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2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件:第一讲 一 2 基本不等式


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2.基本不等式

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1.基本不等式的理解 a+b 重要不等式a +b ≥2ab和基本不等式 ≥ ab ,成立 2
2 2

的条件是不同的.前者成立的条件是 a与b都为实数,并且a 与b都为实数是不等式成立的 充要条件 ;而后者成立的条件 是a与b都为正实数,并且a与b都为正实数是不等式成立的

充分不必要条件 ,如a=0,b≥0仍然能使 a+b ≥ 2
立.两个不等式中等号成立的充要条件都是 a=b .

ab 成

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2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式
2 ? a + b ? (1)a2+b2≥ ; 2

a2+b2 (2)ab≤ ; 2 a+b 2 (3)ab≤( ); 2 a+b 2 a2+b2 (4)( )≤ ; 2 2 (5)(a+b)2≥4ab.
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[例 1]

已知 a、b、 c∈R+,且 a+ b+c=1.

1 1 1 求证: + + ≥9. a b c
[思路点拨] 不等式来证明. 解答本题可先利用 1 进行代换, 再用基本

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[证明]

法一:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c + c b a c a c b =3+(a+b)+(a+ c )+(b+ c )≥3+2+2+2=9.当且仅 当a=b=c时,等号成立. 1 1 1 即a+b+c≥9.
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法二:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1, 1 1 1 1 1 1 ∴a+b+c=(a+b+c)(a+b+c ) b c a c a b =(1+a+a+b+1+b+c+c +1 b a c a c b =3+( a + b )+( a + c )+( b + c )≥3+2+2+2=9.当且 仅当a=b=c时,等号成立. 1 1 1 ∴a+b+c≥9.
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用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等 式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基

本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等
式进行证明.

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1.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+ b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

证明:∵b2+c2≥2bc,a>0,
∴a(b2+c2)≥2abc. 同理b(c2+a2)≥2abc, c(a2+b2)≥2abc. 子不能取“=”. ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
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① ② ③

因为a、b、c不全相等,所以①②③式中至少有一个式

a2 b2 c2 2.已知a,b,c>0,求证: b + c + a ≥a+b+c.
a2 b2 c2 证明:∵a,b,c, b , c , a 均大于0, a2 又 b +b≥2 b2 c +c≥2 c2 a +a≥2 a2 b=2a, b· b2 c=2b. c· c2 a=2c. a·
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a2 b2 c2 ∴( b +b)+( c +c)+( a +a) ≥2(a+b+c). a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 当且仅当 b =b, c =c, a =a, 即a=b=c时取等号.

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[例 2]

2x (1)求当 x>0 时, f(x)= 2 的值域. x +1

3 (2)设 0<x< ,求函数 y= 4x(3-2x)的最大值; 2 1 9 (3)已知 x>0, y>0,且 + = 1,求 x+y 的最小值. x y

[ 思路点拨]

根据题设条件,合理变形,创造能用基

本不等式的条件,求最值.
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2x 2 [解] (1)∵x>0,∴f(x)= 2 = . 1 x +1 x+x 1 1 1 ∵x+x≥2,∴0< ≤ . 1 2 x+x ∴0<f(x)≤1,当且仅当x=1时取“=”.即f(x)值域 为(0,1] 3 (2)∵0<x< ,∴3-2x>0. 2 2x+?3-2x? 2 9 ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[ ]= . 2 2 3 当且仅当2x=3-2x,即x= 时,等号成立. 4 9 ∴y=4x(3-2x)的最大值为 . 2

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1 9 (3)∵x>0,y>0,x+y =1, 1 9 y 9x ∴x+y=(x+y)(x+y)=x+ y +10≥6+10=16. y 9x 1 9 当且仅当x= y ,又x+ y=1, 即x=4,y=12时,上式取等号. 故当x=4,y=12时, 有(x+y)min=16.

