1),x ≥ 2. ?
A.0 B.1
2

) D.3

C.2
0 ?1

解:C; f ( 2) = log 3 ( 2 ? 1) = 1 , f ( f ( 2)) = 2e

=

2 。 e

点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值 例 8.已知 f (log a x ) = x + x ( a > 0, 且a ≠ 1) 试求函数 f(x)的单调区间。
t 解:令 log a x = t ,则 x= a ,t∈R。
?1

?t x ?x 所以 f (t ) = a ′ + a 即 f ( x) = a + a ,(x∈R)。

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞)上的单调性。 任取 x1 , x 2 ,且使 0 ≤ x1 ≤ x 2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 )
= (a x2 + a ? x2 ) ? (a x1 + a ? x1 ) (a x1 ? a x2 )(1 ? a x1 + x2 ) a x1 + x2 x x x +x (1) a>1 时, 0 ≤ x1 ≤ x 2 , 0 < a 1 < a 2 ,a 1 2 > 1 , 当 由 有 所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) > 0 , =
即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
x x a x +x (2) 0<a<1 时, 0 ≤ x1 ≤ x 2 , 0 < a 1 < a 2 , 1 2 < 1 , 当 由 有 所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) > 0 ,

即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。 综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间,(-∞,0)是 f(x)的单调减区间。 点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函 数的性质来处理。特别是分 a > 1,0 < a < 1 两种情况来处理。 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y = ( ) A.m≤-1

1 2

|1? x|

+ m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C.m≥1 , D.0<m≤1



B.-1≤m<0

? 1 x ?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:Q y = ( ) =? 2 ?2 x ?1 ?
画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。

( x ≥ 1) ( x < 1)

点评: 本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征, 解题的出发点仍然是 a > 1,0, a < 1 两
x 种情况下函数 y = a 的图像特征。

例 10.设函数 f ( x ) = 2

| x +1|?| x ?1|

, 求使f ( x) ≥ 2 2 x 的取值范围。

x 解:由于 y = 2 是增函数, f ( x) ≥ 2 2 等价于 | x + 1| ? | x ? 1|≥

3 2



1)当 x ≥ 1 时, | x + 1| ? | x ? 1|= 2 ,∴ ①式恒成立; 2)当 ?1 < x < 1 时, | x + 1| ? | x ? 1|= 2 x ,①式化为 2 x ≥ 3)当 x ≤ ?1 时, | x + 1| ? | x ? 1|= ?2 ,①式无解; 综上 x 的取值范围是 ? , +∞ ? 。 点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化 为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理 题型 6:对数函数的概念与性质 例 11.(1)函数 y = A. (3,+∞)

3 3 ,即 ≤ x < 1 ; 2 4

?3 ?4

? ?

log 2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,+∞)

) D. [ 4,+∞) )

C. ( 4,+∞)

(2)(2006 湖北)设 f(x)= lg

(-4, U 0, 0)( 4) A. C.(-2,-1) U (1,2)

2+ x x 2 ,则 f ( ) + f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x B.(-4,-1) U (1,4) D.(-4,-2) U (2,4)

解:(1)D(2)B。 点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只有真 数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例 12.(2009 广东三校一模)设函数 f ( x ) = (1 + x ) ? 2 ln (1 + x ) .
2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ∈ ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e = 2.718L )不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取 值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ( x ) = x 2 + x + a 在区间 [0,2] 上的根的个数. 解 (1)函数的定义域为 (? 1,+∞ ), f ′( x ) = 2 ?( x + 1) ?

?1 ?e

? ?

? ?

1 ? 2 x(x + 2) . = x + 1? x +1 ?

1分

由 f ′( x ) > 0 得 x > 0 ; 由 f ′( x ) < 0 得 ? 1 < x < 0 ,

2分 3分

则增区间为 (0,+∞ ) ,减区间为 (? 1,0 ) . (2)令 f ′( x ) = 递增, 由 f?

