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江西省鹰潭市余江县第一中学高二数学上学期期中试题 理

江西省鹰潭市余江县第一中学 2014-2015 学年高二数学上学期期中试 题 理
1.命题“ ?x ? R,cos x ? 1 ”的否定是 ( A. ?x ? R, cos x ? 1 C. ?x ? R,cos ? 1 ) B. ?x ? R, cos x ? 1 D. ?x ? R,cos x ? 1 ) D.充要条件

2 2. “ x ? 0 ”是“ x ? 4 x ? 3 ? 0 ”成立的(

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件

( x ? a) x ? (a ? 1) ? 0 3.设 p: 2 x ? 1 ? 1 ,q: ,若 q 是 p 的必 要而不充分条件,
则实数 a 的取值范围是( )

?

?

? 1? ? 0, 2 ? ? A. ?

? 1? ? 0, 2 ? ? B. ?

C.

? ??, 0? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?

D.

? ??,0? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?

4.下列命题中假命题是( ) A.垂直 于同一条直线的两条直线相互垂直 B. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直 D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互 平行

? ? ? ? ? ? a ? (1,1,0) b ? ( ? 1,0, 2) ka ? b 2 a ? b 互相垂直,则 k 的值是( 5.已知向量 , ,且 与
1 B. 5 3 C. 5 7 D. 5



A.1

6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥底 面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹 为( )

-1-

2 7.抛物线 y ? 4 x 错误!未找到引用源。上一点 P 到直线 x ? ?1 错误!未找到引用源。的距

离与到点 C. 5

Q ? 2,2?

错误!未找到引用源。的距离之差的最大值为(

)A. 3

B. 3

D. 5

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 8.已知双曲线 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, ??) D. (2, ??) )

x2 y2 ? 2 ?1 2 (a ? 0 ,b ? 0) 的左、右焦点, b 9.如图, F1 、 F2 是双曲线 a
过 F1 的直线 l 与双曲线的左、 右两个分支分别交于点 A 、B , 若 ?ABF2 为等边三角形,则该双曲线的渐近线的斜率为( )

(A)

?

3 3

(B) ? 2

(C) ? 15

(D) ? 6

10.如图,从点

M ( x0 , 4) 发出的光线,沿平行于抛物线 y 2 ? 8x 的对称轴方向射向此抛物线

上的点 P ,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q ,再经 抛物线反射后射向直线 l : x ? y ? 10 ? 0 上的点 N ,经直线反射后 又回到点 M ,则 A. 5

x0 等于(
B. 6

) C. 7 D. 8

二、填空题(共 5 题,每题 5 分)

-2-

x2 y 2 ? ?1 11.双曲线 16 9 的离心率为

.

x2 y2 12.已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m 满足方程 m ? 1 + 2 ? m
=1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为________.

-3-

13.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那 么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________.

x2 y 2 ? ?1 F F 14.椭圆 12 3 的焦点分别为 1 和 2 ,点 P 在椭圆上,
如果线段

PF1 的中点在 y 轴上,那么 cos ?F1PF2 ?



15. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的点的轨迹. 给 出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称;

1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 2 a2.
其中,所有正确结论的序号是________. 三、解答题(共 75 分) 16.已知命题: “

?x ? ?x | ?1 ? x ? 1?

2 ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题.

(1)求实数 m 的取值集 合 M ; (5 分) (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求 a 的取 值范围. (7 分)

? 17.已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD = 2 ,AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上
的点,EF∥BC,AE=x,G 是 BC 的中点。沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如 图) . (1) 当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (5 分) (2) 若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x),求 f(x)的最大值; (7 分)

18. 已知命题 p :“存在

x ? R,2 x 2 ? (m ? 1) x ?

1 x2 y2 ?0 C1 : 2 ? ?1 2 2m ? 8 m ” , 命题 q : “曲线

-4-

表示焦点在 x 轴上的椭圆” ,命题 s : “曲线

C2 :

x2 y2 ? ?1 m ? t m ? t ?1 表示双曲线”

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (7 分) (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围。 (5 分)

19. 如图, 在直三棱柱

ABC ? A1B1C1 A BC ? 侧面 A1 ABB1 , (侧棱和底面垂直的棱柱) 中, 平面 1

AB ? BC ? AA1 ? 3 , 线段AC、A1 B上分别有一点 E、F , 1. 且满足 2 AE ? EC,2BF ? FA
(12 分) (1)求证: AB ? BC ; (4 分) (2)求点 E到直线A1 B 的距离; (4 分) (3)求二面角 F ? BE ? C 的平面角的余弦值.(4 分)
A F C B1 A1 C1