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在应用基本不等式求最值时, 分以下三步进行: (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,

需对式子变形,凑出需要的定值;
(2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通 过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正; (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满 足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导

数解决.
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3.(2012· 浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x +4y的最小值是 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6 ( )

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1 3 解析:∵x+3y=5xy,∴ y+x=5, 1 3 3x 12y ∵x>0,y>0,∴(3x+4y)( y + x )= y + x +9+4≥2 3x 12y y ·x +13=25,∴5(3x+4y)≥25, ∴3x+4y≥5,当且仅当x=2y时取等号. ∴3x+4y的最小值是5.

答案:C
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4.已知x>0,y>0且5x+7y=20,求xy的最大值.
1 1 5x+7y 2 1 20 2 20 解:xy= (5x· 7y)≤ ( )= ( )= . 35 35 2 35 2 7 10 当且仅当5x=7y=10,即x=2,y= 时,xy取最大 7 20 值 . 7

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5.若正数a、b满足ab=a+b+3,(1)求ab的取值范围; (2)求a+b的取值范围.
解:(1)∵a,b∈R+, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3. 令y= ab,得y2-2y-3≥0, ∴y≥3,或y≤-1(舍去). ∴ab=y2≥9. ∴ab的取值范围是[9,+∞).
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(2)∵a,b∈R+, ?a+b?2 ∴a+b+3=ab≤ . 4 令z=a+b得z2-4z-12≥0, ∴z≥6或z≤-2(舍去). ∴a+b的取值范围是[6,+∞).

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[例3]

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,

拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过
市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之 间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化 妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备 折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投 入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成 本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化 妆品正好能销完.
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(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的
函数. (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业 的年利润最大? [思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键,即利

润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费
用+生产费用;

(2)表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之
间的关系式列出函数表达式.
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[ 解]

(1)由题意可设 k 3-x= , t+ 1 将t=0,x=1代入,得k=2. 2 ∴x=3- . t+ 1 当年生产x万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, 2 ∴年生产成本为32x+3=32(3- )+3. t+ 1 当销售x万件时, 2 1 年销售收入为150%[32(3- )+3]+ t. 2 t+ 1
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由题意,生产x万件化妆品正好销完, 由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费, -t2+98t+35 得年利润y= (t≥0) 2?t+1? -t2+98t+35 t+1 32 (2)y= =50-( + ) 2 2?t+1? t+ 1 ≤50-2 t+1 32 × =50-2 2 t+ 1 16=42,

t+1 32 当且仅当 = ,即t=7时,等号成立,ymax=42, 2 t+ 1 ∴当促销费定在7万元时,年利润最大.
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利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细

阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么
量的最值;其次,分析题目中给出的条件,建立y 的函数表达式y=f(x)(x一般为题目中最后所要求的 量);最后,利用不等式的有关知识解题.求解过 程中要注意实际问题对变量x的范围制约.

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6.一商店经销某种货物,根据销售情况,年进货量为5万 件,分若干次等量进货(设每次进货x件),每进一次货运 x 费50元,且在销售完该货物时,立即进货,现以年平均 2 件货储存在仓库里,库存费以每件20元计算,要使一年 的运费和库存费最省,每次进货量x应是多少?

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解:设一年的运费和库存费共y元, 25×10 50 000 x 由题意知:y= x ×50+ ×20= x +10x≥ 2 2 25×106=104,
5

25×105 当且仅当 x =10x即x=500时,ymin=10 000, 即每次进货500件时,一年的运费和库存费最省.

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7.围建一个面积为360 m2的矩形场 地,要求矩形场地的一面利用

旧墙(利用旧墙需维修),其他三
面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元 /m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位:元).

(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并 求出最小总费用.
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解:(1)如题图所示,设矩形的另一边长为a m. 则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 360 由已知xa=360,得a= x 3602 所以y=225x+ x -360(x>0). (2)∵x>0, 3602 ∴225x+ x ≥2 225×3602=10 800. 3602 ∴y=225x+ x -360≥10 440, 3602 当且仅当225 x= 时,等号成立. x 即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费 用是10 440元.
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