4分

2 x(x + 2) ?1 ? = 0, 得 x = 0 ,由(1)知 f ( x ) 在 ? ? 1,0? 上递减,在 [0, e ? 1] 上 x +1 ?e ?
6分 8分

1 ?1 ? 1 ? 1? = 2 + 2, f (e ? 1) = e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 > 2 + 2 , e ?e ? e

?1 ? ∴ x ∈ ? ? 1, e ? 1? 时, f ( x ) 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m > e 2 ? 2 时,不等式 f ( x ) < m 恒 ?e ?
成立. 9分
2 (3)方程 f ( x ) = x + x + a, 即 x + 1 ? 2 ln (1 + x ) = a .记 g ( x ) = x + 1 ? 2 ln (1 + x ) ,则

g ′( x ) = 1 ?

2 x ?1 = .由 g ′( x ) > 0 得 x > 1;由 g ′( x ) < 0 得 ? 1 < x < 1 . 1+ x x +1
10 分

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时,方程无解. 字上所述,a ∈ (1,+∞) U (?∞,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ∈ (3 ? 2 ln 3,1] 或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; a ∈ (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

13 分

14 分

例 13.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(

)

y
o
1

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B

x C

o

1

x D

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选, 又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数。 答案:B 点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根 据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例 14. A、 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函 设 B

数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)当△ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围 解:(1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a ( a + 4) )。 (2)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影。 由 S△ABC= log2

(a + 2) 2 , a (a + 4)

(a + 2) 2 >1, 得 0< a<2 2 -2。 a (a + 4)

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理 复杂问题。 题型 8:指数函数、对数函数综合问题 例 15.在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位 于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上, 且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰 10

三角形。 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项的和最 大?试说明理由

1 a n+ 解:(1)由题意知:an=n+ ,∴bn=2000( ) 2 。 2 10 a x ) (0<a<10)递减, 10 ∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, a 2 a 即( ) +( )-1>0, 10 10
(2)∵函数 y=2000( 解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1)。 ∴5( 5 -1)<a<10。 (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

1

∴bn=2000(

7 n+ 2 ) 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10

1

对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。 于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1,

因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1, 由 bn=2000(

7 n+ 2 ) ≥1 得:n≤20。 10

1

∴n=20。 点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合 数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16.已知函数 f ( x) = log a ( ax ? (1)求函数 f(x)的定义域;

x )(a > 0, a ≠ 1 为常数)

(2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性

(3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。 解:(1)由 ax ? ∵a>0,x≥0
?x ≥ 0 1 ∴? ?x> 2 a x < a2x2 ?

x >0

得 x < ax

∴f(x)的定义域是 x ∈ (

1 ,+∞) 。 a2 x)

(2)若 a=2,则 f ( x ) = log 2 ( 2 x ? 设 x1 > x 2 >

1 , 则 4

( 2 x1 ? x1 ) ? ( 2 x 2 ? x 2 ) = 2( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) = ( x1 ? x 2 )[2( x1 + x 2 ) ? 1] > 0

∴ f ( x1 ) > f ( x 2 )

故 f(x)为增函数。

(3)设 x1 > x 2 >

1 a2

则a x1 > a x 2 > 1

∴ (ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) = a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) = ( x1 ? x2 )[a( x1 + x2 ) ? 1] > 0

∴ ax1 ? x1 > ax 2 ? x 2
∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2)



即 log a (ax1 ? x1 ) > log a (ax2 ? x2 )



联立①、②知 a>1,

∴a∈(1,+∞)。 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一 般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可 题型 9:课标创新题 例 17.对于在区间 [m, n ] 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对任意的 x ∈ [m, n ] ,均 有 f ( x) ? g ( x) ≤ 1 ,则称 f(x)与 g(x)在 [m, n ] 上是接近的,否则称 f(x)与 g(x)在 [m, n ] 上是非 接近的,现有两个函数 f 1 ( x) = log a ( x ? 3a ) 与 f 2( x ) = log a