E

B

20.已知抛物线的顶点在坐标原点 O ,焦点 F 在 x 轴 上, 抛物线上的点 A 到 F 的距离为 2, 且 A 的横坐标为 1. 直线 l : y ? kx ? b 与抛物线交于 B ,

C 两点 .
(1)求抛物线的方程; (4 分) (2)当直线 OB , OC 的倾斜角之和为 45 ? 时,证明直线 l 过定点.(9 分)
-5-

21.已知点 A , B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) .直线 AP , BP 相交于点 P ,且它们的斜率

1 之积是 4 ,记动点 P 的轨迹为曲线 C . ?
(1)求曲线 C 的方程;(4 分) (2)设 Q 是曲线 C 上的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,线段 MN 的 中点为 D ,求直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围;(6 分) (3)在(2)的条件下,记直线 BM 与 AN 的交点为 T ,试探究点 T 与曲线 C 的位置关系, 并说明 理由.(4 分)

-6-

余江一中 2014-2015 学年度上学期期中考试 高二数学理科卷参考答案

2 三、16 .(1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 ?? 1,1? 上有解,

? 1 ? M ? ?m ? ? m ? 2 ? 4 ? ? 即 m 的取值范围就为函数 y ? x ? x 在 ?? 1,1? 上的值域,易得
2

5



17. (1)作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH,

1分

由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH。
A D

E

H
F

B

又四边形 BGHE 为正方形,∴EG⊥BH, BH ? DH=H,故 EG⊥平面 DBH, 而 B D ? 平面 DBH,∴ EG⊥BD。 (2)∵AD ∥面 BFC,

G

C

4分 5分

-7-

1 1 1 s? BFC ?AE 所以 f ( x) ? VA-BFC= 3 = 3 ? 2 ?4 ?(4-x) ?x 2 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? 3 3 3 8 即 x ? 2 时 f ( x ) 有最大值为 3 .

10 分

12 分

(2 ) 若s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1}
? ?

8分

{m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}
解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

9分

?t ? ?4 ? t ? 1 ? ?2 或 t ? 4 即?

11 分

12 分

19. (1)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D,则由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC ? 侧面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC ? 平面 A1BC,所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1 ? AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB ? 侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC. 4分

(2)由( 1)知,以点 B 为坐标原点,以 BC、BA、BB1 所在的 直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴,可建立如图所示的空间直角坐标系,

-8-

B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0) , A1 (0,3,3)

E、F ,满足 2 AE ? EC,2BF ? FA1 , 有由 线段AC、A1 B上分别有一点
所以 E(1,2,0), F(0,1,1)

??? ? EF ? (?1, ?1,1),

???? BA1 ? ( 0 , 3 , 3所以 ) . EF ? BA1 ,

所以点 E到直线A1 B 的距离

d ? EF ? 3

.

8分

20. (1)设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0)
2

AF ? 1 ?
由抛物线的定义知

p 2 ,又 AF ? 2

2分 4分

2 所以 p ? 2 ,所以抛物线的方程为 y ? 4 x

B(
(2)设

y12 y2 , y1 ) C ( 2 , y 2 ) 4 4 ,

? y2 ? 4x ? y ? kx ? b ,整理得 ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0 (依题意 k ? 0 ) 联立 ?

-9-

y1 ? y2 ?

4 4b y1 y2 ? k, k

6分

设直线 OB , OC 的倾斜角分别为 ? , ? ,斜率分别为 k1 , k 2 ,则 ? ? ? ? 45?

tan?? ? ? ? ?

k1 ? k2 ? tan45? ? 1 1 ? k1k2

8分

k1 ?
其中

y1 4 4 k2 ? ? y2 ,代入上式整理得 y1 y2 ? 16 ? 4? y1 ? y2 ? ? 0 x1 y1 ,

4b 16 ? 16 ? , k 即 b ? 4k ? 4 所以 k
直线 l 的方程为 y ? kx ? 4k ? 4 ,整理得 y ? 4 ? k ?x ? 4? 所以直线 l 过定点 ( ?4,4)

10 分

12 分.

(3)由(2) 得, M (4,6k ) ,

N (4, ?

1 ) 2k ,



k BM

6k ? 0 ? ? 3k k AN ? 4?2 ,
1 1 )?? 12k 4

?

1 ?0 1 2k ?? 4?2 12k

12 分



k BM ? k AN ? 3k ? (?

∴ 点 T 在曲线 C 上.

14 分

- 10 -



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