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2012年数学一轮复习试题 不等关系与不等式


第三十一讲 不等关系与不等式
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+ b a 1 1 B.a- >b- b a ) 2a+b a D. > a+2b b

b b+1 C. > a a+1

1 1 解析:由已知 a>b>0 及不等式的基本性质易得 a+ >b+ ,故选 A. a b 答案:A 2.下列命题中,真命题有( 1 1 ①若 a>b>0,则 2< 2; a b )

②若 a>b,则 c-2a<c-2b;

1 1 ③若 a>b,e>f,则 f-ac<e-bc; ④若 a>b,则 < . a b A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:①②为真命题,故选 B. 答案:B 3.(2011·潍坊市模拟)已知 0<x<y<a<1,则有( A.loga(xy)<0 ) D.loga(xy)>2

B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2

解析:由 0<x<y<a<1,得 xy<a2,∴loga(xy)>logaa2=2,故选 D. 答案:D 4.已知 a>b,则下列不等式一定成立的是( A.lga>lgb B.a2>b2 1 1 C. < a b ) D.2a>2b

解析:只有指数函数 y=2x 在 R 上为增函数,所以 D 正确,而 A、C 显然不是对于一切 实数都成立的,B 的等价条件是|a|>|b|,显然也错误,故选 D.[来源:学科网] 答案:D 5.(2011·德州市模拟)若 1<a<3,-4<b<2,则 a-|b|的取值范围是( )

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A.(-1,3)

B.(-3,6)

C.(-3,3)

D.(1,4)

解析:∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b |≤0.又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3.故选 C. 答案:C c d 6.(2009·菏泽市模拟)已知三个不等式:①ab>0;②bc-ad>0;③ - >0(其中 a、b、c、 a b d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可 组成的正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

1 c d 解析:若①②成立,则 (bc-ad)>0,∴ - >0,故③成立; ab a b c d 若①③成立,则 ab?a-b?>0,∴bc-ad>0,故②成立; ? ? 若②③成立,即 bc-ad>0, bc-ad >0,∴ab>0,故①成立.[来源:学§科§网] ab

故正确命题的个数为 3,应选 D. 答案:D 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 1 1 7.以下四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a. 其中使 < 成立的充分条 a b 件是________. 1 1 1 1 解析: 在①中:a<0,b>0,则 < ;在②中:b<a<0,则 > ; a b b a 1 1 1 1 在④中:0<b<a,则 > ;在③中:当 b=-2,a=1 时, < 不成立. b a a b 答案:①②④ 8.设函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1),则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1]上恒成立的________条 件.(充分但不必要,必要但不充分,充要,既不充分也不必要)
?b>0, ?f(0)>0 ? ? 解析: ?? ∴a+2b>0.而仅有 a+2b>0, 无法推出 f(0)>0 和 f(1)>0 同时成立. ?f(1)>0 ? ?a+b>0.

答案:必要但不充分
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9.若-1<a<b<1,-2<c<3 则(a-b)·c 的取值范围是________. 解析:∵-1<a<b<1,∴-2<a-b<0∴2>-(a-b)>0 当-2<c<0 时,2>-c>0,∴4>(-c)[-(a-b)]>0,即 4>c·(a-b)>0; 当 c=0 时,(a-b)·c=0 当 0<c<3 时,0<c·[-(a-b)]<6∴-6<(a-b)·c<0 综上得:当-2<c<3 时,-6<(a-b)·c<4. 答案:-6<(a-b)·c<4 10.(20 10·青岛质检题)给出以下四个命题: 1 1 1 1 ①a>b?an>bn(n∈N*);②a>|b|?an>bn (n∈N*);③a<b<0? > ;④a<b<0? > , a b a-b a 其中真命题的序号是________. 解析: ①中取 a=-1, b=-2, n=2, 不成立; ②a>|b|, a>0, n>bn 成立; 得 ∴a ③a<b<0, 1 1 1 1 得 > 成立;④a<b<0,得 a-b<0,且 a-b>a,故 < ,④不成立. a b a-b a 答案:②③ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.设 m∈R,x∈R,比较 x2-x+1 与-2m2-2mx 的大小. 解:解法一:(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1). 关于 x 的二次三项式 x2+(2m-1)x+(2m2+1)的判别式为 ?=(2m-1)2-4(2m2+1)=- 4m2-4m-3. 二次三项式-4m2-4m-3 的判别式为 ?′=(-4)2-4×(-4)×(-3)=-32<0, ∴?<0 恒成立.∴(x2-x+1)-(-2m2-2mx)>0,即 x2-x+1>-2m2-2mx. 解法二:∵(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1) =x2+(2m-1)x+? 2m-1?2 3 2 ?2m-1?2 ? 2m-1?2 2 ? 2 ? +2m +1-? 2 ? =?x+ 2 ? +m +m+4

1 1 2m-1?2 ? 2 2m-1?2 ? 3 1 1 1 =?x+ + m +m+?2?2?+ -?2?2=?x+ + m+2?2+ ≥ >0, ? ?? 4 ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? ? ∴x2-x+1>-2m2-2mx. 12.已知 a、b、c∈{正实数},且 a2+b2=c2,当 n∈N 且 n>2 时,比较 cn 与 an+bn 的 大小.
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分析:考虑比较的是幂的形式,作差不可行,作商处理. 解:∵a、b、c∈{正实数},∴an,bn,cn>0 an+bn ?a?n ?b?n a b a b 而 n =?c? +? c? ∵a2+b2=c2,∴? c?2+? c?2=1∴0< <1,0< <1 ? ? ? ? c c c a a b b a b a +b a +b ∵n∈N,n>2,∴?c?n<?c?2,?c?n<? c?2∴ n =? c?n+? c?n< 2 =1∴an+bn<cn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c 评析:作商法比较大小,作商——变形——判断商与 1 的关系. 13.有三个实数 m、a、b(a≠b),如果在 a2(m-b)+m2b 中,把 a 和 b 互换,所得的代 数式的值比原式的值小,那么关系式 a<m<b 是否可能成立?请说明你的理由. 解:不妨设 P=a2(m-b)+m2b,Q=b2(m-a)+m2a. 由题意知 Q<P,即 Q-P<0.∴b2(m-a)+m2a-a2(m-b) -m2b<0, (a-b)m2+(b2-a2)m+ab(a-b)<0.∴(a-b)(m-a)(m-b)<0.(*) 若 a<m<b 成立,则 a<b,这时不等 式(*)的解为 m>b 或 m<a,矛盾. 故 a<m<b 不可能成立.
n n 2 2

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