1 (a > 0, a ≠ 1) ,给定区间 x?a

[a + 2, a + 3] 。
(1)若 f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [a + 2, a + 3] 上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [a + 2, a + 3] 上是否是接近的。 解:(1)两个函数 f 1 ( x ) = log a ( x ? 3a ) 与 f 2( x ) = log a

1 (a > 0, a ≠ 1) 在给定区 x?a

间 [a + 2, a + 3] 有意义,因为函数 y = x ? 3a 给定区间 [a + 2, a + 3] 上单调递增,函数在

y=

1 给定区间 [a + 2, a + 3] 上恒为正数, x?a

?a > 0 ? 故有意义当且仅当 ?a ≠ 1 ? 0 < a < 1; ?(a + 2) ? 3a > 0 ?
(2)构造函数 F ( x ) = f 1 ( x ) ? f 2 ( x) = log a ( x ? a )( x ? 3a ) , 对于函数 t = ( x ? a )( x ? 3a ) 来讲, 显然其在 ( ?∞,2a ] 上单调递减,在 [ 2a,+∞) 上单调递增。 且 y = log a t 在其定义域内一定是减函数 由于 0 < a < 1 ,得 0 < 2a < 2 < a + 2 所以原函数在区间 [ a + 2, a + 3] 内单调递减,只需保证

?| F (a + 2) |=| log a 4(1 ? a) |≤ 1 ? ?| F (a + 3) |=| log a 3(3 ? 2a) |≤ 1

1 ? ?a ≤ 4(1 ? a ) ≤ a ? ?? ?3(3 ? 2a ) ≤ 1 ? a ?
当0 < a ≤

9 ? 57 时, f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [a + 2, a + 3] 上是接近的; 12
时, f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [a + 2, a + 3] 上是非接近的

当a >

9 ? 57 12

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含 有对数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即 可。 例 18.设 x > 1 , y > 1 ,且 2 log x y ? 2 log y x + 3 = 0 ,求 T = x ? 4 y 的最小值。
2 2

解:令 t = log x y , ∵ x > 1 , y > 1 ,∴ t > 0 。 由 2 log x y ? 2 log y x + 3 = 0 得 2t ?

2 + 3 = 0 ,∴ 2t 2 + 3t ? 2 = 0 , t
1 1 1 ,即 log x y = ,∴ y = x 2 , 2 2

∴ (2t ? 1)(t + 2) = 0 ,∵ t > 0 ,∴ t =

∴ T = x 2 ? 4 y 2 = x 2 ? 4 x = ( x ? 2) 2 ? 4 , ∵ x > 1 ,∴当 x = 2 时, Tmin = ?4 。 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生 的变形能力。 例 19.(2009 陕西卷文)设曲线 y = x n +1 ( n ∈ N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 xn ,则 x1 ? x2 ? L ? xn 的值为 A.

1 n
B

B.

1 n +1

C.

n n +1

D.1

答案 解析

对 y = x n +1 ( n ∈ N * )求导得y ' = ( n + 1) x n ,令 x = 1 得在点(1,1)处的切线的斜率

k = n + 1 ,在点
(1, 处的切线方程为 y ? 1 = k ( xn ? 1) = ( n + 1)( xn ? 1) ,不妨设 y = 0 , 1)

xn =

n n +1 则

1 2 3 n ?1 n 1 x1 ? x2 ?L ? xn = × × × ... × × = , 故选 B. 2 3 4 n n +1 n +1

五.【思维总结】 .【思维总结】 思维总结
1. n N = a, a = N , log a N = b (其中 N > 0, a > 0, a ≠ 1 )是同一数量关系的三种不
b

同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运 算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技 巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使 用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更 关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小点)是解决含指数、对 数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要 结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方 案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数 (特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问 题等等,因此要努力提高综合能力


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